Symboler för modern formell logik. Logiska operationer och deras egenskaper Symbolen i logikens språk betyder

EGENSKAPER FÖR LOGISKA OPERATIONER

1. Beteckningar

1.1. Notation för logiska kopplingar (operationer):

a) negation(inversion, logiskt INTE) betecknas med ¬ (till exempel ¬A);

b) samband(logisk multiplikation, logisk AND) betecknas med /\
(till exempel A /\ B) eller & (till exempel A & B);

c) åtskiljande(logiskt tillägg, logiskt ELLER) betecknas med \/
(till exempel A \/ B);

d) följande(implikation) betecknas med → (till exempel A → B);

e) identitet betecknas med ≡ (till exempel A ≡ B). Uttrycket A ≡ B är sant om och endast om värdena för A och B är desamma (antingen är de båda sanna eller båda är falska);

f) symbol 1 används för att beteckna sanning (sant påstående); symbol 0 – för att indikera en lögn (falskt påstående).

1.2. Två booleska uttryck som innehåller variabler anropas likvärdig (motsvarande) om värdena för dessa uttryck sammanfaller för eventuella värden på variablerna. Således är uttrycken A → B och (¬A) \/ B ekvivalenta, men A /\ B och A \/ B är det inte (betydelserna av uttrycken är olika, till exempel när A = 1, B = 0 ).

1.3. Prioriteringar för logiska operationer: inversion (negation), konjunktion (logisk multiplikation), disjunktion (logisk addition), implikation (följande), identitet. Således betyder ¬A \/ B \/ C \/ D detsamma som

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Det är möjligt att skriva A \/ B \/ C istället för (A \/ B) \/ C. Detsamma gäller för konjunktionen: det är möjligt att skriva A /\ B /\ C istället för (A /\ B) ) /\ C.

2. Egenskaper

Listan nedan är INTE tänkt att vara komplett, men är förhoppningsvis representativ nog.

2.1. Generella egenskaper

1. För en uppsättning n det finns exakt logiska variabler 2 n olika betydelser. Sanningstabell för logiskt uttryck från n variabler innehåller n+1 kolumn och 2 n rader.

2.2.Disjunktion

1. Om åtminstone ett av underuttrycken som disjunktionen tillämpas på är sant på någon uppsättning värden av variablerna, är hela disjunktionen sann för denna uppsättning värden.
2. Om alla uttryck från en viss lista är sanna på en viss uppsättning variabelvärden, är disjunktionen av dessa uttryck också sann.
3. Om alla uttryck från en viss lista är falska på en viss uppsättning variabelvärden, är disjunktionen av dessa uttryck också falsk.
4. Innebörden av en disjunktion beror inte på skrivordningen för de underuttryck som den tillämpas på.

2.3. Samband

1. Om minst ett av underuttrycken som konjunktionen tillämpas på är falskt på någon uppsättning variabelvärden, är hela konjunktionen falsk för denna uppsättning värden.
2. Om alla uttryck från en viss lista är sanna på en viss uppsättning variabelvärden, är konjunktionen av dessa uttryck också sann.
3. Om alla uttryck från en viss lista är falska på en viss uppsättning variabelvärden, är konjunktionen av dessa uttryck också falsk.
4. Innebörden av en konjunktion beror inte på skrivordningen för de underuttryck som den tillämpas på.

2.4. Enkla disjunktioner och konjunktioner

Låt oss kalla (för enkelhetens skull) konjunktionen enkel, om underuttrycken som konjunktionen tillämpas på är distinkta variabler eller deras negationer. På liknande sätt kallas disjunktionen enkel, om underuttrycken som disjunktionen tillämpas på är distinkta variabler eller deras negationer.

1. En enkel konjunktion utvärderas till 1 (sant) på exakt en uppsättning variabelvärden.
2. En enkel disjunktion utvärderas till 0 (falskt) på exakt en uppsättning variabelvärden.

2.5. Inblandning

1. Inblandning A →B motsvarar disjunktion (¬ A) \/B. Denna disjunktion kan också skrivas på följande sätt: ¬ A\/B.
2. Inblandning A →B tar värdet 0 (falskt) endast om A=1 Och B=0. Om A=0, då implikationen A →B sant för vilket värde som helst B.

