Vi har redan sagt att det finns bråkdelar vanlig Och decimal. Vid det här laget har vi lärt oss lite om bråk. Vi lärde oss att det finns vanliga och oegentliga bråk. Vi lärde oss också att vanliga bråk kan reduceras, adderas, subtraheras, multipliceras och divideras. Och vi lärde oss också att det finns så kallade blandade tal, som består av ett heltal och en bråkdel.
Vi har inte helt utforskat vanliga bråk ännu. Det finns många finesser och detaljer som bör talas om, men idag ska vi börja studera decimal bråk, eftersom vanliga och decimala bråk ofta måste kombineras. Det vill säga, när man löser problem måste man arbeta med båda typerna av bråk.
Den här lektionen kan verka komplicerad och förvirrande. Det är ganska normalt. Den här typen av lektioner kräver att de studeras och inte skummas ytligt.
Lektionens innehållAtt uttrycka kvantiteter i bråkform
Ibland är det bekvämt att visa något i bråkform. Till exempel skrivs en tiondels decimeter så här:
Detta uttryck betyder att en decimeter delades upp i tio lika stora delar, och från dessa tio delar togs en del. Och en del av tio i det här fallet är lika med en centimeter:
Betrakta följande exempel. Visa 6 cm och ytterligare 3 mm i centimeter i bråkform.
Så du måste visa 6 cm och 3 mm i centimeter, men i bråkform. Vi har redan 6 hela centimeter:
Men det är fortfarande 3 millimeter kvar. Hur visar man dessa 3 millimeter, och i centimeter? Bråkdelar kommer till undsättning. En centimeter är tio millimeter. Tre millimeter är tre delar av tio. Och tre delar av tio skrivs som cm
Uttrycket cm betyder att en centimeter delades upp i tio lika stora delar, och från dessa tio delar togs tre delar.
Som ett resultat har vi sex hela centimeter och tre tiondels centimeter:
I det här fallet visar 6 antalet hela centimeter och bråkdelen visar antalet bråkcentimeter. Denna bråkdel läses som "sex komma tre centimeter".
Bråk vars nämnare innehåller talen 10, 100, 1000 kan skrivas utan nämnare. Skriv först hela delen och sedan täljaren för bråkdelen. Heltalsdelen separeras från täljaren för bråkdelen med ett kommatecken.
Låt oss till exempel skriva det utan en nämnare. Först skriver vi ner hela delen. Hela delen är 6
Hela delen spelas in. Omedelbart efter att ha skrivit hela delen sätter vi ett kommatecken:
Och nu skriver vi ner täljaren för bråkdelen. I ett blandat tal är täljaren för bråkdelen talet 3. Vi skriver en trea efter decimalkomma:
Alla tal som representeras i denna form kallas decimal.
Därför kan du visa 6 cm och ytterligare 3 mm i centimeter med ett decimaltal:
6,3 cm
Det kommer att se ut så här:
Faktum är att decimaler är detsamma som vanliga bråktal och blandade tal. Det speciella med sådana bråk är att nämnaren för deras bråkdel innehåller talen 10, 100, 1000 eller 10000.
Liksom ett blandat tal har ett decimalbråk en heltalsdel och en bråkdel. Till exempel, i ett blandat tal är heltalsdelen 6 och bråkdelen är .
I decimalbråket 6.3 är heltalsdelen talet 6, och bråkdelen är bråkets täljare, det vill säga talet 3.
Det händer också att vanliga bråk i vars nämnare talen 10, 100, 1000 ges utan heltalsdel. Till exempel ges ett bråk utan en hel del. För att skriva ett sådant bråktal som en decimal, skriv först 0, sätt sedan ett kommatecken och skriv täljaren för bråket. Ett bråk utan nämnare kommer att skrivas på följande sätt:
Läser som "noll komma fem".
Konvertera blandade tal till decimaler
När vi skriver blandade tal utan nämnare omvandlar vi dem därmed till decimalbråk. När du konverterar bråk till decimaler finns det några saker du behöver veta, som vi ska prata om nu.
Efter att hela delen har skrivits ner är det nödvändigt att räkna antalet nollor i bråkdelens nämnare, eftersom antalet nollor i bråkdelen och antalet siffror efter decimalpunkten i decimaldelen måste vara samma. Vad betyder det? Tänk på följande exempel:
I början
Och du kan omedelbart skriva ner täljaren för bråkdelen och decimalbråket är klart, men du måste definitivt räkna antalet nollor i bråkdelens nämnare.
Så vi räknar antalet nollor i bråkdelen av ett blandat tal. Bråkdelens nämnare har en nolla. Detta betyder att i ett decimalbråk kommer det att finnas en siffra efter decimalkomma och denna siffra kommer att vara täljaren för bråkdelen av det blandade talet, det vill säga talet 2
Sålunda, när det konverteras till ett decimaltal, blir ett blandat tal 3,2.
Detta decimaltal lyder så här:
"Tre komma två"
"Tiondelar" eftersom bråkdelen av ett blandat tal innehåller talet 10.
Exempel 2. Konvertera ett blandat tal till en decimal.
Skriv ner hela delen och sätt ett kommatecken:
Och man skulle direkt kunna skriva ner bråkdelens täljare och få decimaldelen 5,3, men regeln säger att efter decimalkomma ska det finnas lika många siffror som det finns nollor i nämnaren för bråkdelen av det blandade talet. Och vi ser att bråkdelens nämnare har två nollor. Det betyder att vårt decimalbråk måste ha två siffror efter decimalkomma, inte en.
I sådana fall måste täljaren för bråkdelen modifieras något: lägg till en nolla före täljaren, det vill säga före siffran 3
Nu kan du konvertera detta blandade tal till ett decimaltal. Skriv ner hela delen och sätt ett kommatecken:
Och skriv ner täljaren för bråkdelen:
Decimalbråket 5,03 läses enligt följande:
"Fem komma tre"
"Hundra" eftersom nämnaren för bråkdelen av ett blandat tal innehåller talet 100.
