Två uttryck sägs vara identiskt lika på en uppsättning om de har betydelse för denna uppsättning och alla deras motsvarande värden är lika.
En likhet där vänster och höger sida är identiskt lika uttryck kallas identitet.
Att ersätta ett uttryck med ett annat som är identiskt lika med det på en given mängd kallas identisk omvandling av uttrycket.
Uppgift. Hitta omfattningen av ett uttryck.
Lösning. Eftersom uttrycket är en bråkdel, för att hitta dess definitionsdomän måste du hitta dessa värden för variabeln X, där nämnaren blir noll, och eliminera dem. Efter att ha löst ekvationen X 2 - 9 = 0, vi finner det X= -3 och X= 3. Därför består definitionsdomänen för detta uttryck av alla andra tal än -3 och 3. Om vi betecknar det med X, då kan vi skriva:
X= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Uppgift.Är uttrycken och X- 2 likadana: a) på uppsättningen R; b) på mängden heltal som skiljer sig från noll?
Lösning. a) På en uppsättning R dessa uttryck är inte identiskt lika, sedan när X= 0 uttryck har ingen betydelse, och uttryck X- 2 har värdet -2.
b) På uppsättningen av heltal andra än noll är dessa uttryck identiskt lika, eftersom = 
.
Uppgift. Till vilka värden X följande likheter är identiteter:
A) 
; b) .
Lösning. a) Jämlikhet är en identitet om ;
b) Jämlikhet är en identitet om .
Låt oss överväga två likheter:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Denna likhet kommer att gälla för alla värden av variabeln a. Utbudet av acceptabla värden för den likheten kommer att vara hela uppsättningen av reella tal.
2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .
Denna olikhet kommer att vara sann för alla värden av variabeln a, utom för en lika med noll. Intervallet av acceptabla värden för denna olikhet kommer att vara hela uppsättningen av reella tal utom noll.
För var och en av dessa likheter kan det hävdas att det kommer att vara sant för alla tillåtna värden av variablerna a. Sådana likheter i matematik kallas identiteter.
Begreppet identitet
En identitet är en likhet som är sann för alla tillåtna värden av variablerna. Om du ersätter några giltiga värden i denna likhet istället för variabler, bör du få en korrekt numerisk likhet.
Det är värt att notera att sanna numeriska likheter också är identiteter. Identiteter, till exempel, kommer att vara egenskaper för åtgärder på siffror.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Om två uttryck för alla tillåtna variabler är lika, anropas sådana uttryck identiskt lika. Nedan följer några exempel på identiskt lika uttryck:
1. (a 2) 4 och a 8;
2. a*b*(-a^2*b) och -a3*b2;
3. ((x 3 *x 8)/x) och x 10.
Vi kan alltid ersätta ett uttryck med vilket annat uttryck som helst som är identiskt lika med det första. En sådan ersättning blir en identitetsförvandling.
Exempel på identiteter
Exempel 1: är följande likheter identiska:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Alla uttryck som presenteras ovan kommer inte att vara identiteter. Av dessa jämlikheter är endast 1, 2 och 3 likheter identiteter. Oavsett vilka siffror vi ersätter i dem, istället för variablerna a och b kommer vi fortfarande att få korrekta numeriska likheter.
Men 4 jämställdhet är inte längre en identitet. Eftersom denna likhet inte kommer att gälla för alla giltiga värden. Till exempel, med värdena a = 5 och b = 2, kommer följande resultat att erhållas:
Denna likhet är inte sant, eftersom siffran 3 inte är lika med siffran -3.
Båda delarna är identiskt lika uttryck. Identiteter är uppdelade i alfabetiska och numeriska.
Identitetsuttryck
Två algebraiska uttryck kallas identisk(eller identiskt lika), om för några numeriska värden av bokstäverna de har samma numeriska värde. Dessa är till exempel uttryck:
x(5 + x) och 5 x + x 2
Båda presenterade uttryck, oavsett värde x kommer att vara lika med varandra, så de kan kallas identiska eller identiskt lika.
Numeriska uttryck som är lika med varandra kan också kallas identiska. Till exempel:
20 - 8 och 10 + 2
Bokstavs- och nummeridentiteter
Bokstavlig identitetär en likhet som är giltig för alla värden på bokstäverna som ingår i den. Med andra ord, en jämlikhet där båda sidor är identiskt lika uttryck, till exempel:
(a + b)m = am + bm
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Numerisk identitetär en likhet som endast innehåller tal uttryckta i siffror, där båda sidor har samma numeriska värde. Till exempel:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Identiska omvandlingar av uttryck
Alla algebraiska operationer är en transformation av ett algebraiskt uttryck till ett annat, identiskt med det första.
