สุดขีดของฟังก์ชันเครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีค้นหาจุดสุดขีด (จุดต่ำสุดและสูงสุด) ของฟังก์ชัน

ข้อมูลที่สำคัญมากเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันนั้นมาจากช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง การค้นหาเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการตรวจสอบฟังก์ชันและวาดกราฟ นอกจากนี้จุดสุดขั้วที่มีการเปลี่ยนแปลงจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้นจะได้รับความสนใจเป็นพิเศษเมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น กำหนดเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว และใช้ทฤษฎีทั้งหมดนี้ในการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

การเพิ่มและลดฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

นิยามของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

นิยามของฟังก์ชันลดลง

ฟังก์ชัน y=f(x) จะลดลงในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

หมายเหตุ: ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงการเพิ่มหรือลดลง (a;b) นั่นคือที่ x=a และ x=b จุดเหล่านี้จะถูกรวมไว้ในช่วงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วง X

ตัวอย่างเช่น จากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เรารู้ว่า y=sinx ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น จากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันไซน์ในช่วงเวลา เราสามารถยืนยันได้ว่าจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานั้น

จุดสุดขีด จุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสูงสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด สูงสุดของฟังก์ชันและแสดงถึง

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดต่ำสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงถึง

พื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่งๆ เข้าใจว่าเป็นช่วงเวลา โดยที่จำนวนบวกที่น้อยเพียงพอ

เรียกว่าจุดต่ำสุดและสูงสุด จุดสุดขั้วและเรียกค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดปลายสุด สุดขั้วของฟังก์ชัน.

อย่าสับสนระหว่าง extrema ของฟังก์ชันกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

ในรูปแรก ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์จะได้ที่จุดสูงสุดและเท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน และในรูปที่สอง ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะได้ที่จุด x=b ซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

ตามเงื่อนไข (สัญญาณ) ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน จะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้เป็นสูตรของสัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นบวกสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้น X
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นลบสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X แล้วฟังก์ชันจะลดลงบน X

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในโดเมนของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2 และตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=0 จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด ฟังก์ชัน x=2 ถูกกำหนดไว้และต่อเนื่องกัน ดังนั้นจึงควรบวกเข้ากับทั้งช่วงที่เพิ่มขึ้นและลดลง ณ จุด x=0 ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม ลดลงในช่วงเวลา (0;2]

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้เครื่องหมายใดๆ ใน 3 เครื่องหมายของค่าสุดโต่งได้ ถ้าฟังก์ชันนั้นตรงตามเงื่อนไข สิ่งที่พบบ่อยและสะดวกที่สุดคือสิ่งแรก

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) หาอนุพันธ์ได้ในย่านใกล้เคียงของจุดและต่อเนื่องที่จุดนั้นเอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสุดโต่งโดยอิงจากเครื่องหมายแรกของจุดสุดโต่งของฟังก์ชัน

• เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
• เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนโดเมนของคำจำกัดความ
• เรากำหนดศูนย์ของตัวเศษ, ศูนย์ของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนของคำจำกัดความที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ (เรียกว่าจุดที่ระบุไว้ทั้งหมด จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้เมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์ก็เปลี่ยนเครื่องหมายได้)
• จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงที่อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่ เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (เช่น โดยการคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง)
• เราเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและผ่านเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ - นี่คือจุดสุดขั้ว

มีคำมากเกินไป มาดูตัวอย่างการค้นหาจุดสุดขั้วและจุดสุดขั้วของฟังก์ชันกันดีกว่า โดยใช้เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=2

ค้นหาอนุพันธ์:

ศูนย์ของตัวเศษคือจุด x=-1 และ x=5 ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=2 ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนจำนวน

เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง โดยคำนวณค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดๆ ของแต่ละช่วง เช่น ที่จุด x=-2, x=0, x=3 และ x=6.

ดังนั้น ในช่วงเวลานั้นอนุพันธ์จะเป็นค่าบวก (ในรูปเราใส่เครื่องหมายบวกไว้ในช่วงเวลานี้) เช่นเดียวกัน

ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายลบไว้เหนือช่วงที่สอง ลบไว้เหนือช่วงที่สาม และบวกเหนือช่วงที่สี่

ยังคงเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ เหล่านี้คือจุดสุดขั้ว

ตรงจุด x=-1 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากบวกเป็นลบ ดังนั้นตามเครื่องหมายแรกของสุดขีด x=-1 คือจุดสูงสุด ค่าสูงสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ตรงจุด x=5 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากลบเป็นบวก ดังนั้น x=-1 คือจุดต่ำสุด ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

โปรดทราบ: เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับปลายสุดไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่จุดนั้นต่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชั่นสามารถเขียนได้ดังนี้:

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตรงจุด x=0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีด จำกัด ด้านเดียวไม่ตรงกันเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

ในขณะเดียวกันฟังก์ชันเดิมจะต่อเนื่องกันที่จุด x=0 (ดูหัวข้อศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง)

มาหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์มีค่าเป็นศูนย์:

ทำเครื่องหมายคะแนนที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้เราจะคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใดก็ได้ของแต่ละช่วงเวลาเช่นที่ x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

นั่นคือ,

ดังนั้น ตามสัญญาณแรกของจุดสุดขั้ว จุดต่ำสุดคือ , แต้มสูงสุดคือ .