Exempel 3. Konvertera ett blandat tal till en decimal.
Från tidigare exempel har vi lärt oss att för att framgångsrikt konvertera ett blandat tal till en decimal måste antalet siffror i bråktalets täljare och antalet nollor i bråktalets nämnare vara detsamma.
Innan du konverterar ett blandat tal till ett decimalbråk, måste dess bråkdel modifieras något, nämligen för att säkerställa att antalet siffror i täljaren för bråkdelen och antalet nollor i nämnaren för bråkdelen är samma.
Först och främst tittar vi på antalet nollor i bråkdelens nämnare. Vi ser att det finns tre nollor:
Vår uppgift är att organisera tre siffror i täljaren för bråkdelen. Vi har redan en siffra - det här är numret 2. Det återstår att lägga till ytterligare två siffror. De blir två nollor. Lägg till dem före siffran 2. Som ett resultat blir antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren detsamma:
Nu kan du börja konvertera detta blandade tal till ett decimaltal. Först skriver vi ner hela delen och sätter ett kommatecken:
och skriv omedelbart ner täljaren för bråkdelen
3,002
Vi ser att antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i nämnaren för bråkdelen av det blandade talet är detsamma.
Decimalbråket 3,002 läses enligt följande:
"Tre komma två tusendelar"
"Tusendelar" eftersom nämnaren för bråkdelen av det blandade talet innehåller talet 1000.
Konvertera bråk till decimaler
Vanliga bråk med nämnare 10, 100, 1000 eller 10000 kan också konverteras till decimaler. Eftersom ett vanligt bråk inte har en heltalsdel, skriv först ner 0, sätt sedan ett kommatecken och skriv ner täljaren för bråkdelen.
Även här måste antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren vara lika. Därför bör du vara försiktig.
Exempel 1.
Hela delen saknas, så först skriver vi 0 och sätter ett kommatecken:
Nu tittar vi på antalet nollor i nämnaren. Vi ser att det finns en nolla. Och täljaren har en siffra. Det betyder att du säkert kan fortsätta med decimalbråket genom att skriva siffran 5 efter decimalkomma
I det resulterande decimalbråket 0,5 är antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i bråkdelens nämnare detsamma. Detta betyder att bråket är korrekt översatt.
Decimalbråket 0,5 läses enligt följande:
"Noll komma fem"
Exempel 2. Konvertera ett bråk till en decimal.
En hel del saknas. Först skriver vi 0 och sätter ett kommatecken:
Nu tittar vi på antalet nollor i nämnaren. Vi ser att det finns två nollor. Och täljaren har bara en siffra. För att göra antalet siffror och antalet nollor lika, lägg till en nolla i täljaren före siffran 2. Då får bråket formen . Nu är antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren detsamma. Så du kan fortsätta med decimalbråket:
I det resulterande decimalbråket 0,02 är antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i bråkets nämnare detsamma. Detta betyder att bråket är korrekt översatt.
Decimalbråket 0,02 läses enligt följande:
"Noll komma två."
Exempel 3. Konvertera ett bråk till en decimal.
Skriv 0 och sätt ett kommatecken:
Nu räknar vi antalet nollor i bråkets nämnare. Vi ser att det finns fem nollor, och det finns bara en siffra i täljaren. För att göra antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren lika, måste du lägga till fyra nollor i täljaren före siffran 5:
Nu är antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren detsamma. Så vi kan fortsätta med decimalbråket. Skriv täljaren för bråket efter decimalkomma
I det resulterande decimalbråket 0,00005 är antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i bråktalets nämnare detsamma. Detta betyder att bråket är korrekt översatt.
Decimalbråket 0,00005 läses enligt följande:
"Noll komma femhundra tusendelar."
Konvertera oegentliga bråk till decimaler
Ett oegentligt bråk är ett bråk där täljaren är större än nämnaren. Det finns oegentliga bråk där nämnaren innehåller talen 10, 100, 1000 eller 10000. Sådana bråk kan konverteras till decimaler. Men innan du konverterar till ett decimalbråk måste sådana bråk separeras i hela delen.
Exempel 1.
Bråket är en oegentlig bråkdel. För att konvertera en sådan bråkdel till en decimal måste du först markera hela delen av den. Låt oss komma ihåg hur man isolerar hela delen av olämpliga fraktioner. Om du har glömt det råder vi dig att gå tillbaka till och studera det.
Så, låt oss markera hela delen i den felaktiga bråkdelen. Kom ihåg att ett bråk betyder division - i det här fallet, dividera talet 112 med talet 10
Låt oss titta på den här bilden och montera ett nytt blandat nummer, som en byggsats för barn. Siffran 11 kommer att vara heltalsdelen, siffran 2 kommer att vara täljaren för bråkdelen och siffran 10 kommer att vara nämnaren för bråkdelen.
Vi fick ett blandat nummer. Låt oss konvertera det till ett decimaltal. Och vi vet redan hur man omvandlar sådana tal till decimalbråk. Först skriver vi ner hela delen och sätter ett kommatecken:
Nu räknar vi antalet nollor i bråkdelens nämnare. Vi ser att det finns en nolla. Och täljaren för bråkdelen har en siffra. Det betyder att antalet nollor i bråkdelens nämnare och antalet siffror i bråkdelens täljare är detsamma. Detta ger oss möjlighet att omedelbart skriva ner täljaren för bråkdelen efter decimalkomma:
I det resulterande decimalbråket 11.2 är antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i bråktalets nämnare detsamma. Detta betyder att bråket är korrekt översatt.
Det betyder att ett oegentligt bråk blir 11,2 när det konverteras till en decimal.
Decimalbråket 11.2 läses enligt följande:
"Elva komma två."
Exempel 2. Konvertera oegentlig bråk till decimal.
Det är ett oegentligt bråk eftersom täljaren är större än nämnaren. Men det kan konverteras till ett decimalbråk, eftersom nämnaren innehåller talet 100.
