จากมาสเตอร์เว็บ
22.09.2018 22:00ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตควบคู่ไปกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดตัวเลขที่สำคัญซึ่งมีการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะดูตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และค่าของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของมันอย่างไร
คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ก่อนอื่น เรามานิยามของอนุกรมตัวเลขนี้กันก่อน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่เกิดขึ้นจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วยจำนวนคงที่ที่เรียกว่าตัวส่วน
ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในชุด 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะถ้าคุณคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 คุณจะได้ 6 หากคุณคูณ 6 ด้วย 2 คุณจะได้ 12 และอื่นๆ
สมาชิกของลำดับที่กำลังพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในชุดข้อมูล
คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนได้ในภาษาคณิตศาสตร์ดังนี้ an = bn-1 * a1 โดยที่ b คือตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 ดังนั้น b1-1 = 1 แล้วเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 ดังนั้น an = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่เป็นปัญหาอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวเลข b เป็นตัวกำหนดโดยสมบูรณ์ว่าชุดตัวเลขทั้งหมดจะมีอักขระใด ตัวส่วน b สามารถเป็นบวก ลบ หรือมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งได้ ตัวเลือกทั้งหมดข้างต้นนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:
- b > 1. มีอนุกรมจำนวนตรรกยะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... ถ้าองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นเป็นค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่จะลดลงตามเครื่องหมายของตัวเลข
- b = 1 บ่อยครั้งกรณีนี้ไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีอนุกรมธรรมดาของจำนวนตรรกยะที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4
สูตรสำหรับจำนวนเงิน
ก่อนที่จะพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณา ควรกำหนดสูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n ตัวแรก สูตรมีลักษณะดังนี้: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)
คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตัวเองหากคุณพิจารณาลำดับการเรียกซ้ำของเงื่อนไขของความก้าวหน้า โปรดทราบด้วยว่าในสูตรข้างต้น ก็เพียงพอที่จะรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและตัวส่วนเพื่อค้นหาผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการ
ลำดับลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
คำอธิบายได้รับข้างต้นว่ามันคืออะไร ทีนี้ เมื่อรู้สูตรของ Sn แล้ว ลองนำไปใช้กับอนุกรมตัวเลขนี้กัน เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 มีแนวโน้มจะเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังสูง นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1
เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ ไม่ว่าค่าของตัวส่วนจะเป็นเช่นไรก็ตาม เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด S∞ จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1
ตอนนี้เรามาดูปัญหาต่างๆ ที่เราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ
ปัญหาหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม
เมื่อพิจารณาจากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกของมันคือ 3 เทอมที่ 7 และ 10 จะเท่ากับเท่าใด และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้ง 7 องค์ประกอบเป็นเท่าใด
เงื่อนไขของปัญหาค่อนข้างง่ายและเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้นในการคำนวณหมายเลของค์ประกอบ n เราใช้นิพจน์ an = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 ที่เรามี: a7 = b6 * a1 แทนที่ข้อมูลที่รู้จักเราได้รับ: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันกับเทอมที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536
ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมและกำหนดค่านี้สำหรับ 7 องค์ประกอบแรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381
ปัญหาหมายเลข 2 การกำหนดผลรวมขององค์ประกอบโดยพลการของความก้าวหน้า
ให้ -2 เท่ากับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 4 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม มีความจำเป็นต้องกำหนดค่ารวมจากองค์ประกอบที่ 5 ถึงองค์ประกอบที่ 10 ของซีรี่ส์นี้
ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่ทราบ สามารถแก้ไขได้โดยใช้ 2 วิธีที่แตกต่างกัน เพื่อให้การนำเสนอหัวข้อสมบูรณ์ เราขอนำเสนอทั้งสองอย่าง
วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นง่าย: คุณต้องคำนวณผลรวมสองคำที่สอดคล้องกันของเทอมแรกแล้วลบอีกอันออกจากที่หนึ่ง เราคำนวณจำนวนที่น้อยกว่า: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมที่มากขึ้น: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้ายมีเพียง 4 คำเท่านั้นที่สรุปได้เนื่องจากคำที่ 5 ได้รวมไว้ในจำนวนที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย เราก็หาผลต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344
วิธีที่ 2 ก่อนที่จะแทนที่ตัวเลขและการนับ คุณสามารถรับสูตรสำหรับผลรวมระหว่างเงื่อนไข m และ n ของชุดข้อมูลที่ต้องการได้ เราทำเช่นเดียวกับวิธีที่ 1 ทุกประการ เพียงแต่ก่อนอื่นเราจะทำงานกับการแสดงจำนวนเงินเชิงสัญลักษณ์ เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่รู้จักลงในนิพจน์ผลลัพธ์และคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344
ปัญหาข้อที่ 3 ตัวส่วนคืออะไร?
ให้ a1 = 2 ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่รู้กันว่านี่คือชุดตัวเลขที่ลดลง
เมื่อพิจารณาจากเงื่อนไขของปัญหาแล้วเดาได้ไม่ยากว่าควรใช้สูตรใดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ ยังคงทดแทนค่าที่ทราบและรับหมายเลขที่ต้องการ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 หรือ -0.333(3) เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์นี้ได้ในเชิงคุณภาพหากเราจำไว้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ไม่ควรเกิน 1 ดังที่เห็น |-1 / 3|
ภารกิจที่ 4 การกู้คืนชุดตัวเลข
ให้ระบุองค์ประกอบ 2 รายการของชุดตัวเลข เช่น องค์ประกอบที่ 5 เท่ากับ 30 และองค์ประกอบที่ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องสร้างอนุกรมทั้งหมดใหม่จากข้อมูลเหล่านี้ โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ในการแก้ปัญหา คุณต้องเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับคำศัพท์แต่ละคำที่ทราบก่อน เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้หารนิพจน์ที่สองด้วยตัวแรกเราจะได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากตรงนี้ เราจะหาตัวส่วนโดยการหารากที่ห้าของอัตราส่วนของพจน์ที่ทราบจากประโยคปัญหา ซึ่งก็คือ b = 1.148698 เราแทนที่ตัวเลขผลลัพธ์เป็นหนึ่งในนิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่รู้จักเราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับตัวเลขรูปแบบใหม่ที่เรากำลังจะคุ้นเคย เพื่อการออกเดทที่ประสบความสำเร็จ อย่างน้อยการรู้และเข้าใจก็ไม่เสียหายอะไร แล้วจะไม่มีปัญหาเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร? แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เราเริ่มทัวร์ตามปกติด้วยพื้นฐาน ฉันเขียนลำดับตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
คุณสามารถมองเห็นรูปแบบและบอกได้ว่าตัวเลขใดจะมาต่อไป? พริกไทยชัดเจนแล้วเลข 100,000, 1,000,000 และต่อๆ ไปก็จะตามมา แม้จะไม่ต้องใช้ความพยายามอะไรมากมาย ทุกอย่างก็ชัดเจนใช่ไหม?)