เราคำนวณค่าต่ำสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

เราคำนวณค่าสูงสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

.

เครื่องหมายที่สองของส่วนปลายของฟังก์ชัน

อย่างที่คุณเห็น เครื่องหมายของส่วนปลายสุดของฟังก์ชันนี้ต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยอยู่ในลำดับที่สอง ณ จุดนั้น

เพื่อกำหนดลักษณะของฟังก์ชันและพูดคุยเกี่ยวกับพฤติกรรม จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง กระบวนการนี้เรียกว่าการวิจัยฟังก์ชันและการสร้างกราฟ จุดสุดขั้วจะใช้เมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเนื่องจากฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามช่วงเวลา

บทความนี้เปิดเผยคำจำกัดความ กำหนดสัญญาณที่เพียงพอของการเพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาและเงื่อนไขของการมีอยู่ของส่วนปลาย สิ่งนี้ใช้กับการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา ส่วนเรื่องฟังก์ชันการหาอนุพันธ์ควรทำซ้ำ เนื่องจากโจทย์ต้องใช้การหาอนุพันธ์

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชัน y = f (x) จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x เมื่อ x 1 ∈ X และ x 2 ∈ X ใดๆ, x 2 > x 1 เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของ f (x 2) > f (x 1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f (x) จะถือว่าลดลงในช่วงเวลา x เมื่อสำหรับ x 1 ∈ X ใดๆ, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 ความเท่าเทียมกัน f (x 2) > f (x 1) ถือว่าเป็นจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าอาร์กิวเมนต์ที่น้อยกว่า พิจารณารูปด้านล่าง

ความคิดเห็น: เมื่อฟังก์ชันมีความแน่นอนและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงการเพิ่มขึ้นและลดลง นั่นคือ (a; b) โดยที่ x = a, x = b จุดต่างๆ จะรวมอยู่ในช่วงการเพิ่มขึ้นและลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความ แต่หมายความว่ามันเกิดขึ้นในช่วง x

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเบื้องต้นประเภท y = sin x คือความแน่นอนและความต่อเนื่องสำหรับค่าที่แท้จริงของข้อโต้แย้ง จากตรงนี้เราจะได้ว่าไซน์เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - π 2; π 2 ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของส่วนจะมีรูปแบบ - π 2; พาย 2.

คำจำกัดความ 3

เรียกจุด x 0 จุดสูงสุดสำหรับฟังก์ชัน y = f (x) เมื่อค่าทั้งหมดของ x ความไม่เท่าเทียมกัน f (x 0) ≥ f (x) นั้นถูกต้อง ฟังก์ชั่นสูงสุดคือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และเขียนแทนด้วย y m a x

จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดสำหรับฟังก์ชัน y = f (x) เมื่อค่าทั้งหมดของ x ความไม่เท่าเทียมกัน f (x 0) ≤ f (x) นั้นถูกต้อง ฟังก์ชั่นขั้นต่ำคือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และมีการกำหนดรูปแบบ y m i n

พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x 0 จุดสุดขั้วและค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดปลายสุด พิจารณารูปด้านล่าง

Extrema ของฟังก์ชันที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน พิจารณารูปด้านล่าง

รูปแรกบอกว่าจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจากเซ็กเมนต์ [a; ข ] . พบโดยใช้จุดสูงสุดและเท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน และรูปที่สองก็เหมือนกับการหาจุดสูงสุดที่ x = b

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันเพื่อเพิ่มและลด

ในการค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายของค่าสุดโต่งในกรณีที่ฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ สัญญาณแรกถือว่าใช้บ่อยที่สุด

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว

คำจำกัดความที่ 4

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ในย่าน ε ของจุด x 0 และมีความต่อเนื่องที่จุดที่กำหนด x 0 จากที่นี่เราได้รับสิ่งนั้น

• เมื่อ f " (x) > 0 ด้วย x ∈ (x 0 - ε ; x 0) และ f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• เมื่อฉ "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 สำหรับ x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) ดังนั้น x 0 คือจุดต่ำสุด

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราได้รับเงื่อนไขในการตั้งเครื่องหมาย:

• เมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0 แล้วจะมีอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนแปลง นั่นคือจาก + เป็น - ซึ่งหมายถึงจุดนั้นเรียกว่าค่าสูงสุด
• เมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0 แล้วจะมีอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเรียกว่าค่าต่ำสุด

ในการกำหนดจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันอย่างถูกต้อง คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมในการค้นหา:

• ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ
• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในบริเวณนี้
• ระบุศูนย์และจุดที่ฟังก์ชันไม่มีอยู่
• การกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา
• เลือกจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย

ลองพิจารณาอัลกอริธึมด้วยการแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างในการค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

สารละลาย

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = 2 ก่อนอื่น เรามาค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วได้:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