Först och främst, låt oss välja hela delen av denna fraktion. För att göra detta, dividera 450 med 100 med ett hörn:
Låt oss samla ett nytt blandat nummer - vi får . Och vi vet redan hur man omvandlar blandade tal till decimalbråk.
Skriv ner hela delen och sätt ett kommatecken:
Nu räknar vi antalet nollor i bråkdelens nämnare och antalet siffror i bråkdelens täljare. Vi ser att antalet nollor i nämnaren och antalet siffror i täljaren är detsamma. Detta ger oss möjlighet att omedelbart skriva ner täljaren för bråkdelen efter decimalkomma:
I det resulterande decimalbråket 4,50 är antalet siffror efter decimalkomma och antalet nollor i bråktalets nämnare detsamma. Detta betyder att bråket är korrekt översatt.
Det betyder att ett oegentligt bråk blir 4,50 när det konverteras till en decimal.
När du löser problem, om det finns nollor i slutet av decimalbråket, kan de kasseras. Låt oss också släppa nollan i vårt svar. Då får vi 4,5
Detta är en av de intressanta sakerna med decimaler. Det ligger i det faktum att nollorna som visas i slutet av ett bråk inte ger detta bråk någon vikt. Med andra ord är decimalerna 4,50 och 4,5 lika. Låt oss sätta ett likhetstecken mellan dem:
4,50 = 4,5
Frågan uppstår: varför händer detta? Trots allt ser 4,50 och 4,5 ut som olika bråk. Hela hemligheten ligger i den grundläggande egenskapen hos bråk, som vi studerade tidigare. Vi kommer att försöka bevisa varför decimalbråken 4,50 och 4,5 är lika, men efter att ha studerat nästa ämne, som kallas "omvandla ett decimalbråk till ett blandat tal."
Konvertera en decimal till ett blandat tal
Alla decimalbråk kan konverteras tillbaka till ett blandat tal. För att göra detta räcker det med att kunna läsa decimalbråk. Låt oss till exempel konvertera 6,3 till ett blandat tal. 6,3 är sex komma tre. Först skriver vi ner sex heltal:
och bredvid tre tiondelar:
Exempel 2. Konvertera decimal 3,002 till blandat tal
3.002 är tre hela och två tusendelar. Först skriver vi ner tre heltal
och bredvid den skriver vi två tusendelar:
Exempel 3. Konvertera decimal 4,50 till blandat tal
4.50 är fyra komma femtio. Skriv ner fyra heltal
och nästa femtio hundradelar:
Låt oss förresten komma ihåg det sista exemplet från föregående ämne. Vi sa att decimalerna 4,50 och 4,5 är lika. Vi sa också att nollan kan kasseras. Låt oss försöka bevisa att decimalerna 4,50 och 4,5 är lika. För att göra detta omvandlar vi båda decimalbråken till blandade tal.
När de konverteras till ett blandat tal blir decimalen 4,50 , och decimalen 4,5 blir
Vi har två blandade nummer och . Låt oss konvertera dessa blandade tal till oegentliga bråk:
Nu har vi två bråk och . Det är dags att komma ihåg den grundläggande egenskapen för ett bråk, som säger att när du multiplicerar (eller dividerar) täljaren och nämnaren för ett bråk med samma tal, ändras inte bråkets värde.
Låt oss dividera den första bråkdelen med 10
Vi fick , och det här är den andra fraktionen. Det betyder att båda är lika med varandra och lika med samma värde:
Prova att använda en miniräknare för att dividera först 450 med 100 och sedan 45 med 10. Det kommer att bli en rolig grej.
Konvertera ett decimalbråk till ett bråk
Vilket decimalbråk som helst kan omvandlas tillbaka till ett bråk. För att göra detta räcker det igen att kunna läsa decimalbråk. Låt oss till exempel omvandla 0,3 till en vanlig bråkdel. 0,3 är noll komma tre. Först skriver vi ner nolltal:
och intill tre tiondelar 0. Noll skrivs traditionellt inte ner, så det slutliga svaret blir inte 0, utan helt enkelt .
Exempel 2. Konvertera decimalbråket 0,02 till ett bråktal.
0,02 är noll komma två. Vi skriver inte ner noll, så vi skriver omedelbart ner två hundradelar
Exempel 3. Konvertera 0,00005 till bråk
0,00005 är noll komma fem. Vi skriver inte ner noll, så vi skriver omedelbart ner femhundra tusendelar
Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya VKontakte-grupp och börja få meddelanden om nya lektioner
I den här artikeln kommer vi att förstå vad en decimalbråk är, vilka egenskaper och egenskaper den har. Gå! 🙂
Ett decimalbråk är ett specialfall av vanliga bråk (där nämnaren är en multipel av 10).
Definition
Decimaler är bråk vars nämnare är tal som består av en och ett antal nollor efter det. Det vill säga, detta är bråk med en nämnare på 10, 100, 1000 osv. Annars kan ett decimalbråk karakteriseras som ett bråk med nämnaren 10 eller en av tiopotenserna.
Exempel på bråk:
, ,
Decimalbråk skrivs annorlunda än vanliga bråk. Operationer med dessa fraktioner skiljer sig också från operationer med vanliga. Reglerna för operationer med dem liknar i stort sett reglerna för operationer med heltal. Detta förklarar i synnerhet deras krav på att lösa praktiska problem.
Representerar en bråkdel i decimalnotation
Decimalbråket har ingen nämnare, det visar täljarens nummer. I allmänhet skrivs ett decimaltal enligt följande schema:
där X är heltalsdelen av bråket, Y är dess bråkdel, "," är decimalkomma.
För att korrekt representera ett bråk som en decimal krävs att det är ett vanligt bråk, det vill säga med heltalsdelen markerad (om möjligt) och en täljare som är mindre än nämnaren. Sedan i decimalnotation skrivs heltalsdelen före decimalkomma (X), och täljaren för det gemensamma bråket skrivs efter decimalkomma (Y).