ตกลง. ตัวอย่างอื่น. ฉันเขียนลำดับนี้:
1, 2, 4, 8, 16, …
บอกได้ไหมว่าเลขไหนจะมาต่อไปตามเลข 16 และชื่อ ที่แปดสมาชิกลำดับ? ถ้าคิดออกว่าจะเป็นเลข 128 ก็ถือว่าดีมาก ครึ่งหนึ่งของการต่อสู้อยู่ที่ความเข้าใจ ความหมายและ ประเด็นสำคัญความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้เสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเติบโตต่อไปได้)
และตอนนี้เราย้ายจากความรู้สึกไปสู่คณิตศาสตร์ที่เข้มงวดอีกครั้ง
ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
จุดสำคัญ #1
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ ลำดับของตัวเลขความก้าวหน้าก็เช่นกัน ไม่มีอะไรแฟนซี ลำดับนี้เท่านั้นที่จัดไว้ แตกต่างกันดังนั้นจึงมีชื่อที่แตกต่างกันออกไป ใช่แล้ว...
จุดสำคัญ #2
ด้วยประเด็นสำคัญประการที่สอง คำถามจะซับซ้อนมากขึ้น ย้อนกลับไปสักหน่อยแล้วจำคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน นี่คือ: สมาชิกแต่ละคนมีความแตกต่างจากสมาชิกคนก่อน ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดคุณสมบัติหลักที่คล้ายกันสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต? คิดสักนิด... ลองดูตัวอย่างที่ให้มาโดยละเอียด คุณเดาได้ไหม? ใช่! ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (มีก็ได้!) สมาชิกแต่ละคนจะแตกต่างจากสมาชิกก่อนหน้า จำนวนครั้งเท่ากันเสมอ!
ในตัวอย่างแรก ตัวเลขนี้คือสิบ ไม่ว่าคุณจะเลือกสมาชิกของลำดับใด มันจะมากกว่าลำดับก่อนหน้า สิบครั้ง.
ในตัวอย่างที่สอง มันคือสอง: แต่ละเทอมมีค่ามากกว่าเทอมก่อนหน้า สองครั้ง.
นี่คือประเด็นสำคัญที่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะได้แต่ละพจน์ที่ตามมา โดยการเพิ่มค่าเดียวกันกับคำก่อนหน้า และที่นี่ - การคูณงวดก่อนด้วยจำนวนเท่ากัน นั่นคือความแตกต่างทั้งหมด)
จุดสำคัญ #3
ประเด็นสำคัญนี้เหมือนกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง กล่าวคือ: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยืนอยู่ในตำแหน่งของมันทุกอย่างเหมือนกันทุกประการกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความคิดเห็นที่ฉันคิดว่าไม่จำเป็น มีเทอมแรกมีร้อยเอ็ดเป็นต้น ให้เราสลับกันอย่างน้อยสองเทอม รูปแบบ (และความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย) จะหายไป สิ่งที่เหลืออยู่เป็นเพียงลำดับตัวเลขโดยไม่มีตรรกะใดๆ
นั่นคือทั้งหมดที่ นั่นคือจุดรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ข้อกำหนดและการกำหนด
แต่ตอนนี้ เมื่อเข้าใจความหมายและประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว เราก็สามารถไปยังทฤษฎีได้ ไม่เช่นนั้นทฤษฎีจะเป็นอย่างไรหากไม่เข้าใจความหมายใช่ไหม?
จะแสดงถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้อย่างไร?
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร ไม่มีปัญหา! แต่ละเทอมของความก้าวหน้าก็เขียนเป็นตัวอักษรด้วย สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น โดยปกติจะใช้ตัวอักษร "เอ", สำหรับเรขาคณิต – ตัวอักษร "ข" หมายเลขสมาชิกตามปกติจะถูกระบุ ดัชนีที่ด้านล่างขวา- เราเพียงแต่แสดงรายชื่อสมาชิกของความก้าวหน้า โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรืออัฒภาค
แบบนี้:
ข 1,ข 2 , ข 3 , ข 4 , ข 5 , ข 6 , …
ความก้าวหน้านี้เขียนโดยย่อดังนี้: (บีเอ็น) .
หรือเช่นนี้เพื่อความก้าวหน้าอันจำกัด:
ข 1, ข 2, ข 3, ข 4, ข 5, ข 6
ข 1 ข 2 … ข 29 ข 30
หรือกล่าวโดยย่อ:
(บีเอ็น), n=30 .
อันที่จริงมันคือการกำหนดทั้งหมด ทุกอย่างเหมือนเดิมต่างกันแค่ตัวอักษรเท่านั้นใช่) และตอนนี้เราไปสู่คำจำกัดความโดยตรง
คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลขโดยที่เทอมแรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน
นั่นคือคำจำกัดความทั้งหมด คำและวลีส่วนใหญ่ชัดเจนและคุ้นเคยสำหรับคุณ แน่นอนว่าหากคุณเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต "บนนิ้วของคุณ" และโดยทั่วไปแล้ว แต่ก็มีวลีใหม่สองสามวลีที่ฉันอยากจะให้ความสนใจเป็นพิเศษ
ประการแรกคำว่า: “สมาชิกคนแรกซึ่ง ไม่ใช่ศูนย์".
ข้อจำกัดนี้ในระยะแรกไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าสมาชิกคนแรก ข 1 จะเท่ากับศูนย์ใช่ไหม? เทอมที่สองจะเท่ากับอะไรถ้าแต่ละเทอมมากกว่าเทอมก่อนหน้า? จำนวนครั้งเท่ากันเหรอ?สมมติว่าสามครั้ง? มาดูกัน... คูณเทอมแรก (เช่น 0) ด้วย 3 แล้วได้... ศูนย์! แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ? เป็นศูนย์ด้วย! และเทอมที่สี่ก็เป็นศูนย์ด้วย! และอื่นๆ...
เราเพิ่งได้เบเกิลหนึ่งถุง ลำดับของเลขศูนย์:
0, 0, 0, 0, …
แน่นอนว่าลำดับดังกล่าวมีสิทธิที่จะมีชีวิต แต่ก็ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ทุกอย่างชัดเจน. สมาชิกใดๆ ของมันคือศูนย์ ผลรวมของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้เป็นศูนย์... คุณสามารถทำอะไรที่น่าสนใจได้บ้าง? ไม่มีอะไร…
คำสำคัญต่อไปนี้: "คูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่าเดิม"
หมายเลขเดียวกันนี้ก็มีชื่อพิเศษของตัวเองเช่นกัน - ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า)
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างง่ายเหมือนปลอกลูกแพร์
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือตัวเลข (หรือปริมาณ) ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ระบุกี่ครั้งแต่ละระยะของความก้าวหน้า มากกว่าครั้งก่อน
เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำสำคัญที่ต้องมองหาในคำจำกัดความนี้คือคำว่า "มากกว่า"- หมายความว่าจะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ละเทอม การคูณถึงตัวส่วนนี้เอง สมาชิกคนก่อน.
ให้ฉันอธิบาย.
ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองดิ๊ก จำเป็นต้องเอา อันดับแรกสมาชิกและ คูณให้กับตัวส่วน. สำหรับการคำนวณ ที่สิบดิ๊ก จำเป็นต้องเอา เก้าสมาชิกและ คูณให้กับตัวส่วน.
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นสามารถเป็นอะไรก็ได้ ใครก็ได้แน่นอน! ทั้งหมด, เศษส่วน, บวก, ลบ, ไม่ลงตัว - ทุกอย่าง ยกเว้นศูนย์ นี่คือสิ่งที่คำว่า "ไม่เป็นศูนย์" ในคำจำกัดความบอกเรา เหตุใดจึงต้องมีคำนี้ที่นี่ - มีรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตส่วนใหญ่มักระบุด้วยจดหมาย ถาม.