จากที่นี่เราจะเห็นว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันคือ x = - 1, x = 5, x = 2 นั่นคือแต่ละวงเล็บต้องเท่ากับศูนย์ ลองทำเครื่องหมายบนแกนตัวเลขแล้วได้:

ตอนนี้เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์จากแต่ละช่วงเวลา จำเป็นต้องเลือกจุดที่รวมอยู่ในช่วงเวลาและแทนที่ลงในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น คะแนน x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6

เราเข้าใจแล้ว

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 ซึ่งหมายความว่าช่วง - ∞ - 1 มีอนุพันธ์ที่เป็นบวก ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า

ปี " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

เนื่องจากช่วงที่สองกลายเป็นน้อยกว่าศูนย์ หมายความว่าอนุพันธ์ของช่วงดังกล่าวจะเป็นลบ ตัวที่สามมีเครื่องหมายลบ ตัวที่สี่มีเครื่องหมายบวก ในการพิจารณาความต่อเนื่อง คุณต้องใส่ใจกับสัญญาณของอนุพันธ์ หากมีการเปลี่ยนแปลง แสดงว่าเป็นจุดสุดขั้ว

เราพบว่า ณ จุด x = - 1 ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก + เป็น - ตามเครื่องหมายแรก เรามีว่า x = - 1 เป็นจุดสูงสุด ซึ่งหมายความว่าเราได้

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

จุด x = 5 แสดงว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง และอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก – เป็น + ซึ่งหมายความว่า x = -1 คือจุดต่ำสุด และการกำหนดจะมีรูปแบบ

มี ฉัน n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ภาพกราฟิก

คำตอบ: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24

ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าการใช้เกณฑ์แรกเพียงพอสำหรับสุดขีดนั้นไม่จำเป็นต้องมีความแตกต่างของฟังก์ชันที่จุด x 0 ซึ่งช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือจำนวนจริงทั้งหมด สามารถเขียนเป็นระบบสมการได้ดังนี้

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ,x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

จากนั้นคุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 ปี " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

จุด x = 0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีดจำกัดด้านเดียวแตกต่างกัน เราได้รับสิ่งนั้น:

ลิม y "x → 0 - 0 = ลิม y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 ลิม y " x → 0 + 0 = ลิม y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

ตามมาว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด x = 0 จากนั้นเราคำนวณ

ลิม y x → 0 - 0 = ลิม x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 ลิม y x → 0 + 0 = ลิม x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 ปี (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

มีความจำเป็นต้องคำนวณเพื่อค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์เมื่ออนุพันธ์กลายเป็นศูนย์:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

คะแนนที่ได้รับทั้งหมดจะต้องทำเครื่องหมายเป็นเส้นตรงเพื่อกำหนดเครื่องหมายของแต่ละช่วงเวลา ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดใดก็ได้ในแต่ละช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาคะแนนที่มีค่า x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 เราเข้าใจแล้ว

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 ปี " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 ปี "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

ภาพบนเส้นตรงมีลักษณะเช่นนี้

ซึ่งหมายความว่าเราได้ข้อสรุปว่าจำเป็นต้องใช้สัญญาณแรกของภาวะสุดขั้ว ให้เราคำนวณและพบว่า

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 จากนั้นจุดสูงสุดจะมีค่า x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

มาดูการคำนวณขั้นต่ำกัน:

มี ฉัน n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ปี ฉัน n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 ปี ฉัน n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ลองคำนวณค่าสูงสุดของฟังก์ชันกัน เราเข้าใจแล้ว

ใช่ ม a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ใช่ ม a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ภาพกราฟิก

คำตอบ:

มี ฉัน n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ปี ฉัน n = y (0) = - 8 ปี ฉัน n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 ปี a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ปี a x = ปี 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ถ้าให้ฟังก์ชัน f " (x 0) = 0 แล้วถ้า f "" (x 0) > 0 เราจะได้ว่า x 0 เป็นจุดต่ำสุดถ้า f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 8 x x + 1

สารละลาย

อันดับแรก เราจะหาโดเมนของคำจำกัดความ เราเข้าใจแล้ว

ง(ย) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

มีความจำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันหลังจากที่เราได้รับ

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

ที่ x = 1 อนุพันธ์จะกลายเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอาจเป็นจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ เพื่อชี้แจงให้ชัดเจน จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองและคำนวณค่าที่ x = 1 เราได้รับ:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

ซึ่งหมายความว่าการใช้เงื่อนไข 2 ที่เพียงพอสำหรับจุดสุดโต่ง เราจะได้ว่า x = 1 เป็นจุดสูงสุด มิฉะนั้น รายการจะมีลักษณะดังนี้ y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4

ภาพกราฟิก

คำตอบ: y ม x = y (1) = 4 ..

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชัน y = f (x) มีอนุพันธ์จนถึงลำดับที่ n ในย่าน ε ของจุดที่กำหนด x 0 และอนุพันธ์ของมันขึ้นอยู่กับลำดับที่ n + ที่จุด x 0 จากนั้น f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . - - = ฉ n (x 0) = 0 .