Om täljaren innehåller ett tal med färre siffror än antalet nollor i nämnaren, så fylls i del Y det saknade antalet siffror i decimalnotationen med nollor före täljarens siffror.
Exempel: 
Om en vanlig bråkdel är mindre än 1, dvs. inte har en heltalsdel, skriv 0 för X i decimalform.
I bråkdelen (Y), efter den sista signifikanta (icke-noll) siffran, kan ett godtyckligt antal nollor anges. Detta påverkar inte fraktionens värde. Omvänt kan alla nollor i slutet av bråkdelen av decimalen utelämnas.
Läsa decimaler
Del X läses vanligtvis på följande sätt: "X heltal."
Y-delen läses enligt siffran i nämnaren. För nämnare 10 ska du läsa: "Y tiondelar", för nämnare 100: "Y hundradelar", för nämnare 1000: "Y tusendelar" och så vidare... 😉
Ett annat tillvägagångssätt för läsning, baserat på att räkna antalet siffror i bråkdelen, anses vara mer korrekt. För att göra detta måste du förstå att bråksiffrorna är placerade i en spegelbild med avseende på siffrorna för hela delen av bråket.
Namnen för korrekt läsning anges i tabellen:
Baserat på detta bör avläsningen baseras på överensstämmelse med namnet på siffran i den sista siffran i bråkdelen.
- 3,5 lyder "tre komma fem"
- 0,016 står "noll komma sexton tusendelar"
Konvertera en godtycklig bråkdel till en decimal
Om nämnaren för ett gemensamt bråktal är 10 eller någon potens av tio, utförs omvandlingen av bråket enligt beskrivningen ovan. I andra situationer krävs ytterligare omvandlingar.
Det finns 2 översättningsmetoder.
Första överföringsmetoden
Täljaren och nämnaren måste multipliceras med ett sådant heltal att nämnaren ger talet 10 eller en av tiopotenserna. Och sedan representeras bråket i decimalnotation.
Denna metod är tillämplig för bråk vars nämnare bara kan utökas till 2 och 5. Så i föregående exempel 
. Om expansionen innehåller andra primtalsfaktorer (till exempel ), måste du tillgripa den andra metoden.
Andra översättningsmetoden
Den andra metoden är att dividera täljaren med nämnaren i en kolumn eller på en miniräknare. Hela delen, om någon, deltar inte i omvandlingen.
Regeln för lång division som resulterar i ett decimalbråk beskrivs nedan (se Division av decimaler).
Konvertera ett decimalbråk till ett vanligt bråktal
För att göra detta bör du skriva ner dess bråkdel (till höger om decimaltecknet) som täljare, och resultatet av att läsa bråkdelen som motsvarande tal i nämnaren. Därefter, om möjligt, måste du minska den resulterande fraktionen.
Finita och oändliga decimalbråk
Ett decimalbråk kallas ett slutbråk, vars bråkdel består av ett ändligt antal siffror.
Alla exemplen ovan innehåller slutliga decimalbråk. Men inte varje vanligt bråk kan representeras som en slutlig decimal. Om den första omvandlingsmetoden inte är tillämplig för ett givet bråk, och den andra metoden visar att divisionen inte kan slutföras, kan endast en oändlig decimalbråk erhållas.
Det är omöjligt att skriva ett oändligt bråk i dess fullständiga form. I ofullständig form kan sådana fraktioner representeras:
- som ett resultat av minskning till önskat antal decimaler;
- som en periodisk bråkdel.
Ett bråk kallas periodiskt om det efter decimaltecknet är möjligt att urskilja en oändligt upprepad sekvens av siffror.
De återstående bråken kallas icke-periodiska. För icke-periodiska bråk är endast den första representationsmetoden (avrundning) tillåten.
Ett exempel på ett periodiskt bråktal: 0,8888888... Här finns ett repeterande tal 8, som uppenbarligen kommer att upprepas i oändlighet, eftersom det inte finns någon anledning att anta något annat. Denna figur kallas perioden för fraktionen.
Periodiska fraktioner kan vara rena eller blandade. En ren decimalbråk är en vars period börjar omedelbart efter decimalkomma. En blandad bråkdel har 1 eller flera siffror före decimalkomma.
54.33333… – periodisk ren decimalbråk
2,5621212121… – periodisk blandad fraktion
Exempel på att skriva oändliga decimalbråk:
Det andra exemplet visar hur man korrekt formaterar en period genom att skriva ett periodiskt bråk.
Konvertera periodiska decimalbråk till vanliga bråk
För att omvandla ett rent periodiskt bråktal till en vanlig period, skriv in det i täljaren och skriv ett tal som består av nior i ett antal lika med antalet siffror i perioden i nämnaren.
Den blandade periodiska decimalfraktionen översätts enligt följande:
- du måste bilda ett tal som består av talet efter decimaltecknet före punkten och den första punkten;
- Från det resulterande talet subtraherar du talet efter decimalkomma före punkten. Resultatet blir täljaren för det vanliga bråket;
- i nämnaren måste du ange ett tal som består av ett antal nio som är lika med antalet siffror i perioden, följt av nollor, vars antal är lika med antalet siffror i talet efter decimaltecknet före 1:a period.
Jämförelse av decimaler
Decimalbråk jämförs initialt med hela delar. Den fraktion vars hela del är större är större.
Om heltalsdelarna är desamma, jämför sedan siffrorna för motsvarande siffror i bråkdelen, med början från den första (från tiondelarna). Samma princip gäller här: den större bråkdelen är den med fler tiondelar; om tiondelssiffrorna är lika, jämförs hundradelssiffrorna, och så vidare.
Eftersom den
, eftersom med lika hela delar och lika tiondelar i bråkdelen, har 2:a bråkdelen en större hundradelar.
Addera och subtrahera decimaler
Decimaler läggs till och subtraheras på samma sätt som heltal genom att skriva motsvarande siffror under varandra. För att göra detta måste du ha decimaler under varandra. Då kommer enheterna (tiotal, etc.) för heltalsdelen, såväl som tiondelarna (hundradelar, etc.) av bråkdelen, att vara i överensstämmelse. De saknade siffrorna i bråkdelen fylls med nollor. Direkt Processen för addition och subtraktion utförs på samma sätt som för heltal.