จะหาได้อย่างไร ถาม- ไม่มีปัญหา! เราต้องใช้เวลาระยะหนึ่งของความก้าวหน้าและ หารด้วยเทอมก่อนหน้า- ส่วนที่เป็น เศษส่วน- ดังนั้นชื่อ - "ส่วนแห่งความก้าวหน้า" ตัวส่วนมักจะอยู่ในเศษส่วน ใช่...) แม้ว่าตามตรรกะแล้ว ค่าก็ตาม ถามควรจะเรียกว่า ส่วนตัวความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคล้ายกับ ความแตกต่างเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่เราตกลงที่จะโทร ตัวส่วน- และเราจะไม่สร้างวงล้อขึ้นมาใหม่เช่นกัน)
ให้เรากำหนด เช่น ปริมาณ ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้:
2, 6, 18, 54, …
ทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา เอาล่ะ ใดๆลำดับหมายเลข. เราเอาอะไรก็ตามที่เราต้องการ ยกเว้นอันแรกสุด เช่น 18. และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า- นั่นก็คือตอน 6 โมง
เราได้รับ:
ถาม = 18/6 = 3
นั่นคือทั้งหมดที่ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ ตัวส่วนคือสาม
ทีนี้ลองหาตัวส่วน ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอีกอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่นอันนี้:
1, -2, 4, -8, 16, …
เหมือนกันทั้งหมด. ไม่ว่าสมาชิกจะมีสัญญาณอะไรเราก็ยังรับอยู่ ใดๆจำนวนลำดับ (เช่น 16) และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า(เช่น -8)
เราได้รับ:
ง = 16/(-8) = -2
แค่นั้นแหละ.) คราวนี้ตัวหารของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ ลบสอง. เกิดขึ้น)
ตอนนี้เรามาดูความก้าวหน้านี้กัน:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
และอีกครั้ง ไม่ว่าตัวเลขในลำดับจะเป็นประเภทใดก็ตาม (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนคู่ หรือจำนวนลบ หรือจำนวนตรรกยะ) เราจะนำตัวเลขใดๆ ก็ตาม (เช่น 1/9) แล้วหารด้วยตัวเลขก่อนหน้า (1/3) ตามกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนแน่นอน
เราได้รับ:
แค่นั้นแหละ.) ตัวส่วนกลายเป็นเศษส่วนที่นี่: ถาม = 1/3.
คุณคิดอย่างไรกับ "ความก้าวหน้า" นี้?
3, 3, 3, 3, 3, …
เห็นได้ชัดว่าที่นี่ ถาม = 1 - อย่างเป็นทางการ นี่เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเท่านั้น สมาชิกที่เหมือนกัน.) แต่ความก้าวหน้าดังกล่าวไม่น่าสนใจสำหรับการศึกษาและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าที่มีศูนย์ทึบ ดังนั้นเราจะไม่พิจารณาพวกเขา
อย่างที่คุณเห็น ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถเป็นอะไรก็ได้ - จำนวนเต็ม เศษส่วน บวก ลบ - อะไรก็ได้! มันไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เดาไม่ถูกว่าทำไม?
ลองใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจงเพื่อดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเราเป็นตัวส่วน ถามศูนย์) ยกตัวอย่างให้เรามี ข 1 = 2 , ก ถาม = 0 - แล้วเทอมที่สองจะเท่ากับอะไร?
เรานับ:
ข 2 = ข 1 · ถาม= 2 0 = 0
แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ?
ข 3 = ข 2 · ถาม= 0 0 = 0
ประเภทและพฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: หากความก้าวหน้าแตกต่างกัน งเป็นบวก แล้วความก้าวหน้าก็จะเพิ่มขึ้น หากความแตกต่างเป็นลบ ความก้าวหน้าจะลดลง มีเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น ไม่มีที่สาม)
แต่ด้วยพฤติกรรมความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ทุกอย่างจะน่าสนใจและหลากหลายมากขึ้น!)
ไม่ว่าสมาชิกจะประพฤติตนอย่างไรที่นี่: พวกมันเพิ่มขึ้นและลดลง และเข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่มีกำหนด และแม้กระทั่งเปลี่ยนสัญญาณ สลับกันโยนตัวเองเข้าไปใน "บวก" แล้วจึงกลายเป็น "ลบ"! และในความหลากหลายทั้งหมดนี้ คุณต้องสามารถเข้าใจได้ดี ใช่...
ลองคิดดูสิ?) เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน
ตัวส่วนเป็นบวก ( ถาม >0)
ด้วยตัวส่วนบวก อย่างแรก เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเข้าได้ บวกกับอนันต์(กล่าวคือเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด) และสามารถเข้าไปได้ ลบอนันต์(เช่น ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด) เราคุ้นเคยกับพฤติกรรมแห่งความก้าวหน้านี้แล้ว
ตัวอย่างเช่น:
(บีเอ็น): 1, 2, 4, 8, 16, …
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ มากขึ้นกว่าเดิม- ยิ่งกว่านั้นแต่ละเทอมจะเปิดออก การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 (เช่น ถาม = 2 - พฤติกรรมของความก้าวหน้าดังกล่าวชัดเจน: สมาชิกทุกคนของความก้าวหน้าเติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด และเข้าสู่อวกาศ บวกกับความไม่มีที่สิ้นสุด...
และตอนนี้นี่คือความคืบหน้า:
(บีเอ็น): -1, -2, -4, -8, -16, …
ที่นี่ก็ได้รับความก้าวหน้าแต่ละระยะเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 แต่พฤติกรรมของความก้าวหน้าดังกล่าวกลับตรงกันข้าม: จะได้รับแต่ละระยะของความก้าวหน้า น้อยกว่าครั้งก่อนและพจน์ทั้งหมดลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด ไปจนถึงลบอนันต์
ทีนี้ลองมาคิดว่า: ความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้องแล้ว ตัวส่วน! ที่นี่และที่นั่น ถาม = +2 . จำนวนบวกสอง. และที่นี่ พฤติกรรมความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีความแตกต่างกันโดยพื้นฐาน! เดาไม่ถูกว่าทำไม? ใช่! มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับ สมาชิกคนแรก!อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าใครเป็นคนร้องทำนอง) ดูด้วยตัวคุณเอง
ในกรณีแรก ระยะแรกของความก้าวหน้า เชิงบวก(+1) และดังนั้น เงื่อนไขต่อมาทั้งหมดที่ได้รับจากการคูณด้วย เชิงบวกตัวส่วน ถาม = +2 จะเป็นเช่นกัน เชิงบวก.
แต่ในกรณีที่สอง เทอมแรก เชิงลบ(-1) ดังนั้นเงื่อนไขการก้าวหน้าที่ตามมาทั้งหมดที่ได้จากการคูณด้วย เชิงบวก ถาม = +2 จะได้รับเช่นกัน เชิงลบ.เพราะ "ลบ" ถึง "บวก" จะให้ "ลบ" เสมอใช่)
อย่างที่คุณเห็น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตรงที่มีพฤติกรรมแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับ จากตัวส่วนถามแต่ยังขึ้นอยู่กับ ตั้งแต่สมาชิกคนแรก, ใช่.)