ตามมาว่าเมื่อ n เป็นเลขคู่ แล้ว x 0 จะถือเป็นจุดเปลี่ยนเว้า เมื่อ n เป็นเลขคี่ แล้ว x 0 คือจุดสุดขั้ว และ f (n + 1) (x 0) > 0 แล้ว x 0 คือจุดต่ำสุด f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

สารละลาย

ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เราเข้าใจแล้ว

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

อนุพันธ์นี้จะเป็นศูนย์ที่ x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 นั่นคือคะแนนอาจเป็นจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่สามสำหรับส่วนปลายสุด การค้นหาอนุพันธ์อันดับสองช่วยให้คุณระบุค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำ อนุพันธ์อันดับสองคำนวณที่จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ เราเข้าใจแล้ว

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 ปี "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

ซึ่งหมายความว่า x 2 = 5 7 คือจุดสูงสุด เมื่อใช้เกณฑ์เพียงพอข้อที่ 3 เราจะได้ว่าสำหรับ n = 1 และ f (n + 1) 5 7< 0 .

มีความจำเป็นต้องกำหนดลักษณะของจุด x 1 = - 1, x 3 = 3 ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสามและคำนวณค่าที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว

ปี " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) ปี " " " (- 1) = 96 ≠ 0 ปี " " " (3) = 0

ซึ่งหมายความว่า x 1 = - 1 คือจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน เนื่องจากสำหรับ n = 2 และ f (n + 1) (- 1) ≠ 0 จำเป็นต้องตรวจสอบจุด x 3 = 3 ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาอนุพันธ์อันดับ 4 และทำการคำนวณ ณ จุดนี้:

ปี (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) ปี (4) ( 3) = 96 > 0

จากสิ่งที่ตัดสินใจไว้ข้างต้น เราสรุปได้ว่า x 3 = 3 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ภาพกราฟิก

คำตอบ: x 2 = 5 7 คือจุดสูงสุด x 3 = 3 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การทำงาน y = f(x) ถูกเรียก เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าเป็น x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >ฉ (x 2))

หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y = f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นอนุพันธ์ของมันในช่วงเวลานี้ f " (เอ็กซ์)> 0

(ฉ"(เอ็กซ์)< 0).

จุด x โอ เรียกว่า จุดสูงสุดในท้องถิ่น (ขั้นต่ำ) ฟังก์ชัน f (x) ถ้ามีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด xoสำหรับทุกจุดที่อสมการ f (x) เป็นจริง≤ ฉ (x โอ ) (ฉ (x )≥ ฉ (x โอ ))

เรียกว่าจุดสูงสุดและต่ำสุด จุดสุดขั้วและค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือค่าของมัน สุดขั้ว

จุดสุดขีด

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว - ถ้าตรงประเด็น x โอ คือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f (x) แล้วตามด้วย f " (x o ) = 0 หรือ f(xo ) ไม่มีอยู่ จุดดังกล่าวเรียกว่า วิกฤต,และฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้ที่จุดวิกฤติ ควรค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชันท่ามกลางจุดวิกฤต

เงื่อนไขแรกเพียงพอ อนุญาต x โอ - จุดวิกฤติ ถ้าฉ" (x ) เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง x โอ เปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบแล้วถึงจุดนั้น xoฟังก์ชันมีค่าสูงสุด ไม่เช่นนั้นจะมีค่าต่ำสุด หากเมื่อผ่านจุดวิกฤต อนุพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ให้ไปที่จุดนั้น x โอ ไม่มีความสุดขั้ว

เงื่อนไขที่สองเพียงพอ ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) มี
ฉ" (x ) ในบริเวณใกล้กับจุดนั้น x โอ และอนุพันธ์อันดับสอง f "" (x 0) ที่จุดนั้นเอง xo- ถ้าฉ"(xo) = 0, ฉ "" (x 0)>0 (ฉ "" (x 0)<0), то точка xoคือจุดต่ำสุด (สูงสุด) ในพื้นที่ของฟังก์ชัน f (x) หาก f "" (x 0) = 0 คุณต้องใช้เงื่อนไขแรกเพียงพอหรือเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขที่สูงกว่า

บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน y = f (x) สามารถเข้าถึงค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ที่จุดวิกฤติหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ตัวอย่างที่ 3.22

สารละลาย.เพราะ ฉ " (

ปัญหาการหาปลายสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3.23 ก

สารละลาย. xและ ย ย
0 ≤ x≤
> 0 และเมื่อใด x >a /4 ส " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ฟังก์ชั่น กิโลวัตต์. หน่วย).