Multiplicera decimaler
För att multiplicera decimaler måste du skriva dem under varandra, i linje med den sista siffran och inte vara uppmärksam på placeringen av decimaltecken. Sedan behöver du multiplicera talen på samma sätt som när du multiplicerar heltal. Efter att ha mottagit resultatet bör du räkna om antalet siffror efter decimaltecknet i båda bråken och separera det totala antalet bråksiffror i det resulterande talet med ett kommatecken. Om det inte finns tillräckligt med siffror ersätts de med nollor.
Multiplicera och dividera decimaler med 10n
Dessa åtgärder är enkla och går ut på att flytta decimalkomma. P Vid multiplicering flyttas decimalkomma åt höger (bråket ökas) med ett antal siffror lika med antalet nollor i 10n, där n är en godtycklig heltalspotens. Det vill säga att ett visst antal siffror överförs från bråkdelen till hela delen. Vid division flyttas kommatecken till vänster (talet minskar) och några av siffrorna överförs från heltalsdelen till bråkdelen. Om det inte finns tillräckligt med nummer att överföra fylls de saknade bitarna med nollor.
Att dividera ett decimaltal och ett heltal med ett heltal och ett decimaltal
Att dividera en decimal med ett heltal liknar att dividera två heltal. Dessutom behöver du bara ta hänsyn till decimaltecknets position: när du tar bort siffran för en plats följt av ett kommatecken, måste du placera ett komma efter den aktuella siffran i det genererade svaret. Därefter måste du fortsätta dividera tills du får noll. Om det inte finns tillräckligt med tecken i utdelningen för fullständig delning ska nollor användas som dem.
På samma sätt delas 2 heltal in i en kolumn om alla siffror i utdelningen tas bort och hela divisionen ännu inte är klar. I det här fallet, efter att ha tagit bort den sista siffran i utdelningen, placeras en decimal i det resulterande svaret, och nollor används som borttagna siffror. De där. utdelningen här representeras i huvudsak som ett decimalbråk med en nollbråkdel.
För att dividera ett decimaltal (eller ett heltal) med ett decimaltal måste du multiplicera utdelningen och divisorn med talet 10 n, där antalet nollor är lika med antalet siffror efter decimalkomma i divisorn. På så sätt blir du av med decimalkomma i bråket du vill dividera med. Vidare sammanfaller uppdelningsprocessen med den som beskrivits ovan.
Grafisk representation av decimalbråk
Decimalbråk representeras grafiskt med hjälp av en koordinatlinje. För att göra detta delas enskilda segment ytterligare i 10 lika delar, precis som centimeter och millimeter är markerade samtidigt på en linjal. Detta säkerställer att decimaler visas korrekt och kan jämföras objektivt.
För att indelningarna på enstaka segment ska vara identiska bör du noggrant överväga längden på själva segmentet. Den bör vara sådan att bekvämligheten med ytterligare uppdelning kan säkerställas.
Vi kommer att ägna detta material till ett så viktigt ämne som decimalbråk. Låt oss först definiera de grundläggande definitionerna, ge exempel och uppehålla oss vid reglerna för decimalnotation, samt vad siffrorna för decimalbråk är. Därefter lyfter vi fram huvudtyperna: ändliga och oändliga, periodiska och icke-periodiska bråk. I den sista delen kommer vi att visa hur punkterna som motsvarar bråktal ligger på koordinataxeln.
Vad är decimalnotation av bråktal
Den så kallade decimalnotationen av bråktal kan användas för både naturliga och bråktal. Det ser ut som en uppsättning av två eller flera siffror med ett kommatecken mellan dem.
Decimaltecknet behövs för att skilja hela delen från bråkdelen. Som regel är den sista siffran i ett decimalbråk inte en nolla, såvida inte decimaltecknet visas omedelbart efter den första nollan.
Vilka är några exempel på bråktal i decimalnotation? Detta kan vara 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, etc.
I vissa läroböcker kan du hitta användningen av en punkt istället för ett kommatecken (5. 67, 6789. 1011, etc. Det här alternativet anses vara likvärdigt, men det är mer typiskt för engelskspråkiga källor).
Definition av decimaler
Baserat på ovanstående koncept med decimalnotation kan vi formulera följande definition av decimaler:
Definition 1
Decimaler representerar bråktal i decimalnotation.
Varför behöver vi skriva bråk i denna form? Det ger oss vissa fördelar jämfört med vanliga, till exempel en mer kompakt notation, speciellt i de fall där nämnaren innehåller 1000, 100, 10, etc., eller ett blandat tal. Till exempel, istället för 6 10 kan vi ange 0,6, istället för 25 10000 - 0,0023, istället för 512 3 100 - 512,03.
Hur man korrekt representerar vanliga bråk med tiotals, hundra, tusentals i nämnaren i decimalform kommer att diskuteras i ett separat material.
Hur man läser decimaler korrekt
Det finns några regler för att läsa decimalnoteringar. Således läses de decimalbråk som motsvarar deras vanliga vanliga ekvivalenter nästan på samma sätt, men med tillägg av orden "noll tiondelar" i början. Således läses posten 0, 14, som motsvarar 14 100, som "noll komma fjorton hundradelar."
Om ett decimaltal kan associeras med ett blandat tal, så läses det på samma sätt som detta tal. Så om vi har bråktalet 56, 002, vilket motsvarar 56 2 1000, läser vi denna post som "femtiosex komma två tusendelar."
Betydelsen av en siffra i ett decimalbråk beror på var den finns (samma som i fallet med naturliga tal). Så i decimalbråket 0,7 är sju tiondelar, i 0,0007 är det tio tusendelar, och i bråktalet 70 000,345 betyder det sju tiotusentals hela enheter. I decimalbråk finns alltså också begreppet platsvärde.