När man beräknar värdet på ett uttryck, öppnar parenteser, placerar en gemensam faktor utanför parenteserna och i ett antal andra fall ersätts vissa uttryck av andra som är identiskt lika med dem. Ersättandet av ett uttryck med ett annat, identiskt lika med det, kallas identisk omvandling av uttrycket eller bara omvandla uttrycket. Alla uttryckstransformationer utförs baserat på egenskaperna för operationer på tal.
Låt oss överväga den identiska transformationen av ett uttryck med exemplet att ta den gemensamma faktorn ur parentes:
10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x
Efter att vi har behandlat begreppet identiteter kan vi gå vidare till att studera identiskt lika uttryck. Syftet med denna artikel är att förklara vad det är och att med exempel visa vilka uttryck som kommer att vara identiskt lika med andra.
Identiskt lika uttryck: definition
Begreppet identiskt lika uttryck studeras vanligtvis tillsammans med själva identitetsbegreppet som en del av en skolalgebrakurs. Här är den grundläggande definitionen hämtad från en lärobok:
Definition 1
Identiskt lika varandra kommer det att finnas sådana uttryck, vars värden kommer att vara desamma för alla möjliga värden för variablerna som ingår i deras sammansättning.
Dessutom anses de numeriska uttryck som samma värden motsvarar identiskt lika.
Detta är en ganska bred definition som kommer att gälla för alla heltalsuttryck vars betydelse inte ändras när värdena på variablerna ändras. Men senare blir det nödvändigt att förtydliga denna definition, eftersom det förutom heltal finns andra typer av uttryck som inte är meningsfulla med vissa variabler. Detta ger upphov till begreppet tillåtlighet och otillåtlighet för vissa variabelvärden, liksom behovet av att fastställa intervallet för tillåtna värden. Låt oss formulera en förfinad definition.
Definition 2
Identiskt lika uttryck– det här är de uttryck vars värden är lika med varandra för alla tillåtna värden av variablerna som ingår i deras sammansättning. Numeriska uttryck kommer att vara identiskt lika med varandra förutsatt att värdena är desamma.
Frasen "för alla giltiga värden för variablerna" indikerar alla de värden för variablerna som båda uttrycken är meningsfulla för. Vi kommer att förklara denna punkt senare när vi ger exempel på identiskt lika uttryck.
Du kan också ange följande definition:
Definition 3
Identiskt lika uttryck är uttryck som ligger i samma identitet på vänster och höger sida.
Exempel på uttryck som är identiskt lika med varandra
Med hjälp av definitionerna ovan, låt oss titta på några exempel på sådana uttryck.
Låt oss börja med numeriska uttryck.
Exempel 1
Således kommer 2 + 4 och 4 + 2 att vara identiskt lika med varandra, eftersom deras resultat kommer att vara lika (6 och 6).
Exempel 2
På samma sätt är uttrycken 3 och 30 identiskt lika: 10, (2 2) 3 och 2 6 (för att beräkna värdet på det sista uttrycket behöver du känna till gradens egenskaper).
Exempel 3
Men uttrycken 4 - 2 och 9 - 1 kommer inte att vara lika, eftersom deras värden är olika.
Låt oss gå vidare till exempel på bokstavliga uttryck. a + b och b + a kommer att vara identiskt lika, och detta beror inte på variablernas värden (likheten mellan uttryck i detta fall bestäms av den kommutativa egenskapen addition).
Exempel 4
Till exempel, om a är lika med 4 och b är lika med 5, kommer resultaten fortfarande att vara desamma.
Ett annat exempel på identiskt lika uttryck med bokstäver är 0 · x · y · z och 0 . Oavsett värdena på variablerna i det här fallet, när de multipliceras med 0, kommer de att ge 0. De ojämlika uttrycken är 6 · x och 8 · x, eftersom de inte kommer att vara lika för något x.
I händelse av att områdena med tillåtna värden för variablerna sammanfaller, till exempel i uttrycken a + 6 och 6 + a eller a · b · 0 och 0, eller x 4 och x, och värdena för själva uttrycken är lika för alla variabler, då anses sådana uttryck vara identiskt lika. Så, a + 8 = 8 + a för vilket värde som helst av a, och a · b · 0 = 0 också, eftersom multiplicera valfritt tal med 0 resulterar i 0. Uttrycken x 4 och x kommer att vara identiskt lika för alla x från intervallet [ 0 , + ∞) .
Men intervallet av giltiga värden i ett uttryck kan skilja sig från intervallet för ett annat.
Exempel 5
Låt oss till exempel ta två uttryck: x − 1 och x - 1 · x x. För den första av dem kommer intervallet av tillåtna värden för x att vara hela uppsättningen av reella tal, och för den andra - uppsättningen av alla reella tal, med undantag för noll, för då får vi 0 i nämnare, och en sådan uppdelning är inte definierad. Dessa två uttryck har ett gemensamt värdeintervall som bildas av skärningspunkten mellan två separata intervall. Vi kan dra slutsatsen att båda uttrycken x - 1 · x x och x - 1 kommer att vara vettiga för alla reella värden på variablerna, med undantag för 0.