ตัวอย่างที่ 3.24พี อยู่ที่

สารละลาย.พีพี
เอส"
R = 2, H = 16/4 = 4

ตัวอย่างที่ 3.22ค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชัน f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14

สารละลาย.เพราะ ฉ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3) จากนั้นจุดวิกฤตของฟังก์ชัน x 1 = 2 และ x 2 = 3 Extrema สามารถอยู่ที่จุดเหล่านี้เท่านั้น เนื่องจากเมื่อผ่านจุด x 1 = 2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ จากนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด เมื่อผ่านจุด x 2 = 3 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้นที่จุด x 2 = 3 ฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุด โดยคำนวณค่าฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ แล้ว
x 1 = 2 และ x 2 = 3 เราจะพบจุดสุดโต่งของฟังก์ชัน: สูงสุด f (2) = 14 และต่ำสุด f (3) = 13

ตัวอย่างที่ 3.23จำเป็นต้องสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมใกล้กำแพงหินโดยกั้นรั้วด้วยลวดตาข่ายทั้ง 3 ด้าน และด้านที่ 4 ติดกับผนัง สำหรับสิ่งนี้ก็มี กเมตรเชิงเส้นของตาข่าย ไซต์จะมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดในอัตราส่วนเท่าใด

สารละลาย.ให้เราแสดงด้านข้างของแท่นโดย xและ ย- พื้นที่ของไซต์คือ S = xy อนุญาต ย- นี่คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกับผนัง จากนั้นตามเงื่อนไข ต้องได้ความเท่ากัน 2x + y = a ดังนั้น y = a - 2x และ S = x (a - 2x) โดยที่
0 ≤ x≤ a /2 (ความยาวและความกว้างของพื้นที่ไม่สามารถเป็นลบได้) S " = a - 4x, a - 4x = 0 ที่ x = a/4 ดังนั้น
y = ก - 2 × ก/4 = ก/2 เพราะว่า x = a /4 เป็นจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว เรามาตรวจสอบว่าสัญญาณของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงไปเมื่อผ่านจุดนี้หรือไม่ ที่ x a /4 S "> 0 และเมื่อใด x >a /4 ส " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ฟังก์ชั่น S(ก/4) = ก/4(ก - ก/2) = ก 2 /8 (กิโลวัตต์. หน่วย). เนื่องจาก S เปิดต่อเนื่องและค่าของมันที่ปลาย S(0) และ S(a /2) เท่ากับศูนย์ ดังนั้นค่าที่พบจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ดังนั้น อัตราส่วนภาพที่เหมาะสมที่สุดของไซต์ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาคือ y = 2x

ตัวอย่างที่ 3.24จำเป็นต้องผลิตถังทรงกระบอกปิดที่มีความจุ V=16พี อยู่ที่ 50 ม.3 . ขนาดของถังควรมีขนาดเท่าใด (รัศมี R และความสูง H) เพื่อให้ใช้วัสดุในปริมาณน้อยที่สุดในการผลิต

สารละลาย.พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือ S = 2พี R(R+H) เรารู้ปริมาตรของกระบอกสูบ V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2 ดังนั้น S(R) = 2พี (ร 2 +16/ร). เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:
เอส"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2) เอส" (R) = 0 ที่ R 3 = 8 ดังนั้น
R = 2, H = 16/4 = 4

จากบทความนี้ ผู้อ่านจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับคุณค่าการทำงานขั้นสูงสุด รวมถึงคุณสมบัติของการใช้งานในกิจกรรมภาคปฏิบัติ การศึกษาแนวคิดดังกล่าวมีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจรากฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูง หัวข้อนี้เป็นหัวข้อพื้นฐานสำหรับการศึกษาเชิงลึกของหลักสูตร

ติดต่อกับ

สุดขั้วคืออะไร?

ในหลักสูตรของโรงเรียน มีการให้คำจำกัดความมากมายของแนวคิด "สุดขั้ว" บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ความเข้าใจที่ลึกซึ้งและชัดเจนที่สุดเกี่ยวกับคำศัพท์สำหรับผู้ที่ไม่รู้ประเด็น ดังนั้นจึงเข้าใจได้ว่าช่วงการทำงานจะได้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในชุดใดชุดหนึ่ง

สุดขีดคือทั้งค่าต่ำสุดของฟังก์ชันและค่าสูงสุดในเวลาเดียวกัน มีจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดนั่นคือค่าสุดขีดของอาร์กิวเมนต์บนกราฟ ศาสตร์หลักที่ใช้แนวคิดนี้คือ:

• สถิติ;
• การควบคุมเครื่องจักร
• เศรษฐมิติ

จุดสุดโต่งมีบทบาทสำคัญในการกำหนดลำดับของฟังก์ชันที่กำหนด ระบบพิกัดในกราฟที่ดีที่สุดจะแสดงการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งสุดขั้วโดยขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันการทำงาน

เอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชันอนุพันธ์

นอกจากนี้ยังมีปรากฏการณ์เช่น "อนุพันธ์" มีความจำเป็นต้องกำหนดจุดปลายสุด สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนระหว่างคะแนนต่ำสุดหรือสูงสุดกับค่าสูงสุดและต่ำสุด สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน แม้ว่าอาจดูคล้ายกันก็ตาม

ค่าของฟังก์ชันเป็นปัจจัยหลักในการกำหนดวิธีหาจุดสูงสุด อนุพันธ์ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นจากค่านิยม แต่มาจากตำแหน่งสุดขั้วในลำดับใดลำดับหนึ่งเท่านั้น

อนุพันธ์นั้นพิจารณาจากจุดสุดขั้วเหล่านี้ และไม่ใช่จากมูลค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด ในโรงเรียนของรัสเซีย เส้นแบ่งระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้ไม่ได้วาดไว้อย่างชัดเจน ซึ่งส่งผลต่อความเข้าใจในหัวข้อนี้โดยทั่วไป