Namnen på siffrorna före decimalkomma liknar de som finns i naturliga tal. Namnen på de som ligger efter visas tydligt i tabellen:
Låt oss titta på ett exempel.
Exempel 1
Vi har decimalbråket 43 098. Hon har en fyra på tiotalsplatsen, en trea på enhetsplatsen, en nolla på tiondelsplatsen, 9 på hundradelsplatsen och 8 på tusendelsplatsen.
Det är vanligt att särskilja raden av decimalbråk efter prioritet. Om vi rör oss genom siffrorna från vänster till höger, kommer vi att gå från det mest signifikanta till det minst signifikanta. Det visar sig att hundratals är äldre än tiotals och delar per miljon är yngre än hundradelar. Om vi tar det sista decimaltalet som vi citerade som ett exempel ovan, så kommer den högsta eller högsta platsen i den att vara hundratalsplatsen och den lägsta eller lägsta platsen kommer att vara 10-tusendelsplatsen.
Varje decimalbråk kan utökas till enskilda siffror, det vill säga presenteras som en summa. Denna åtgärd utförs på samma sätt som för naturliga tal.
Exempel 2
Låt oss försöka utöka bråkdelen 56, 0455 till siffror.
Vi kommer få:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Om vi kommer ihåg egenskaperna för addition kan vi representera denna bråkdel i andra former, till exempel som summan 56 + 0, 0455 eller 56, 0055 + 0, 4, etc.
Vad är efterföljande decimaler?
Alla bråk vi pratade om ovan är ändliga decimaler. Det betyder att antalet siffror efter decimalkomma är ändligt. Låt oss härleda definitionen:
Definition 1
Efterföljande decimaler är en typ av decimalbråk som har ett ändligt antal decimaler efter decimaltecknet.
Exempel på sådana fraktioner kan vara 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.
Vilken som helst av dessa bråk kan konverteras antingen till ett blandat tal (om värdet på deras bråkdel skiljer sig från noll) eller till ett vanligt bråktal (om heltalsdelen är noll). Vi har ägnat en separat artikel åt hur detta går till. Här ska vi bara peka på ett par exempel: till exempel kan vi reducera det sista decimalbråket 5, 63 till formen 5 63 100, och 0, 2 motsvarar 2 10 (eller någon annan bråkdel lika med den, för till exempel 4 20 eller 1 5.)
Men den omvända processen, dvs. att skriva ett vanligt bråk i decimalform kanske inte alltid är möjligt. Så, 5 13 kan inte ersättas av ett lika bråktal med nämnaren 100, 10, etc., vilket innebär att en sista decimalbråkdel inte kan erhållas från den.
Huvudtyper av oändliga decimalbråk: periodiska och icke-periodiska bråk
Vi angav ovan att ändliga bråk kallas så eftersom de har ett ändligt antal siffror efter decimalkomma. Det kan dock mycket väl vara oändligt, i vilket fall själva bråken också kommer att kallas oändliga.
Definition 2
Oändliga decimalbråk är de som har ett oändligt antal siffror efter decimalkomma.
Uppenbarligen kan sådana siffror helt enkelt inte skrivas ner i sin helhet, så vi anger bara en del av dem och lägger sedan till en ellips. Detta tecken indikerar en oändlig fortsättning på sekvensen av decimaler. Exempel på oändliga decimalbråk inkluderar 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. etc.
"Svansen" av en sådan bråkdel kan innehålla inte bara till synes slumpmässiga sekvenser av tal, utan också en konstant upprepning av samma tecken eller grupp av tecken. Bråk med alternerande tal efter decimalkomma kallas periodiskt.
Definition 3
Periodiska decimalbråk är de oändliga decimalbråken där en siffra eller en grupp med flera siffror upprepas efter decimalkomma. Den repeterande delen kallas bråkets period.
Till exempel, för bråket 3, 444444…. perioden kommer att vara siffran 4, och för 76, 134134134134... - gruppen 134.
Vilket är det minsta antalet tecken som kan finnas kvar i notationen av ett periodiskt bråk? För periodiska bråk räcker det att skriva hela perioden en gång inom parentes. Så, bråk 3, 444444…. Det skulle vara korrekt att skriva det som 3, (4) och 76, 134134134134... – som 76, (134).
I allmänhet kommer poster med flera punkter inom parentes att ha exakt samma betydelse: till exempel är det periodiska bråket 0,677777 samma som 0,6 (7) och 0,6 (77), etc. Register av formen 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. är också acceptabla.
För att undvika misstag inför vi enhetlighet i notationen. Låt oss komma överens om att bara skriva ner en punkt (kortast möjliga talföljd), som är närmast decimalkomma, och sätta in den inom parentes.
Det vill säga, för ovanstående bråkdel kommer vi att betrakta huvudposten som 0, 6 (7), och, till exempel, i fallet med bråkdelen 8, 9134343434, kommer vi att skriva 8, 91 (34).
Om nämnaren för ett vanligt bråk innehåller primtalsfaktorer som inte är lika med 5 och 2, kommer de, när de konverteras till decimalnotation, att resultera i oändliga bråk.
I princip kan vi skriva vilket ändligt bråk som helst som ett periodiskt. För att göra detta behöver vi bara lägga till ett oändligt antal nollor till höger. Hur ser det ut vid inspelning? Låt oss säga att vi har den sista bråkdelen 45, 32. I periodisk form kommer det att se ut som 45, 32 (0). Denna åtgärd är möjlig eftersom att lägga till nollor till höger om vilket decimalbråk som helst resulterar i ett bråk som är lika med det.
Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt periodiska bråk med en period på 9, till exempel 4, 89 (9), 31, 6 (9). De är en alternativ notation för liknande bråk med en period på 0, så de ersätts ofta när man skriver med bråk med en nollperiod. I det här fallet läggs en till värdet på nästa siffra och (0) anges inom parentes. Likheten mellan de resulterande talen kan enkelt verifieras genom att representera dem som vanliga bråk.