Matematik kännetecknas av den utbredda användningen av symbolik, som i huvudsak är den formell logikens apparat. Formell, eller symbolisk, logik är en speciell metod för att förstå tänkandets struktur. Denna utvecklade apparat används överallt. Inom matematiken kan många viktiga bestämmelser skrivas i form av symboler. Att skriva logiska resonemang i symboler ger bevisen ett mer kortfattat, enklare utseende. Formell logik fungerar med påståenden (som vårt tal för övrigt består av). En proposition är en mening om vilken det är vettigt att säga att den är sann eller falsk. Exempel 1.3. "Moskva är Rysslands huvudstad**, "Petrov I.I. - MSTU student ", x2 + y2 = 1, x € R - påståenden; x2 -2x + + U2 - är inte ett påstående. # Att koppla ihop enkla påståenden med orden "och", "eller", "inte", "om ..., alltså,” får vi mer komplexa påståenden som definierar vårt tal. I matematiken kallas dessa ord för logiska bindningar, i formell logik motsvarar de de grundläggande logiska symbolerna, som vi kort kommer att diskutera 1. Konjunktionen pAq av påståenden p och q är påståendet, vilket är sant om och endast om båda påståendena (både p och q) är sanna. Den logiska symbolen för konjunktionen A ersätter konjunktionen "och" i tal. Konjunktionen betecknas också med p & q. 2. En disjunktion pW q av påståenden p och q är ett påstående som är falskt om och endast om båda påståendena är falska, och sant när minst en av dem (p eller q) är sann. Den logiska symbolen för disjunktion V i tal ersätter ordet "eller". implikation => används när man anger konsekvenser av något faktum. Det ersätter orden "om... då". Man kan också läsa "p implies qu." 4. Den logiska ekvivalenssymbolen & betyder att ett påstående p q är sant om och endast om båda påståendena p och q är sanna eller båda påståendena är falska. Denna symbol ersätter ordet "motsvarande" i tal 5. Negationen av påståendet p är påståendet - "p, som är sant om p är falskt, och falskt när p är sant. Den logiska symbolen -" i tal ordet "inte". För att förkorta och förtydliga inspelningen av påståenden, introduceras två tecken V och 3, som kallas, respektive, Några grundläggande logiska symboler. Formell eller symbolisk logik. i huvudsak kvantifierare av allmänhet och existens. Uttrycket "för alla element x i mängden E skrivs i formen Vs 6 E. Denna notation betyder att påståendet efter det kommer att vara uppfyllt för ett godtyckligt element i mängden E. Notationen V&i, "2" xn€E betyder: "vad än elementen xi, 32, xn i mängden Eu är. Uttrycket "det finns åtminstone ett element i mängden E så att..." skrivs 3x £ E: ... Allt som följer denna notation gäller för åtminstone ett element i mängden E. Tvärtom, $ x e E: ... betyder att allt av följande inte gäller för något element från E. Uttrycket „ det finns ett och bara ett element från E så att...u skrivs på formen E!z € E : .. Notationen 3x\) xs, xn € E: ... betyder: det finns element x\y a?2" "i" i mängden E så att...t De introducerade symbolerna är bekväma att använda, för till exempel, när du definierar operationer på uppsättningar. Så AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>(x: (x € A) L (f € B)), A\B:*>(x: (x € A) L (x g B)), A:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А =>B antar att det är sant - "B. Om resonemang leder till att under ett sådant antagande är villkor A omöjligt, d.v.s. Om en motsägelse uppstår anses satsen bevisad. Exempel 1.6. Vi använder metoden för bevis genom motsägelse för att verifiera giltigheten av de Morgans andra lag (1.7) AC\B = AUB. Om denna likhet är sann, så måste varje element x € A P B också tillhöra A U B, d.v.s. x € A U B. Antag motsatsen: s £ AUB. Då, enligt dualitetsprincipen (se 1.4) x € APV, d.v.s. x ^ APV, och detta motsäger det ursprungliga villkoret x € A P B, vilket bevisar giltigheten av implikationen av påståendena x € AG\B => he liv. Tvärtom måste varje element x 6 A U B tillhöra A G) B, d.v.s. x € A O B. Låt oss återigen anta motsatsen: x £ i AP B, dvs. x £ AP B, eller (xbA)L(xbB). Sedan (x £ A)LA (x £ B) och x £ AUB, och detta motsäger återigen det accepterade villkoret x £ A U B, vilket bevisar giltigheten av den omvända implikationen av påståendena x € APV « = x € AUB. Några grundläggande logiska symboler. Formell eller symbolisk logik. Som ett resultat är giltigheten av den andra formeln (1.7) helt bevisad. # När man bevisar satser som är giltiga för ett godtyckligt naturligt tal n G N, används ibland metoden för matematisk induktion: genom direkt verifiering fastställs giltigheten av satsen för de första värdena av n (n = 1, 2 , ...), och då antas det att det är sant för n = k) och om det av detta antagande följer att den givna propositionen är giltig för n = k -f 1, så anses den vara bevisad för alla n € N. Exempel 1.7. Låt oss bevisa giltigheten av formeln “П = “1 (1.8) för summan av de första n termerna av den geometriska progressionen 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 med nämnaren för progressionen q ^ 1. Det är tydligt att formeln stämmer för n = 1 och n = 2. Låt oss anta att den även stämmer för n = k, d.v.s. Några grundläggande logiska symboler. Formell eller symbolisk logik. Om vi ​​i (1.9) betecknar k +1 = n, kommer vi återigen till (1.8), vilket bevisar giltigheten av denna formel.