ตอนนี้ให้เราพิจารณาแนวคิดเช่น "ภาวะสุดโต่งเฉียบพลัน" วันนี้มีค่าต่ำสุดเฉียบพลันและค่าสูงสุดเฉียบพลัน คำจำกัดความได้รับตามการจำแนกจุดวิกฤตของฟังก์ชันของรัสเซีย แนวคิดเรื่องจุดสุดขั้วเป็นพื้นฐานในการค้นหาจุดวิกฤตบนกราฟ

เพื่อกำหนดแนวคิดดังกล่าว พวกเขาใช้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ มันเป็นสิ่งสำคัญที่สุดในการศึกษาจุดสุดขั้วและให้ความคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับการมีอยู่ของมันในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง เพื่อให้มั่นใจถึงความสุดขั้ว สิ่งสำคัญคือต้องสร้างเงื่อนไขบางประการสำหรับการลดลงหรือเพิ่มขึ้นบนกราฟ

หากต้องการตอบคำถาม “วิธีหาจุดสูงสุด” อย่างถูกต้อง คุณต้องปฏิบัติตามหลักเกณฑ์เหล่านี้:

1. การค้นหาโดเมนคำจำกัดความที่แน่นอนบนกราฟ
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและจุดปลายสุด
3. แก้ความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานสำหรับโดเมนที่พบอาร์กิวเมนต์
4. สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชันใดที่จุดบนกราฟถูกกำหนดและต่อเนื่องกัน

ความสนใจ!การค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์ในลำดับที่สองเป็นอย่างน้อย ซึ่งมั่นใจได้จากสัดส่วนที่สูงของการมีอยู่ของจุดสุดขั้ว

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน

เพื่อให้สุดขั้วมีอยู่ สิ่งสำคัญคือต้องมีทั้งจุดต่ำสุดและสูงสุด หากปฏิบัติตามกฎนี้เพียงบางส่วนเท่านั้น เงื่อนไขของการมีอยู่ของสุดขั้วจะถูกละเมิด

แต่ละฟังก์ชันในตำแหน่งใดๆ จะต้องมีความแตกต่างกันเพื่อให้สามารถระบุความหมายใหม่ได้ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ากรณีที่จุดที่กลายเป็นศูนย์ไม่ใช่หลักการหลักในการค้นหาจุดที่หาอนุพันธ์ได้

ค่าสุดโต่งเฉียบพลันและฟังก์ชันขั้นต่ำเป็นส่วนสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ค่าสุดขั้ว เพื่อให้เข้าใจส่วนประกอบนี้ได้ดีขึ้น สิ่งสำคัญคือต้องอ้างอิงค่าแบบตารางเพื่อระบุฟังก์ชันการทำงาน

การวิจัยความหมายเต็มรูปแบบ

พล็อตกราฟค่า

1. การกำหนดจุดเพิ่มและลดค่า 2. การหาจุดไม่ต่อเนื่อง ปลายสุด และจุดตัดด้วยแกนพิกัด 3. กระบวนการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งบนกราฟ 4. การกำหนดตัวบ่งชี้และทิศทางของความนูนและความนูนโดยคำนึงถึงการมีอยู่ของเส้นกำกับ 5. การสร้างตารางสรุปการวิจัยจากมุมมองของการกำหนดพิกัด 6. การหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของจุดสุดขั้วและจุดแหลมคม 7. การหาค่าความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง 8. การวาดกราฟโดยคำนึงถึงการวิจัยช่วยให้คุณค้นหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้

องค์ประกอบหลักเมื่อจำเป็นต้องทำงานกับจุดสุดขั้วคือการสร้างกราฟที่แม่นยำ ครูในโรงเรียนมักไม่ค่อยให้ความสำคัญกับประเด็นสำคัญดังกล่าวซึ่งเป็นการละเมิดกระบวนการศึกษาอย่างร้ายแรง การสร้างกราฟเกิดขึ้นจากผลการศึกษาข้อมูลเชิงฟังก์ชัน การระบุภาวะสุดขีดเฉียบพลัน และจุดบนกราฟเท่านั้น Sharp extrema ของฟังก์ชันอนุพันธ์จะแสดงบนพล็อตค่าที่แน่นอน โดยใช้ขั้นตอนมาตรฐานในการกำหนดเส้นกำกับ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันจะมาพร้อมกับโครงสร้างกราฟที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น นี่เป็นเพราะความต้องการที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในการแก้ไขปัญหาภาวะหัวรุนแรงเฉียบพลัน นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและเรียบง่าย เนื่องจากนี่เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในปัญหาสุดขั้ว

สุดขั้วของการทำงาน

หากต้องการค้นหาค่าข้างต้น คุณต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้:

• กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความสัมพันธ์ที่รุนแรง
• คำนึงถึงสภาพที่เพียงพอของจุดสุดขั้วบนกราฟ
• ดำเนินการคำนวณภาวะสุดขั้วเฉียบพลัน