Exempelvis kan fraktionen 8, 31 (9) ersättas med motsvarande fraktion 8, 32 (0). Eller 4, (9) = 5, (0) = 5.
Oändliga decimala periodiska bråk klassificeras som rationella tal. Med andra ord, vilket periodiskt bråk som helst kan representeras som ett vanligt bråk, och vice versa.
Det finns också bråk som inte har en oändligt upprepad sekvens efter decimalkomma. I det här fallet kallas de icke-periodiska bråk.
Definition 4
Icke-periodiska decimalbråk inkluderar de oändliga decimalbråken som inte innehåller en punkt efter decimalkomma, dvs. upprepande grupp av nummer.
Ibland ser icke-periodiska bråk mycket ut som periodiska. Till exempel verkar 9, 03003000300003 ... vid första anblicken ha en punkt, men en detaljerad analys av decimalerna bekräftar att detta fortfarande är ett icke-periodiskt bråktal. Du måste vara mycket försiktig med sådana siffror.
Icke-periodiska bråk klassificeras som irrationella tal. De omvandlas inte till vanliga bråk.
Grundläggande operationer med decimaler
Följande operationer kan utföras med decimalbråk: jämförelse, subtraktion, addition, division och multiplikation. Låt oss titta på var och en av dem separat.
Att jämföra decimaler kan reduceras till att jämföra bråktal som motsvarar de ursprungliga decimalerna. Men oändliga icke-periodiska bråk kan inte reduceras till denna form, och att omvandla decimalbråk till vanliga bråk är ofta en arbetskrävande uppgift. Hur kan vi snabbt utföra en jämförelseåtgärd om vi behöver göra detta samtidigt som vi löser ett problem? Det är bekvämt att jämföra decimalbråk efter siffra på samma sätt som vi jämför naturliga tal. Vi kommer att ägna en separat artikel till denna metod.
För att lägga till några decimalbråk med andra är det praktiskt att använda kolumnadditionsmetoden, som för naturliga tal. För att lägga till periodiska decimalbråk måste du först ersätta dem med vanliga och räkna enligt standardschemat. Om vi, enligt villkoren för problemet, behöver lägga till oändliga icke-periodiska bråk, måste vi först avrunda dem till en viss siffra och sedan lägga till dem. Ju mindre siffra vi avrundar till, desto högre blir noggrannheten i beräkningen. För subtraktion, multiplikation och division av oändliga bråk är också föravrundning nödvändig.
Att hitta skillnaden mellan decimalbråk är det omvända till addition. Med hjälp av subtraktion kan vi i huvudsak hitta ett tal vars summa med bråket vi subtraherar ger oss bråket vi minimerar. Vi kommer att prata om detta mer i detalj i en separat artikel.
Att multiplicera decimalbråk görs på samma sätt som för naturliga tal. Kolumnberäkningsmetoden är också lämplig för detta. Vi reducerar återigen denna åtgärd med periodiska bråk till multiplikationen av vanliga bråk enligt de regler som redan studerats. Oändliga bråk, som vi minns, måste avrundas före beräkningar.
Processen att dividera decimaler är det omvända till att multiplicera. Vid problemlösning använder vi även kolumnära beräkningar.
Du kan fastställa en exakt överensstämmelse mellan det sista decimaltalet och en punkt på koordinataxeln. Låt oss ta reda på hur man markerar en punkt på axeln som exakt motsvarar den nödvändiga decimalfraktionen.
Vi har redan studerat hur man konstruerar punkter som motsvarar vanliga bråk, men decimalbråk kan reduceras till denna form. Till exempel är den vanliga bråkdelen 14 10 samma som 1, 4, så motsvarande punkt kommer att tas bort från origo i positiv riktning med exakt samma avstånd:
Du kan göra utan att ersätta decimalbråket med ett vanligt, men använd metoden för expansion med siffror som grund. Så om vi behöver markera en punkt vars koordinat kommer att vara lika med 15, 4008, kommer vi först att presentera detta nummer som summan 15 + 0, 4 +, 0008. Till att börja med, låt oss avsätta 15 hela enhetssegment i positiv riktning från början av nedräkningen, sedan 4 tiondelar av ett segment och sedan 8 tiotusendelar av ett segment. Som ett resultat får vi en koordinatpunkt som motsvarar bråket 15, 4008.
För en oändlig decimalfraktion är det bättre att använda den här metoden, eftersom den låter dig komma så nära den önskade punkten som du vill. I vissa fall är det möjligt att konstruera en exakt överensstämmelse med en oändlig bråkdel på koordinataxeln: till exempel 2 = 1, 41421. . . , och denna fraktion kan associeras med en punkt på koordinatstrålen, på avstånd från 0 med längden på kvadratens diagonal, vars sida kommer att vara lika med ett enhetssegment.
Om vi inte hittar en punkt på axeln, utan ett decimaltal som motsvarar den, kallas denna åtgärd för decimalmåttet för ett segment. Låt oss se hur du gör detta korrekt.
Låt oss säga att vi behöver komma från noll till en given punkt på koordinataxeln (eller komma så nära som möjligt i fallet med en oändlig bråkdel). För att göra detta skjuter vi gradvis upp enhetssegment från ursprunget tills vi kommer till önskad punkt. Efter hela segment mäter vi vid behov tiondelar, hundradelar och mindre bråk så att matchningen blir så exakt som möjligt. Som ett resultat fick vi ett decimaltal som motsvarar en given punkt på koordinataxeln.
Ovan visade vi en ritning med punkt M. Titta på det igen: för att komma till denna punkt måste du mäta ett enhetssegment och fyra tiondelar av det från noll, eftersom denna punkt motsvarar decimalbråket 1, 4.
Om vi inte kan komma till en punkt i processen för decimalmätning, betyder det att det motsvarar en oändlig decimalbråkdel.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Till exempel.$\frac(3)(10), 4 \frac(7)(100), \frac(11)(10000)$
Sådana bråk skrivs vanligtvis utan nämnare, och betydelsen av varje siffra beror på platsen där den står. För sådana bråk separeras heltalsdelen med kommatecken, och efter decimaltecknet måste det finnas lika många siffror som det finns nollor i det gemensamma bråkets nämnare. Bråksiffrorna kallas decimaler.