Den grundläggande egenskapen för bråket låter oss också dra slutsatsen att x - 1 · x x och x − 1 kommer att vara lika för alla x som inte är 0. Detta betyder att på det allmänna intervallet av tillåtna värden kommer dessa uttryck att vara identiskt lika med varandra, men för något verkligt x kan vi inte tala om identisk likhet.
Om vi ersätter ett uttryck med ett annat, som är identiskt lika med det, så kallas denna process en identitetstransformation. Detta koncept är mycket viktigt, och vi kommer att prata om det i detalj i ett separat material.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Efter att ha fått en uppfattning om identiteter är det logiskt att gå vidare till att bekanta sig med. I den här artikeln kommer vi att svara på frågan om vad identiskt lika uttryck är, och även använda exempel för att förstå vilka uttryck som är identiskt lika och vilka som inte är det.
Sidnavigering.
Vad är identiskt lika uttryck?
Definitionen av identiskt lika uttryck ges parallellt med definitionen av identitet. Detta händer i 7:e klass algebra. I läroboken om algebra för 7:e klass av författaren Yu. N. Makarychev ges följande formulering:
Definition.
– dessa är uttryck vars värden är lika för alla värden av variablerna som ingår i dem. Numeriska uttryck som har identiska värden kallas också identiskt lika.
Denna definition används upp till betyg 8; den är giltig för heltalsuttryck, eftersom de är meningsfulla för alla värden av variablerna som ingår i dem. Och i årskurs 8 förtydligas definitionen av identiskt lika uttryck. Låt oss förklara vad detta är kopplat till.
I 8:e klass börjar studiet av andra typer av uttryck, som, till skillnad från hela uttryck, kanske inte är vettigt för vissa värden av variablerna. Detta tvingar oss att införa definitioner av tillåtna och oacceptabla värden av variabler, såväl som intervallet av tillåtna värden för variabelns variabelvärde, och, som en konsekvens, att förtydliga definitionen av identiskt lika uttryck.
Definition.
Två uttryck vars värden är lika för alla tillåtna värden för variablerna som ingår i dem kallas identiskt lika uttryck. Två numeriska uttryck med samma värden kallas också identiskt lika.
I denna definition av identiskt lika uttryck är det värt att förtydliga innebörden av frasen "för alla tillåtna värden för variablerna som ingår i dem." Det innebär alla sådana värden av variabler för vilka båda identiskt lika uttryck är meningsfulla samtidigt. Vi kommer att förklara denna idé i nästa stycke genom att titta på exempel.
Definitionen av identiskt lika uttryck i A. G. Mordkovichs lärobok ges lite annorlunda:
Definition.
Identiskt lika uttryck– det här är uttryck på vänster och höger sida av identiteten.
Innebörden av denna och de tidigare definitionerna sammanfaller.
Exempel på likadana uttryck
De definitioner som introducerades i föregående stycke tillåter oss att ge exempel på likadana uttryck.
Låt oss börja med identiskt lika numeriska uttryck. De numeriska uttrycken 1+2 och 2+1 är identiskt lika, eftersom de motsvarar lika värden 3 och 3. Uttrycken 5 och 30:6 är också identiskt lika, liksom uttrycken (2 2) 3 och 2 6 (värdena för de senare uttrycken är lika i kraft av ). Men de numeriska uttrycken 3+2 och 3−2 är inte identiskt lika, eftersom de motsvarar värdena 5 respektive 1, och de är inte lika.
Låt oss nu ge exempel på identiskt lika uttryck med variabler. Dessa är uttrycken a+b och b+a. Faktum är att för alla värden av variablerna a och b, tar de skrivna uttrycken samma värden (som följer av siffrorna). Till exempel, med a=1 och b=2 har vi a+b=1+2=3 och b+a=2+1=3 . För alla andra värden på variablerna a och b kommer vi också att få lika värden på dessa uttryck. Uttrycken 0·x·y·z och 0 är också identiskt lika för alla värden på variablerna x, y och z. Men uttrycken 2 x och 3 x är inte identiskt lika, eftersom till exempel när x=1 deras värden inte är lika. För x=1 är uttrycket 2·x faktiskt lika med 2·1=2, och uttrycket 3·x är lika med 3·1=3.
När intervallen för tillåtna värden för variabler i uttryck sammanfaller, som till exempel i uttrycken a+1 och 1+a, eller a·b·0 och 0, eller och, och värdena för dessa uttryck är lika för alla värden för variablerna från dessa områden, då är allt klart - dessa uttryck är identiskt lika för alla tillåtna värden för variablerna som ingår i dem. Så a+1≡1+a för alla a, uttrycken a·b·0 och 0 är identiskt lika för alla värden av variablerna a och b, och uttrycken och är identiskt lika för alla x av ; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.