แนวคิดเช่นค่าต่ำสุดอ่อนและค่าต่ำสุดที่แข็งแกร่งก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน สิ่งนี้จะต้องนำมาพิจารณาเมื่อพิจารณาถึงจุดสุดยอดและการคำนวณที่แม่นยำ ในขณะเดียวกันฟังก์ชันการทำงานแบบเฉียบพลันคือการค้นหาและสร้างเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการทำงานกับกราฟของฟังก์ชัน

แนวคิดที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ก็คือฟังก์ชัน ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณจะจินตนาการถึงกระบวนการต่างๆ ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติได้อย่างเห็นภาพ และสะท้อนความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แน่นอนโดยใช้สูตร ตาราง และรูปภาพบนกราฟ ตัวอย่างคือการขึ้นอยู่กับความดันของชั้นของเหลวบนร่างกายต่อความลึกของการแช่ ความเร่งในการกระทำของแรงบางอย่างบนวัตถุ การเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิของพลังงานที่ถูกถ่ายโอน และกระบวนการอื่น ๆ อีกมากมาย การศึกษาฟังก์ชันประกอบด้วยการสร้างกราฟ ค้นหาคุณสมบัติของฟังก์ชัน ขอบเขตของคำจำกัดความและค่า ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง จุดสำคัญในกระบวนการนี้คือการค้นหาจุดสุดขั้ว เราจะพูดคุยเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำสิ่งนี้อย่างถูกต้อง

เกี่ยวกับแนวคิดโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ในทางการแพทย์ การสร้างกราฟฟังก์ชันสามารถบอกเราเกี่ยวกับความก้าวหน้าของโรคในร่างกายของผู้ป่วย ซึ่งสะท้อนสภาพของเขาได้อย่างชัดเจน สมมติว่าแกน OX แทนเวลาเป็นวัน และแกน OU แทนอุณหภูมิร่างกายมนุษย์ ตัวเลขแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าตัวบ่งชี้นี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วแล้วตกลงอย่างไร นอกจากนี้ยังง่ายต่อการสังเกตเห็นจุดพิเศษที่สะท้อนถึงช่วงเวลาที่ฟังก์ชันซึ่งเพิ่มขึ้นก่อนหน้านี้ เริ่มลดลง และในทางกลับกัน จุดเหล่านี้คือจุดสูงสุดนั่นคือค่าวิกฤต (สูงสุดและต่ำสุด) ในกรณีนี้คืออุณหภูมิของผู้ป่วย หลังจากนั้นจึงเกิดการเปลี่ยนแปลงในสภาพของเขา

มุมเอียง

คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายจากรูปที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร หากเส้นตรงของกราฟเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป แสดงว่าเป็นบวก และยิ่งชันมากเท่าใด มูลค่าของอนุพันธ์ก็จะยิ่งมากขึ้นตามมุมเอียงที่เพิ่มขึ้น ในช่วงระยะเวลาที่ลดลง ค่านี้จะเปลี่ยนเป็นค่าลบ โดยเปลี่ยนเป็นศูนย์ที่จุดสุดขั้ว และกราฟของอนุพันธ์ในกรณีหลังจะถูกวาดขนานกับแกน OX

กระบวนการอื่นใดควรได้รับการปฏิบัติในลักษณะเดียวกัน แต่วิธีที่ดีที่สุดในการบอกแนวคิดนี้คือการเคลื่อนไหวของวัตถุต่าง ๆ ที่แสดงไว้อย่างชัดเจนในกราฟ

ความเคลื่อนไหว

สมมติว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงโดยมีความเร็วสม่ำเสมอ ในช่วงเวลานี้ การเปลี่ยนแปลงพิกัดของร่างกายจะแสดงเป็นกราฟด้วยเส้นโค้งจำนวนหนึ่ง ซึ่งนักคณิตศาสตร์จะเรียกว่ากิ่งก้านของพาราโบลา ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง เนื่องจากตัวบ่งชี้พิกัดมีการเปลี่ยนแปลงเร็วขึ้นและเร็วขึ้นทุกวินาที กราฟความเร็วแสดงพฤติกรรมของอนุพันธ์ซึ่งค่าจะเพิ่มขึ้นด้วย ซึ่งหมายความว่าการเคลื่อนไหวไม่มีจุดวิกฤติ

สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจู่ๆ ร่างกายตัดสินใจชะลอความเร็ว หยุด และเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางอื่นล่ะ? ในกรณีนี้ ตัวชี้วัดพิกัดจะเริ่มลดลง และฟังก์ชันจะส่งผ่านค่าวิกฤตและเปลี่ยนจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง

เมื่อใช้ตัวอย่างนี้ คุณจะเข้าใจได้อีกครั้งว่าจุดปลายสุดบนกราฟของฟังก์ชันจะปรากฏขึ้นในช่วงเวลาที่จุดนั้นไม่ซ้ำซากจำเจ

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

สิ่งที่อธิบายไว้ข้างต้นแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน คำชี้แจงนี้มีความหมายทางกายภาพ จุดสุดขีดคือพื้นที่วิกฤตบนกราฟ สามารถระบุและตรวจจับได้โดยการคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ซึ่งกลายเป็นศูนย์