ข้อควรจำ: พฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะจากเทอมแรก ข 1 และตัวส่วนถาม .
และตอนนี้เราเริ่มวิเคราะห์กรณีที่คุ้นเคยน้อยลง แต่มีกรณีที่น่าสนใจมากขึ้น!
ยกตัวอย่างลำดับนี้:
(บีเอ็น): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
ลำดับนี้ก็เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน! แต่ละวาระของความก้าวหน้านี้ก็ปรากฏเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนด้วยหมายเลขเดียวกัน มันเป็นเพียงตัวเลข - เศษส่วน: ถาม = +1/2 - หรือ +0,5 - ยิ่งไปกว่านั้น (สำคัญ!) ตัวเลข น้อยกว่าหนึ่ง:ถาม = 1/2<1.
เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้จึงน่าสนใจ สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? มาดูกันดีกว่า:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
คุณสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอะไรบ้างที่นี่? ประการแรก การลดลงในแง่ของความก้าวหน้าจะเห็นได้ทันที: สมาชิกแต่ละคน น้อยอันที่แล้วอย่างแน่นอน 2 ครั้ง.หรือตามคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในแต่ละเทอม มากกว่าก่อนหน้า 1/2 ครั้ง, เพราะ ตัวส่วนความก้าวหน้า ถาม = 1/2 - และเมื่อคูณด้วยจำนวนบวกที่น้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์ก็มักจะลดลง ใช่...
อะไร มากกว่าสามารถเห็นได้จากพฤติกรรมของความก้าวหน้านี้หรือไม่? สมาชิกลดลงหรือเปล่า? ไม่ จำกัดจะไปลบอนันต์เหรอ? เลขที่! พวกเขาหายไปในลักษณะพิเศษ ในตอนแรกจะลดลงอย่างรวดเร็ว และต่อมาจะค่อยๆ ลดลงเรื่อยๆ และในขณะที่ยังคงอยู่ตลอดเวลา เชิงบวก- แม้จะเล็กมากก็ตาม และพวกเขาต่อสู้เพื่ออะไร? คุณไม่เดาเหรอ? ใช่! พวกเขามุ่งมั่นไปสู่ศูนย์!) ยิ่งไปกว่านั้น โปรดใส่ใจ สมาชิกในความก้าวหน้าของเรานั้นมาจากศูนย์ ไม่ถึง!เท่านั้น เข้ามาใกล้เขาอย่างไม่สิ้นสุด. มันสำคัญมาก.)
สถานการณ์ที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นในการดำเนินการต่อไปนี้:
(บีเอ็น): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
ที่นี่ ข 1 = -1 , ก ถาม = 1/2 - ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะตอนนี้เงื่อนไขจะเข้าใกล้ศูนย์จากอีกด้านหนึ่งจากด้านล่าง อยู่ตลอดเวลา เชิงลบ.)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวซึ่งเงื่อนไขดังกล่าว เข้าใกล้ศูนย์โดยไม่มีขีดจำกัด(ไม่ว่าจะมาจากด้านบวกหรือด้านลบก็ตาม) ในทางคณิตศาสตร์มีชื่อพิเศษว่า - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดความก้าวหน้านี้น่าสนใจและแปลกประหลาดมากจนต้องพูดถึงด้วยซ้ำ บทเรียนแยกต่างหาก .)
ดังนั้นเราจึงพิจารณาความเป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เชิงบวกตัวส่วนมีทั้งตัวใหญ่และตัวเล็ก เราไม่ถือว่าหน่วยเป็นตัวส่วนด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น (จำตัวอย่างที่มีลำดับแฝดสาม...)
สรุป:
เชิงบวกและ มากกว่าหนึ่ง (ถาม>1) จากนั้นเงื่อนไขของความก้าวหน้า:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 >0);
b) ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 <0).
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงบวก และ น้อยกว่าหนึ่ง (0< ถาม<1), то члены прогрессии:
ก) ใกล้กับศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด ข้างบน(ถ้าข 1 >0);
b) ใกล้ถึงศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด จากด้านล่าง(ถ้าข 1 <0).
ตอนนี้ยังคงต้องพิจารณาคดีต่อไป ตัวส่วนลบ
ตัวส่วนเป็นลบ ( ถาม <0)
เราจะไม่ไปไกลเป็นตัวอย่าง ทำไมล่ะ คุณยายขนดก?!) ตัวอย่างเช่น ระยะแรกของความก้าวหน้าจะเป็น ข 1 = 1 และลองหาตัวส่วนดู คิว = -2.
เราได้รับลำดับต่อไปนี้:
(บีเอ็น): 1, -2, 4, -8, 16, …
เป็นต้น.) แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน จำนวนลบ-2. ในกรณีนี้ สมาชิกทุกคนที่ยืนอยู่ในตำแหน่งคี่ (อันดับหนึ่ง สาม ห้า ฯลฯ) จะเป็นเช่นนี้ เชิงบวกและในสถานที่คู่ (ที่สอง สี่ ฯลฯ) – เชิงลบ.ป้ายสลับกันอย่างเคร่งครัด บวก-ลบ-บวก-ลบ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า - เครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นสลับกัน
สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? แต่ไม่มีที่ไหนเลย) ใช่ ในค่าสัมบูรณ์ (เช่น โมดูโล่)สมาชิกของความก้าวหน้าของเราเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (จึงเป็นที่มาของชื่อ “การเพิ่มขึ้น”) แต่ในขณะเดียวกัน สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าก็โยนคุณเข้าสู่ความร้อนแล้วเข้าสู่ความเย็นสลับกัน ไม่ว่าจะ "บวก" หรือ "ลบ" ความก้าวหน้าของเรานั้นไม่แน่นอน... นอกจากนี้ ขอบเขตของความผันผวนยังเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในแต่ละขั้นตอน ใช่แล้ว) ดังนั้น ความปรารถนาของสมาชิกความก้าวหน้าจึงไปที่ไหนสักแห่ง โดยเฉพาะที่นี่ เลขที่ไม่ว่าจะบวกอนันต์ หรือลบอนันต์ หรือศูนย์ - ไม่มีเลย
ตอนนี้ให้เราพิจารณาตัวส่วนที่เป็นเศษส่วนระหว่างศูนย์ถึงลบหนึ่ง
เช่น ปล่อยให้มันเป็นไป ข 1 = 1 , ก คิว = -1/2.