Den används för att beräkna logiska operationer. Låt oss nedan betrakta alla de mest elementära logiska operationerna inom datavetenskap. När allt kommer omkring, om du tänker på det, är det de som används för att skapa logiken hos datorer och enheter.

Negation

Innan vi börjar överväga specifika exempel i detalj listar vi de grundläggande logiska operationerna inom datavetenskap:

• negation;
• tillägg;
• multiplikation;
• följande;
• jämlikhet.

Innan du börjar studera logiska operationer är det också värt att säga att inom datavetenskap betecknas en lögn med "0" och sanningen med "1".

För varje åtgärd, som i vanlig matematik, används följande tecken på logiska operationer inom datavetenskap: ¬, v, &, ->.

Varje åtgärd kan beskrivas antingen med siffror 1/0 eller helt enkelt med logiska uttryck. Låt oss börja vår övervägande av matematisk logik med den enklaste operationen som bara använder en variabel.

Logisk negation är en inversionsoperation. Tanken är att om det ursprungliga uttrycket är sant, så är resultatet av inversionen falskt. Och vice versa, om det ursprungliga uttrycket är falskt, kommer resultatet av inversionen att vara sant.

När du skriver detta uttryck används följande notation: "¬A".

Låt oss presentera en sanningstabell - ett diagram som visar alla möjliga resultat av en operation för alla initiala data.

Det vill säga, om vårt ursprungliga uttryck är sant (1), så kommer dess negation att vara falsk (0). Och om det ursprungliga uttrycket är falskt (0), så är dess negation sann (1).

Tillägg

De återstående operationerna kräver två variabler. Låt oss beteckna ett uttryck -

A, andra - B. Logiska operationer inom datavetenskap, som betecknar verkan av addition (eller disjunktion), när de skrivs, betecknas antingen med ordet "eller" eller med symbolen "v". Låt oss beskriva möjliga dataalternativ och beräkningsresultat.

1. E = 1, H = 1, då E v H = 1. Om båda är deras disjunktion också sann.
2. E = 0, H = 1, som ett resultat E v H = 1. E = 1, H = 0, sedan E v H = 1. Om åtminstone ett av uttrycken är sant, blir resultatet av deras addition Sann.
3. E=0, H=0, resultat E v H = 0. Om båda uttrycken är falska är deras summa också falsk.

För korthetens skull, låt oss skapa en sanningstabell.

Åtskiljande

E	X	X	O	O
N	X	O	X	O
E mot N	X	X	X	O

Multiplikation

Efter att ha tagit itu med additionsoperationen går vi vidare till multiplikation (konjunktion). Låt oss använda samma notation som gavs ovan för addition. När du skriver indikeras logisk multiplikation med symbolen "&" eller bokstaven "I".

1. E=1, H=1, då E & H = 1. Om båda är deras konjunktion sann.
2. Om åtminstone ett av uttrycken är falskt kommer resultatet av logisk multiplikation också att vara falskt.

• E=1, H=0, så E & H = 0.
• E=0, H=1, sedan E & H = 0.
• E=0, H=0, totalt E & H = 0.

Samband

E	X	X	0	0
N	X	0	X	0
E&N	X	0	0	0

Följd

Den logiska operationen av implikation (implikation) är en av de enklaste inom matematisk logik. Den bygger på ett enda axiom - en lögn kan inte följa av sanningen.

1. E = 1, H =, alltså E -> H = 1. Om ett par är kära, då kan de kyssas - sant.
2. E = 0, H = 1, sedan E -> H = 1. Om paret inte är kära, då kan de kyssas - kan också vara sant.
3. E = 0, H = 0, från detta E -> H = 1. Om ett par inte är kära, så kysser de inte - detta är också sant.
4. E = 1, H = 0, resultatet blir E -> H = 0. Om ett par är kära, så kysser de inte - en lögn.