Till exempel.$\frac(21)(100)=0,21 ; 3 \frac(21)(100)=3,21 USD
Den första decimalen efter decimalen motsvarar tiondelar, den andra till hundradelar, den tredje till tusendelar osv.
Om antalet nollor i nämnaren för ett decimalbråk är större än antalet siffror i täljaren för samma bråktal, läggs det erforderliga antalet nollor till efter decimaltecknet före täljarsiffrorna.
Eftersom det finns fyra nollor i nämnaren och två siffror i täljaren, lägger vi till $4-2=2$ nollor före täljaren i bråkets decimalnotation.
Huvudegenskapen för ett decimalbråk
Fast egendom
Om du lägger till flera nollor till decimalbråket till höger ändras inte värdet på decimalbråket.
Till exempel.$12,034=12,0340=12,03400=12,034000=\ldots$
Kommentar
Således tas inte hänsyn till nollorna i slutet av decimalen, så när man utför olika åtgärder kan dessa nollor strykas över/kasseras.
Jämförelse av decimaler
För att jämföra två decimalbråk (ta reda på vilket av de två decimalbråken som är störst) måste du jämföra hela deras delar, sedan tiondelar, hundradelar osv. Om hela delen av en av fraktionerna är större än hela delen av en annan fraktion, anses den första fraktionen vara större. Vid likvärdighet av hela delar är bråkdelen med fler tiondelar större osv.
Exempel
Träning. Jämför fraktioner $2 432 $ ; 2,41 $ och 1 234 $
Lösning. Bråket $1,234$ är det minsta bråket eftersom dess heltalsdel är 1 och $1
Låt oss nu jämföra storleken på fraktionerna $2,432$ och $1,234$. Deras hela delar är lika med varandra och lika med 2. Låt oss jämföra tiondelarna: $4=4$. Jämför hundradelar: $3>1$. Alltså $2,432>$2,41.
För att skriva ett rationellt tal m/n som ett decimaltal måste du dividera täljaren med nämnaren. I det här fallet skrivs kvoten som en finit eller oändlig decimalbråk.
Skriv detta tal som ett decimaltal.
Lösning. Dela täljaren för varje bråk i en kolumn med dess nämnare: A) dividera 6 med 25; b) dividera 2 med 3; V) dividera 1 med 2 och lägg sedan den resulterande fraktionen till ett - heltalsdelen av detta blandade tal.
Irreducerbara vanliga bråk vars nämnare inte innehåller andra primtalsfaktorer än 2 Och 5 , skrivs som ett sista decimaltal.
I exempel 1 när A) nämnare 25=5·5; när V) nämnaren är 2, så vi får slutdecimalerna 0,24 och 1,5. När b) nämnaren är 3, så resultatet kan inte skrivas som en ändlig decimal.
Är det möjligt att utan lång division omvandla ett sådant vanligt bråk till ett decimalbråk, vars nämnare inte innehåller andra delare än 2 och 5? Låt oss ta reda på det! Vilket bråk kallas decimal och skrivs utan bråkstapel? Svar: bråk med nämnare 10; 100; 1000 osv. Och vart och ett av dessa nummer är en produkt likvärdig antal tvåor och femmor. Faktum är att: 10=2 ·5; 100=2.5.2.5; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 osv.
Följaktligen kommer nämnaren för ett irreducerbart vanligt bråk att behöva representeras som produkten av "tvåor" och "femmor" och sedan multipliceras med 2 och (eller) 5 så att "tvåorna" och "femman" blir lika. Då blir bråkens nämnare lika med 10 eller 100 eller 1000 osv. För att säkerställa att värdet på bråket inte ändras multiplicerar vi bråkets täljare med samma tal som vi multiplicerade nämnaren med.
Uttryck följande vanliga bråktal som decimaler:
Lösning. Var och en av dessa fraktioner är irreducerbar. Låt oss dela in nämnaren för varje bråk i primtalsfaktorer.
20=2·2·5. Slutsats: ett "A" saknas.
8=2·2·2. Slutsats: tre "A" saknas.
25=5·5. Slutsats: två "tvåor" saknas.
Kommentar. I praktiken använder de ofta inte faktorisering av nämnaren, utan ställer helt enkelt frågan: med hur mycket ska nämnaren multipliceras så att resultatet blir ett med nollor (10 eller 100 eller 1000, etc.). Och sedan multipliceras täljaren med samma tal.
Så i fallet A)(exempel 2) från talet 20 kan du få 100 genom att multiplicera med 5, därför måste du multiplicera täljaren och nämnaren med 5.
När b)(exempel 2) från talet 8 erhålls inte talet 100, men talet 1000 erhålls genom att multiplicera med 125. Både täljaren (3) och nämnaren (8) i bråket multipliceras med 125.
När V)(exempel 2) från 25 får du 100 om du multiplicerar med 4. Det betyder att täljaren 8 måste multipliceras med 4.
En oändlig decimalbråkdel där en eller flera siffror alltid upprepas i samma sekvens kallas periodisk som en decimal. Uppsättningen av upprepade siffror kallas perioden för denna bråkdel. För korthetens skull skrivs perioden för ett bråk en gång, inom parentes.
När b)(exempel 1) det finns bara en repeterande siffra och är lika med 6. Därför kommer vårt resultat 0,66... att skrivas så här: 0,(6) . De läser: noll poäng, sex i punkt.
Om det finns en eller flera icke-repeterande siffror mellan decimalkomma och den första punkten, kallas ett sådant periodiskt bråktal för ett blandat periodiskt bråktal.
En oreducerbar gemensam bråkdel vars nämnare är tillsammans med andra multiplikatorer innehåller en multiplikator 2 eller 5 , blir blandad periodisk fraktion.
Skriv siffror som decimaler.