จากนั้นเราจะได้รับความก้าวหน้า:
(บีเอ็น): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
และเรามีสัญญาณสลับกันอีกครั้ง! แต่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ที่นี่มีแนวโน้มที่ชัดเจนอยู่แล้วสำหรับเงื่อนไขที่จะเข้าใกล้ศูนย์) เฉพาะครั้งนี้ เงื่อนไขของเราเข้าใกล้ศูนย์เท่านั้น ไม่ใช่อย่างเคร่งครัดจากด้านบนหรือด้านล่าง แต่อีกครั้ง ลังเล- สลับกันรับค่าบวกและค่าลบ แต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็ โมดูลกำลังเข้าใกล้ศูนย์อันเป็นที่รักมากขึ้นเรื่อยๆ)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า เครื่องหมายลดลงไม่สิ้นสุดสลับกัน
เหตุใดสองตัวอย่างนี้จึงน่าสนใจ และความจริงที่ว่าทั้งสองกรณีเกิดขึ้น ป้ายสลับ!เคล็ดลับนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนเป็นลบเท่านั้น) ดังนั้น หากในบางงานคุณเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมสลับกัน คุณจะรู้แน่นอนว่าตัวส่วนของมันเป็นลบ 100% และคุณจะไม่ทำผิดพลาด ในป้าย)
อย่างไรก็ตาม ในกรณีของตัวส่วนลบ เครื่องหมายของเทอมแรกจะไม่ส่งผลกระทบต่อพฤติกรรมของความก้าวหน้าเลย โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณของระยะแรกของความก้าวหน้า ไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะต้องสังเกตสัญญาณของเงื่อนไข คำถามเดียวก็คือ ในสถานที่ใดบ้าง(คู่หรือคี่) จะมีสมาชิกที่มีเครื่องหมายเฉพาะ
จดจำ:
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงลบ แล้วสัญญาณของเงื่อนไขความก้าวหน้าอยู่เสมอ สลับกัน
ขณะเดียวกันสมาชิกเองก็:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดโมดูโล่, ถ้าถาม<-1;
b) เข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่สิ้นสุดถ้า -1< ถาม<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
นั่นคือทั้งหมดที่ กรณีทั่วไปทั้งหมดได้รับการวิเคราะห์แล้ว)
ในกระบวนการวิเคราะห์ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตต่างๆ ฉันใช้คำว่า: "มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์", "มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์", "มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์"... ไม่เป็นไร.) คำพูดเหล่านี้ (และตัวอย่างเฉพาะเจาะจง) เป็นเพียงการแนะนำเบื้องต้นเท่านั้น พฤติกรรมลำดับตัวเลขที่หลากหลาย โดยใช้ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทำไมเราต้องรู้ถึงพฤติกรรมของความก้าวหน้าด้วย? เธอไปทำอะไรให้แตกต่าง? มุ่งสู่ศูนย์ บวกอนันต์ ลบอนันต์... สิ่งนี้ส่งผลอะไรกับเราบ้าง?
ประเด็นก็คือ ในมหาวิทยาลัยในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง คุณจะต้องมีความสามารถในการทำงานกับลำดับตัวเลขที่หลากหลาย (กับลำดับใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่แค่ความก้าวหน้าเท่านั้น!) และความสามารถในการจินตนาการได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับนี้หรือลำดับนั้นเป็นอย่างไร ประพฤติ - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นไม่ว่าจะลดลงไม่ จำกัด ไม่ว่าจะมีแนวโน้มเป็นจำนวนเฉพาะ (และไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์) หรือแม้กระทั่งไม่มีแนวโน้มอะไรเลย... ส่วนทั้งหมดมีไว้สำหรับหัวข้อนี้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ - ทฤษฎีขีดจำกัดและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอีกเล็กน้อย - แนวคิด ขีดจำกัดของลำดับหมายเลขหัวข้อที่น่าสนใจมาก! สมควรไปเรียนมหาวิทยาลัยแล้วคิดออก)
ตัวอย่างบางส่วนจากส่วนนี้ (ลำดับที่มีขีดจำกัด) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดพวกเขาเริ่มคุ้นเคยกับมันที่โรงเรียน เราเริ่มคุ้นเคยแล้ว)
นอกจากนี้ความสามารถในการศึกษาพฤติกรรมของลำดับได้ดีจะเป็นประโยชน์ต่อคุณอย่างมากในอนาคตและจะมีประโยชน์มากด้วย การวิจัยฟังก์ชั่นมีความหลากหลายมากที่สุด แต่ความสามารถในการทำงานกับฟังก์ชันต่างๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (คำนวณอนุพันธ์ ศึกษามันอย่างครบถ้วน สร้างกราฟ) ทำให้ระดับทางคณิตศาสตร์ของคุณเพิ่มขึ้นอย่างมาก! คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? ไม่จำเป็น. จำคำพูดของฉันด้วย)
มาดูความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในชีวิตกัน?
ในชีวิตรอบตัวเรา เราพบกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบ่อยครั้งมาก ถึงแม้จะไม่รู้ก็ตาม)
ตัวอย่างเช่น จุลินทรีย์ต่างๆ ที่ล้อมรอบเราทุกที่ในปริมาณมหาศาล และเราไม่สามารถมองเห็นได้หากไม่มีกล้องจุลทรรศน์ จะทวีคูณอย่างแม่นยำในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สมมติว่าแบคทีเรียตัวหนึ่งแพร่พันธุ์โดยการแบ่งครึ่ง และให้ลูกหลานออกเป็นแบคทีเรีย 2 ตัว ในทางกลับกันเมื่อคูณแต่ละตัวก็แบ่งครึ่งด้วยทำให้มีแบคทีเรีย 4 ตัวร่วมกัน รุ่นต่อไปจะผลิตแบคทีเรีย 8 ตัว ตามด้วย 16 ตัว 32, 64 ตัวและอื่นๆ ในแต่ละรุ่นต่อๆ ไป จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
นอกจากนี้ แมลงบางชนิด เช่น เพลี้ยอ่อนและแมลงวัน ยังเพิ่มจำนวนทวีคูณอีกด้วย และบางครั้งก็เป็นกระต่ายด้วย)
อีกตัวอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ใกล้ชิดกับชีวิตประจำวันมากขึ้นคือสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น.ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจนี้มักพบในเงินฝากธนาคารและเรียกว่า การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ยมันคืออะไร?
แน่นอนว่าคุณยังเด็กอยู่ คุณเรียนที่โรงเรียน คุณไม่ได้ไปธนาคาร แต่พ่อแม่ของคุณเป็นผู้ใหญ่และเป็นอิสระแล้ว พวกเขาไปทำงาน หาเงินสำหรับอาหารประจำวัน และนำเงินส่วนหนึ่งไปฝากธนาคาร เพื่อประหยัดเงิน)
สมมติว่าพ่อของคุณต้องการประหยัดเงินจำนวนหนึ่งสำหรับวันหยุดพักผ่อนของครอบครัวในตุรกีและฝากเงิน 50,000 รูเบิลในธนาคารที่ 10% ต่อปีเป็นระยะเวลาสามปี ด้วยการแปลงดอกเบี้ยเป็นรายปียิ่งไปกว่านั้น ในช่วงเวลาทั้งหมดนี้ ไม่สามารถดำเนินการใด ๆ กับการฝากเงินได้ คุณไม่สามารถเติมเงินหรือถอนเงินออกจากบัญชีได้ เขาจะทำกำไรได้เท่าไหร่หลังจากสามปีนี้?