För att göra det lättare att utföra matematiska operationer presenterar vi även en sanningstabell.

Jämlikhet

Den sista operationen som beaktas kommer att vara logisk identitetslikhet eller ekvivalens. I texten kan det betecknas som "...om och endast om...". Baserat på denna formulering kommer vi att skriva exempel för alla ursprungliga alternativ.

1. A=1, B=1, sedan A≡B = 1. En person tar piller om och bara om han är sjuk. (Sann)
2. A = 0, B = 0, som ett resultat A≡B = 1. En person tar inte piller om och bara om han inte är sjuk. (Sann)
3. A = 1, B = 0, därför A≡B = 0. En person tar piller om och bara om han inte är sjuk. (lögn)
4. A = 0, B = 1, sedan A≡B = 0. En person tar inte piller om och bara om han är sjuk. (lögn)

Egenskaper

Så, efter att ha övervägt de enklaste inom datavetenskap, kan vi börja studera några av deras egenskaper. Liksom i matematik har logiska operationer sin egen bearbetningsordning. I stora booleska uttryck utförs operationerna inom parentes först. Efter dem är det första vi gör att räkna alla negationsvärden i exemplet. Nästa steg är att beräkna konjunktionen och sedan disjunktionen. Först efter detta utför vi operationen av konsekvens och, slutligen, ekvivalens. Låt oss titta på ett litet exempel för tydlighetens skull.

A v B & ¬B -> B ≡ A

Handlingsordningen är följande.

1. V&(¬V)
2. A v(B&(¬B))
3. (A v(B&(¬B)))->B
4. ((A v(B&(¬B)))->B)≡A

För att lösa detta exempel kommer vi att behöva konstruera en utökad sanningstabell. När du skapar det, kom ihåg att det är bättre att placera kolumnerna i samma ordning som åtgärderna kommer att utföras.

Exempel på lösning

A	I				(A v(B&(¬B)))->B	((A v(B&(¬B)))->B)≡A
X	O	X	O	X	X	X
X	X	O	O	X	X	X
O	O	X	O	O	X	O
O	X	O	O	O	X	O

Som vi kan se blir resultatet av att lösa exemplet den sista kolumnen. Sanningstabellen hjälpte till att lösa problemet med eventuella indata.

Slutsats

Den här artikeln undersökte några begrepp inom matematisk logik, såsom datavetenskap, egenskaper hos logiska operationer, och även vad logiska operationer i sig är. Några enkla exempel gavs för att lösa problem i matematisk logik och sanningstabeller som är nödvändiga för att förenkla denna process.

Konjunktion eller logisk multiplikation (i mängdteorin är detta skärningspunkt)

En konjunktion är ett komplext logiskt uttryck som är sant om och endast om båda enkla uttrycken är sanna. Denna situation är endast möjlig i ett enda fall i alla andra fall är konjunktionen falsk.

Notation: &, $\wedge$, $\cdot$.

Sanningstabell för konjunktion

Bild 1.

Egenskaper för konjunktion:

1. Om minst ett av underuttrycken i en konjunktion är falskt på någon uppsättning variabelvärden, kommer hela konjunktionen att vara falsk för denna uppsättning värden.
2. Om alla uttryck för en konjunktion är sanna på någon uppsättning variabelvärden, kommer hela konjunktionen också att vara sann.
3. Innebörden av hela konjunktionen av ett komplext uttryck beror inte på i vilken ordning de underuttryck som det appliceras på skrivs (som multiplikation i matematik).

Disjunktion eller logisk addition (i mängdteorin är detta union)

En disjunktion är ett komplext logiskt uttryck som nästan alltid är sant, förutom när alla uttryck är falska.

Notation: +, $\vee$.

Sanningstabell för disjunktion

Figur 2.

Egenskaper för disjunktion:

1. Om åtminstone ett av underuttrycken av disjunktionen är sant på en viss uppsättning variabelvärden, så får hela disjunktionen ett sant värde för denna uppsättning subexpressioner.
2. Om alla uttryck från någon lista med disjunktioner är falska på någon uppsättning variabelvärden, är hela disjunktionen av dessa uttryck också falsk.
3. Innebörden av hela disjunktionen beror inte på i vilken ordning underuttrycken skrivs (som i matematik - addition).

Negation, logisk negation eller inversion (i mängdteorin är detta negation)

Negation betyder att partikeln NOT eller ordet FALSE läggs till det ursprungliga logiska uttrycket, WHAT och som ett resultat får vi att om det ursprungliga uttrycket är sant, så kommer negationen av originalet att vara falskt och vice versa, om det ursprungliga uttrycket är falsk, kommer dess negation att vara sann.

Notation: inte $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

Sanningstabell för inversion

Figur 3.

Egenskaper för negation:

Den "dubbla negationen" av $¬¬A$ är en konsekvens av propositionen $A$, det vill säga det är en tautologi inom formell logik och är lika med själva värdet i boolesk logik.

Implikation eller logisk konsekvens

En implikation är ett komplext logiskt uttryck som är sant i alla fall utom när sanning följer på lögn. Det vill säga, denna logiska operation kopplar samman två enkla logiska uttryck, varav det första är ett villkor ($A$), och det andra ($A$) är en konsekvens av villkoret ($A$).

Notation: $\to$, $\Rightarrow$.

Sanningstabell för implikation

Figur 4.

Implikationsegenskaper:

1. $A \till B = ¬A \vee B$.
2. Implikationen $A \till B$ är falsk om $A=1$ och $B=0$.
3. Om $A=0$, då är implikationen $A \till B$ sann för alla värden på $B$, (true kan följa av falskt).

Ekvivalens eller logisk ekvivalens

Ekvivalens är ett komplext logiskt uttryck som är sant för lika värden av variablerna $A$ och $B$.

Notationer: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Sanningstabell för likvärdighet

Figur 5.

Ekvivalensegenskaper:

1. Ekvivalensen är sann på lika värdeuppsättningar av variablerna $A$ och $B$.
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

Strikt disjunktion eller addition modulo 2 (i mängdteorin är detta föreningen av två mängder utan deras skärningspunkt)

En strikt disjunktion är sann om värdena på argumenten inte är lika.

För elektronik betyder detta att implementeringen av kretsar är möjlig med ett standardelement (även om detta är ett dyrt element).

Ordning av logiska operationer i ett komplext logiskt uttryck

1. Inversion(negation);
2. Konjunktion (logisk multiplikation);
3. Disjunktion och strikt disjunktion (logiskt tillägg);
4. Implikation (konsekvens);
5. Ekvivalens (identitet).

För att ändra den angivna ordningen för logiska operationer måste du använda parenteser.

Generella egenskaper

För en uppsättning av $n$ booleska variabler finns det exakt $2^n$ distinkta värden. Sanningstabellen för ett logiskt uttryck av $n$ variabler innehåller $n+1$ kolumner och $2^n$ rader.

⊃ kan betyda samma sak som ⇒ (symbolen kan också betyda en supermängd).

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \Rightarrow)
→ (\displaystyle \to )\till
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \implies )\antyder

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \Leftrightarrow )

U+0028 U+0029 () () (\displaystyle (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vDash, ett tecken för AND-NOT-operatören.

U+22A7 ⊧ Implikation (logisk konsekvens): är modell för.... Till exempel betyder A ⊧ B att A innebär B. I alla modeller där A ⊧ B, om A är sant, så är B sant.

U+22A8 ⊨ Sant: är sant.

U+22AC ⊬ Ej utmatning: negation ⊢, symbol irreducerbart, Till exempel, T ⊬ P betyder att " Pär inte ett teorem i T»

U+22AD ⊭ Falskt: inte sant

U+22BC ⊼ NAND: en annan NAND-operator, kan också skrivas som ∧

U+22BD ⊽ NOR: Exklusiv OR-operator, kan också skrivas som V

U+22C4 ⋄ Diamant: modal operator för "det är möjligt att", "inte nödvändigtvis inte" eller, sällan, "konsekvent" (i de flesta modala logiker definieras operatorn som "¬◻¬")

U+22C6 ⋆ Asterisk: används vanligtvis som en speciell operator

U+22A5 ⊥ Upp-knapp eller U+2193 ↓ Ned-pil: Pierce-pil, XOR-symbol. Ibland används "⊥" för motsägelse eller absurditet.

• U+2310 ⌐ Inställd INTE

Följande operatorer stöds sällan av standardteckensnitt. Om du vill använda dem på din sida bör du alltid bädda in de typsnitt du vill ha så att webbläsaren kan visa tecknen utan att behöva installera typsnitten på din dator.

Polen och Tyskland

I Polen skrivs den universella kvantifieraren ibland som ∧ (\displaystyle \wedge), och existenskvantifieraren som ∨ (\displaystyle \vee). Samma sak observeras i tysk litteratur.

Lämna tillbaka