ก่อนอื่น เราต้องหาว่า 10% ต่อปีเป็นเท่าใด มันหมายความว่าอย่างนั้น ในหนึ่งปีธนาคารจะเพิ่ม 10% ของจำนวนเงินฝากเริ่มแรก จากสิ่งที่? แน่นอนจาก จำนวนเงินฝากเริ่มต้น
เราคำนวณขนาดของบัญชีหลังจากหนึ่งปี หากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นคือ 50,000 รูเบิล (เช่น 100%) หลังจากนั้นหนึ่งปีดอกเบี้ยในบัญชีจะเป็นเท่าใด ถูกต้อง 110%! จาก 50,000 รูเบิล
ดังนั้นเราจึงคำนวณ 110% ของ 50,000 รูเบิล:
50,000·1.1 = 55,000 รูเบิล
ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจว่าการค้นหา 110% ของค่าหมายถึงการคูณค่านั้นด้วยตัวเลข 1.1 หากคุณไม่เข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้จำเกรดห้าและหกไว้ กล่าวคือ – การเชื่อมต่อระหว่างเปอร์เซ็นต์ เศษส่วน และเศษส่วน)
ดังนั้นการเพิ่มขึ้นในปีแรกจะเป็น 5,000 รูเบิล
อีกสองปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่? 60,000 รูเบิล? น่าเสียดาย (หรือค่อนข้างโชคดี) ทุกอย่างไม่ง่ายนัก เคล็ดลับทั้งหมดของการแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนคือเมื่อมีดอกเบี้ยใหม่แต่ละครั้ง ดอกเบี้ยเดียวกันเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาแล้ว จากจำนวนเงินใหม่!จากผู้ที่ เรียบร้อยแล้วอยู่ในบัญชี ในขณะนี้.และดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นสำหรับงวดก่อนหน้าจะถูกบวกเข้ากับจำนวนเงินฝากเดิม และด้วยเหตุนี้ ตัวมันเองจึงมีส่วนร่วมในการคำนวณดอกเบี้ยใหม่! นั่นคือพวกเขาจะกลายเป็นส่วนหนึ่งของบัญชีโดยรวมโดยสมบูรณ์ หรือทั่วไป เมืองหลวง.จึงได้ชื่อว่า- การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ย
มันอยู่ในเศรษฐศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ดังกล่าว ดอกเบี้ยทบต้น.หรือ เปอร์เซ็นต์ของดอกเบี้ย) เคล็ดลับของพวกเขาคือเมื่อคำนวณตามลำดับ เปอร์เซ็นต์จะถูกคำนวณในแต่ละครั้ง จากค่าใหม่และไม่ใช่จากต้นฉบับ...
ดังนั้นให้คำนวณจำนวนเงินผ่าน สองปีเราต้องคำนวณ 110% ของจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชี ในหนึ่งปี.นั่นคือจาก 55,000 รูเบิลแล้ว
เรานับ 110% ของ 55,000 รูเบิล:
55,000·1.1 = 60500 รูเบิล
ซึ่งหมายความว่าเปอร์เซ็นต์ที่เพิ่มขึ้นในปีที่สองจะเป็น 5,500 รูเบิล และเป็นเวลาสองปี - 10,500 รูเบิล
ตอนนี้คุณสามารถเดาได้แล้วว่าหลังจากสามปีจำนวนเงินในบัญชีจะเป็น 110% ของ 60,500 รูเบิล นั่นคืออีกครั้ง 110% จากครั้งก่อน (ปีที่แล้ว)จำนวนเงิน
ที่นี่เราคิดว่า:
60500·1.1 = 66550 รูเบิล
ตอนนี้เราจัดเรียงจำนวนเงินของเราตามปีตามลำดับ:
50000;
55,000 = 50,000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? ทำไมไม่ก้าวหน้าทางเรขาคณิต? สมาชิกคนแรก ข 1 = 50000 และตัวส่วน ถาม = 1,1 - แต่ละเทอมมีขนาดใหญ่กว่าเทอมก่อนหน้าอย่างเคร่งครัด 1.1 เท่า ทุกอย่างเป็นไปตามคำจำกัดความอย่างเคร่งครัด)
และพ่อของคุณจะ "สะสม" โบนัสดอกเบี้ยเพิ่มเติมจำนวนเท่าใดในขณะที่เงิน 50,000 รูเบิลของเขาอยู่ในบัญชีธนาคารของเขาเป็นเวลาสามปี?
เรานับ:
66550 – 50,000 = 16550 รูเบิล
ไม่มากแน่นอน แต่นี่คือหากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นมีน้อย ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? สมมติว่าไม่ใช่ 50 แต่เป็น 200,000 รูเบิลใช่ไหม จากนั้นการเพิ่มขึ้นในสามปีจะเป็น 66,200 รูเบิล (ถ้าคุณคำนวณ) ซึ่งก็ดีมากอยู่แล้ว) แล้วถ้ามีส่วนร่วมมากกว่านี้ล่ะ? แค่นั้นแหละ...
สรุป: ยิ่งเงินฝากเริ่มต้นสูงเท่าใด การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนก็จะยิ่งมีกำไรมากขึ้นเท่านั้น นั่นคือเหตุผลที่ธนาคารจัดให้มีเงินฝากที่มีการแปลงดอกเบี้ยเป็นระยะเวลานาน สมมติว่าเป็นเวลาห้าปี
นอกจากนี้ โรคร้ายทุกประเภท เช่น ไข้หวัดใหญ่ โรคหัด และโรคร้ายแรงอื่นๆ (โรคซาร์สแบบเดียวกันในช่วงต้นทศวรรษ 2000 หรือโรคระบาดในยุคกลาง) มักแพร่กระจายแบบทวีคูณ ดังนั้นขนาดของโรคระบาดก็ใช่...) และทั้งหมดก็เนื่องมาจากความจริงที่ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ตัวส่วนบวกทั้งหมด (ถาม>1) – สิ่งที่เติบโตเร็วมาก! จำการสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย: จากแบคทีเรียหนึ่งตัวจะได้สองตัวจากสอง - สี่จากสี่ - แปดและอื่น ๆ... มันเหมือนกับการแพร่กระจายของการติดเชื้อใด ๆ )
ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
มาเริ่มกันด้วยปัญหาง่ายๆ เช่นเคย ที่จะเข้าใจความหมายได้อย่างหมดจด
1. เป็นที่ทราบกันว่าเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 6 และตัวส่วนคือ -0.5 ค้นหาพจน์ที่หนึ่ง สาม และสี่ของมัน
ดังนั้นเราจึงได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่รู้จักกัน เทอมที่สองความก้าวหน้านี้:
ข 2 = 6
นอกจากนี้เรายังได้ทราบอีกด้วย ตัวส่วนความก้าวหน้า:
คิว = -0.5
และคุณจำเป็นต้องค้นหา ครั้งแรกที่สามและ ที่สี่สมาชิกของความก้าวหน้าครั้งนี้
ดังนั้นเราจึงดำเนินการ เราเขียนลำดับตามเงื่อนไขของปัญหา โดยตรงในรูปแบบทั่วไป โดยที่เทอมที่สองคือหก:
ข 1, 6,ข 3 , ข 4 , …
ตอนนี้เรามาเริ่มค้นหากันดีกว่า เราเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดเช่นเคย คุณสามารถคำนวณได้ เช่น เทอมที่สาม ข 3- สามารถ! คุณและฉันรู้อยู่แล้ว (ในความหมายโดยตรงของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) ว่าเทอมที่สาม (บี 3)มากกว่าวินาที (ข 2 ) วี "คิว"ครั้งหนึ่ง!
ดังนั้นเราจึงเขียน:
ข 3 =ข 2 · ถาม
เราแทนที่หกในนิพจน์นี้แทน ข 2และ -0.5 แทน ถามและเรานับ และเราก็ไม่ละเลยเครื่องหมายลบเช่นกัน แน่นอนว่า...
ข 3 = 6·(-0.5) = -3
แบบนี้. เทอมที่สามกลายเป็นลบ ไม่น่าแปลกใจเลย: ตัวส่วนของเรา ถาม- เชิงลบ. และแน่นอนว่าการคูณบวกด้วยลบจะเท่ากับลบ)
ตอนนี้เรานับระยะที่สี่ถัดไปของความก้าวหน้า:
ข 4 =ข 3 · ถาม
ข 4 = -3·(-0.5) = 1.5
เทอมที่สี่เป็นอีกครั้งพร้อมเครื่องหมายบวก เทอมที่ห้าจะเป็นลบอีกครั้ง เทอมที่หกจะเป็นบวก ไปเรื่อยๆ ป้ายสลับกัน!
จึงพบพจน์ที่สามและสี่ ผลลัพธ์จะเป็นลำดับต่อไปนี้:
ข 1 ; 6; -3; 1.5; -
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเทอมแรก ข 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ก้าวไปอีกทางหนึ่งไปทางซ้าย ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้เราไม่จำเป็นต้องคูณเทอมที่สองของความก้าวหน้าด้วยตัวส่วน แต่ แบ่ง.
เราแบ่งและรับ:
เพียงเท่านี้) คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้:
-12; 6; -3; 1,5; …
อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้ปัญหาจะเหมือนกับใน พวกเรารู้ ใดๆสมาชิกและ ตัวส่วนความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - เราสามารถหาสมาชิกอื่นๆ ของมันได้ เราจะหาอันที่เราต้องการ) ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการบวก/ลบจะถูกแทนที่ด้วยการคูณ/หาร
ข้อควรจำ: ถ้าเรารู้จักสมาชิกและตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างน้อยหนึ่งตัว เราก็จะสามารถหาสมาชิกคนอื่นของความก้าวหน้านี้ได้เสมอ
ตามธรรมเนียมแล้ว ปัญหาต่อไปนี้มาจาก OGE เวอร์ชันจริง:
2.
- 150; เอ็กซ์; 6; 1.2; -
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? คราวนี้ไม่มีเทอมแรก, ไม่มีตัวส่วน ถามก็แค่ให้ลำดับตัวเลขมา... บางอย่างที่คุ้นเคยอยู่แล้วใช่ไหม? ใช่! ปัญหาที่คล้ายกันได้รับการแก้ไขแล้วในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!
ดังนั้นเราจึงไม่กลัว เหมือนกันทั้งหมด. ลองเปิดใจและจดจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราดูลำดับของเราอย่างรอบคอบและหาว่าพารามิเตอร์ใดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของทั้งสามค่าหลัก (เทอมแรก, ตัวส่วน, จำนวนเทอม) ที่ซ่อนอยู่ในนั้น
หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขสมาชิกใช่... แต่มีสี่หมายเลข ติดต่อกันตัวเลข ฉันไม่เห็นประเด็นใดในการอธิบายว่าคำนี้หมายถึงอะไรในขั้นตอนนี้) มีสองคำในลำดับนี้หรือไม่? ตัวเลขใกล้เคียงที่รู้จัก?กิน! เหล่านี้คือ 6 และ 1.2 เราจึงสามารถหาได้ ตัวส่วนความก้าวหน้าเราก็เอาเลข 1.2 มาหาร ไปที่หมายเลขก่อนหน้าถึงหก.
เราได้รับ:
เราได้รับ:
x= 150·0.2 = 30
คำตอบ: x = 30 .
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างค่อนข้างง่าย ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณเท่านั้น เป็นเรื่องยากโดยเฉพาะในกรณีที่มีตัวส่วนเป็นลบและเศษส่วน ดังนั้นใครมีปัญหาก็ทวนเลขคณิต! วิธีทำงานกับเศษส่วน วิธีทำงานกับจำนวนลบ และอื่นๆ... ไม่เช่นนั้นคุณจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีที่นี่
ตอนนี้ขอเปลี่ยนปัญหาเล็กน้อย ตอนนี้มันชักจะน่าสนใจแล้ว! ลองลบหมายเลขสุดท้าย 1.2 ออกจากมัน ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:
3. มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
- 150; เอ็กซ์; 6; -
ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x
ทุกอย่างเหมือนกันหมด มีเพียงสองอันที่อยู่ติดกัน มีชื่อเสียงตอนนี้เราไม่มีสมาชิกของความก้าวหน้า นี่คือปัญหาหลัก เพราะขนาด ถามเราสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายด้วยเงื่อนไขใกล้เคียงสองคำ เราทำไม่ได้เรามีโอกาสที่จะรับมือกับงานนี้หรือไม่? แน่นอน!
มาเขียนคำที่ไม่รู้จักกันเถอะ " x"โดยตรงในความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต! โดยทั่วไปแล้ว
ใช่ ๆ! ตรงกับตัวหารที่ไม่รู้จัก!
ในด้านหนึ่ง สำหรับ X เราสามารถเขียนอัตราส่วนได้ดังนี้:
x= 150·ถาม
ในทางกลับกัน เรามีสิทธิ์ทุกประการที่จะอธิบาย X เดียวกันนี้ผ่าน ต่อไปสมาชิกผ่านหก! หารหกด้วยตัวส่วน.
แบบนี้:
x = 6/ ถาม
แน่นอน ตอนนี้เราสามารถเทียบทั้งสองอัตราส่วนนี้ได้ เนื่องจากเรากำลังแสดงออก เหมือนขนาด (x) แต่สอง วิธีทางที่แตกต่าง.
เราได้รับสมการ:
คูณทุกอย่างด้วย ถามทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง เราได้สมการ:
q2 = 1/25
เราแก้ไขและรับ:
คิว = ±1/5 = ±0.2
อ๊ะ! ตัวส่วนกลายเป็นสองเท่า! +0.2 และ -0.2 และคุณควรเลือกอันไหน? ทางตัน?
เงียบสงบ! ใช่ ปัญหามีจริงๆ สองโซลูชั่น!ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ มันเกิดขึ้น) คุณไม่แปลกใจเลยที่ตัวอย่างเช่น คุณได้รับสองรากเมื่อแก้ไขปัญหาปกติ? เรื่องเดียวกันนี่..)
สำหรับ คิว = +0.2เราจะได้รับ:
X = 150 0.2 = 30
และสำหรับ ถาม = -0,2 จะ:
X = 150·(-0.2) = -30
เราได้รับคำตอบสองเท่า: x = 30; x = -30.
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจนี้หมายความว่าอย่างไร? และสิ่งที่มีอยู่ สองความก้าวหน้าตอบโจทย์เงื่อนไขของปัญหา!
เช่นเดียวกับสิ่งเหล่านี้:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
เหมาะสมทั้งสองอย่าง) คุณคิดว่าเหตุใดเราจึงแยกคำตอบกัน เพียงเพราะการกำจัดสมาชิกเฉพาะของความก้าวหน้า (1,2) ซึ่งมาหลังจากหกคน และเมื่อทราบเฉพาะเงื่อนไขก่อนหน้า (n-1)th และเงื่อนไขที่ตามมา (n+1)th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราก็ไม่สามารถพูดอะไรได้อย่างคลุมเครืออีกต่อไปเกี่ยวกับเทอมที่ n ที่อยู่ระหว่างพวกมัน มีสองตัวเลือก - มีบวกและลบ
แต่ไม่มีปัญหา ตามกฎแล้วในงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะมีข้อมูลเพิ่มเติมที่ให้คำตอบที่ชัดเจน สมมติว่าคำพูด: "ความก้าวหน้าแบบสลับกัน"หรือ "ก้าวหน้าด้วยตัวส่วนบวก"และอื่นๆ... คำเหล่านี้เองที่ควรใช้เป็นเบาะแสว่าควรเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบตัวใดในการเตรียมคำตอบสุดท้าย หากไม่มีข้อมูลดังกล่าว ก็ใช่ งานก็จะมี สองโซลูชั่น)
ตอนนี้เราตัดสินใจด้วยตัวเอง
4. พิจารณาว่าหมายเลข 20 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่:
4 ; 6; 9; …
5. เมื่อพิจารณาจากสัญลักษณ์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สลับกัน:
…; 5; x ; 45; …
ค้นหาระยะของความก้าวหน้าที่ระบุโดยตัวอักษร x .
6. ค้นหาพจน์บวกที่สี่ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
625; -250; 100; …
7. เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ -360 และเทอมที่ห้าเท่ากับ 23.04 ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
คำตอบ (ผิดปกติ): -15; 900; เลขที่; 2.56.
ขอแสดงความยินดีถ้าทุกอย่างได้ผล!
มีบางอย่างไม่พอดีเหรอ? ที่ไหนสักแห่งมีคำตอบสองครั้ง? อ่านเงื่อนไขการมอบหมายงานอย่างละเอียด!
ปัญหาสุดท้ายไม่ได้ผล? ไม่มีอะไรซับซ้อน) เราทำงานโดยตรงตามความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คุณก็วาดภาพได้ มันช่วย.)
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา หากความก้าวหน้านั้นสั้น ถ้ามันยาวล่ะ? หรือจำนวนสมาชิกที่ต้องการมีมาก? โดยการเปรียบเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผมอยากให้ได้สูตรที่สะดวกซึ่งทำให้หาได้ง่าย ใดๆระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ตามหมายเลขของเขาโดยไม่ต้องคูณหลาย ๆ ครั้งด้วย ถาม- และมีสูตรดังนี้!) รายละเอียดอยู่ในบทต่อไป
คุณรู้จักตำนานที่น่าทึ่งเกี่ยวกับธัญพืชบนกระดานหมากรุกหรือไม่?
ตำนานแห่งธัญพืชบนกระดานหมากรุก
เมื่อผู้สร้างหมากรุก (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณชื่อ Sessa) แสดงสิ่งประดิษฐ์ของเขาต่อผู้ปกครองประเทศ เขาชอบเกมนี้มากจนอนุญาตให้นักประดิษฐ์มีสิทธิ์เลือกรางวัลด้วยตัวเอง ปราชญ์ขอให้พระราชาจ่ายเงินข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับกระดานหมากรุกตัวแรก สองเมล็ดสำหรับอันที่สอง สี่อันสำหรับอันที่สาม ฯลฯ ทำให้จำนวนเมล็ดเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแต่ละสี่เหลี่ยมถัดไป ผู้ปกครองซึ่งไม่เข้าใจคณิตศาสตร์ก็ตกลงอย่างรวดเร็วแม้จะรู้สึกไม่พอใจกับการประเมินสิ่งประดิษฐ์ที่ต่ำเช่นนี้ และสั่งให้เหรัญญิกคำนวณและมอบเมล็ดพืชตามจำนวนที่ต้องการแก่นักประดิษฐ์ อย่างไรก็ตาม เมื่อผ่านไปหนึ่งสัปดาห์ เหรัญญิกยังคงคำนวณไม่ได้ว่าต้องใช้ธัญพืชจำนวนเท่าใด ผู้ปกครองจึงถามว่าอะไรคือสาเหตุของความล่าช้า เหรัญญิกแสดงการคำนวณให้เขาดูและบอกว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจ่าย กษัตริย์ทรงฟังคำพูดของผู้เฒ่าด้วยความประหลาดใจ
บอกจำนวนมหาศาลนี้มาให้ฉันที” เขากล่าว
18 ล้านล้าน 446 ล้านล้าน 744 ล้านล้าน 73 พันล้าน 709 ล้าน 551 พัน 615 ข้าแต่พระเจ้า!
หากเราสมมติว่าข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดมีมวล 0.065 กรัม มวลรวมของข้าวสาลีบนกระดานหมากรุกจะเท่ากับ 1,200 ล้านล้านตัน ซึ่งมากกว่าปริมาณข้าวสาลีทั้งหมดที่เก็บเกี่ยวได้ในประวัติศาสตร์ทั้งหมดของมนุษยชาติ!
คำนิยาม
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ลำดับของตัวเลข ( สมาชิกของความก้าวหน้า) ซึ่งแต่ละจำนวนที่ตามมาโดยเริ่มจากวินาทีจะได้มาจากจำนวนก่อนหน้าโดยการคูณด้วยจำนวนที่กำหนด ( ตัวส่วนความก้าวหน้า):
ตัวอย่างเช่น ลำดับ 1, 2, 4, 8, 16, ... เป็นเรขาคณิต ()
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สำหรับ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}
ลำดับจะเป็นเรขาคณิตก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์ข้างต้นมีไว้สำหรับ n > 1 ใดๆ
โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเงื่อนไขเชิงบวก มันเป็นเรื่องจริง:
สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
(ถ้าอย่างนั้น)
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด
เมื่อ เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคือจำนวน และ
ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1.
ลำดับ () – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ค้นหาว่า
สารละลาย:
ตามสูตรที่เรามี:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () โดยที่
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต
ข้อมูลทางทฤษฎี
ข้อมูลทางทฤษฎี
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ |
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต |
|
คำนิยาม |
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า) |
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า) |
สูตรการเกิดซ้ำ |
สำหรับธรรมชาติใดๆ n |
สำหรับธรรมชาติใดๆ n |
สูตรเทอมที่ n |
n = 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| คุณสมบัติลักษณะ |  |
|
| ผลรวมของพจน์ n แรก |  |
 |
ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น
แบบฝึกหัดที่ 1
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2
ตามสูตรของเทอมที่ n:
22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน
ตามเงื่อนไข:
1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .
จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:
ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
คำตอบ : 22 = -48.
ภารกิจที่ 2
ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....
วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)
ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.
เพราะ ข 1 = -3,
วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)
เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:
ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
คำตอบ : ข 5 = -48.
ภารกิจที่ 3
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้
สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ 
.
ดังนั้น:
.
ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
คำตอบ: 95.
ภารกิจที่ 4
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4 ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก
หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้
.
อันไหนสะดวกกว่าที่จะใช้ในกรณีนี้?
ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันที 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก
คำตอบ: 368.
ภารกิจที่ 5
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า
ตามสูตรของเทอมที่ n:
22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน
ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:
ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
คำตอบ : 22 = -48.
ภารกิจที่ 6
มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุโดย x
เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการหาตัวหารของความก้าวหน้า q คุณจะต้องนำเงื่อนไขที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด
แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:
.
คำตอบ : .
ภารกิจที่ 7
จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:
เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องเป็นไปตามระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:
.
คำตอบ: 4.
ภารกิจที่ 8
ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดของ n ซึ่งมีอสมการอยู่ หนึ่ง > -6.