มีสัญญาณอีกประการหนึ่งที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว อนุพันธ์ที่จุดเปลี่ยนเว้าดังกล่าวจะเปลี่ยนเครื่องหมาย: จาก "+" เป็น "-" ในพื้นที่สูงสุด และจาก "-" เป็น "+" ในพื้นที่ต่ำสุด

การเคลื่อนไหวภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

ลองจินตนาการถึงสถานการณ์อื่น เด็ก ๆ ที่เล่นกับลูกบอลโยนมันในลักษณะที่มันเริ่มเคลื่อนที่เป็นมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า ในช่วงเวลาแรก ความเร็วของวัตถุนี้สูงที่สุด แต่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง มันเริ่มลดลง และในแต่ละวินาทีด้วยปริมาณเท่ากัน เท่ากับประมาณ 9.8 เมตร/วินาที 2 นี่คือค่าความเร่งที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลกระหว่างการตกอย่างอิสระ บนดวงจันทร์จะมีขนาดเล็กกว่าประมาณหกเท่า

กราฟที่อธิบายการเคลื่อนไหวของวัตถุเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง จะหาจุดสุดขั้วได้อย่างไร? ในกรณีนี้ นี่คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน โดยที่ความเร็วของตัววัตถุ (ลูกบอล) มีค่าเป็นศูนย์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ทิศทางและค่าความเร็วจึงเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม ร่างกายบินลงมาเร็วขึ้นทุกวินาที และเร่งความเร็วด้วยปริมาณเท่ากัน - 9.8 m/s 2 .

อนุพันธ์อันดับสอง

ในกรณีก่อนหน้านี้ กราฟโมดูลัสความเร็วจะถูกวาดเป็นเส้นตรง เส้นนี้มุ่งลงในตอนแรก เนื่องจากมูลค่าของค่านี้ลดลงอย่างต่อเนื่อง เมื่อถึงศูนย์ ณ จุดหนึ่งจากนั้นตัวบ่งชี้ของค่านี้จะเริ่มเพิ่มขึ้นและทิศทางของการแสดงกราฟิกของโมดูลความเร็วจะเปลี่ยนไปอย่างมาก ตอนนี้เส้นชี้ขึ้นแล้ว

ความเร็วซึ่งเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลาก็มีจุดวิกฤตเช่นกัน ในภูมิภาคนี้ ฟังก์ชันเริ่มลดลงและเริ่มเพิ่มขึ้น นี่คือตำแหน่งของจุดปลายสุดของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในกรณีนี้ มุมเอียงของแทนเจนต์จะกลายเป็นศูนย์ และความเร่งซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" และการเคลื่อนที่จากที่ช้าสม่ำเสมอจะมีความเร่งสม่ำเสมอ

กราฟความเร่ง

ทีนี้ลองดูสี่ภาพ แต่ละรายการจะแสดงกราฟของการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่งในปริมาณทางกายภาพเช่นความเร่ง ในกรณีของ "A" ค่าของมันยังคงเป็นค่าบวกและคงที่ ซึ่งหมายความว่าความเร็วของร่างกายเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเช่นเดียวกับพิกัดของมัน หากเราจินตนาการว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ในลักษณะนี้เป็นเวลานานอย่างไม่สิ้นสุด ฟังก์ชันที่สะท้อนการพึ่งพาพิกัดเวลาจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง จากนี้ไปมันไม่มีประเด็นสำคัญ นอกจากนี้ยังไม่มีจุดสุดขั้วบนกราฟของอนุพันธ์ ซึ่งก็คือความเร็วที่แปรผันเชิงเส้น

เช่นเดียวกับกรณี "B" ที่มีความเร่งเป็นบวกและเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง จริงอยู่ที่กราฟสำหรับพิกัดและความเร็วที่นี่จะค่อนข้างซับซ้อนกว่า

เมื่อความเร่งไปที่ศูนย์

เมื่อพิจารณาจากรูป "B" เราสามารถสังเกตภาพที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงซึ่งแสดงลักษณะการเคลื่อนไหวของร่างกาย ความเร็วของมันจะแสดงเป็นกราฟด้วยพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง หากเราดำเนินการต่อบรรทัดที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของความเร่งจนกระทั่งมันตัดกับแกน OX และต่อไป เราสามารถจินตนาการได้ว่าจนถึงค่าวิกฤตนี้ โดยที่ความเร่งกลายเป็นศูนย์ ความเร็วของวัตถุจะเพิ่มขึ้นมากขึ้นเรื่อยๆ . จุดปลายสุดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันพิกัดจะอยู่ที่จุดยอดของพาราโบลาทุกประการ หลังจากนั้นวัตถุจะเปลี่ยนลักษณะของการเคลื่อนไหวอย่างรุนแรงและเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางอื่น

ในกรณีสุดท้าย “G” ไม่สามารถระบุลักษณะของการเคลื่อนไหวได้อย่างแม่นยำ ที่นี่เรารู้เพียงว่าไม่มีการเร่งความเร็วในช่วงระยะเวลาหนึ่งที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ซึ่งหมายความว่าวัตถุสามารถคงอยู่กับที่หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ได้

ปัญหาการบวกพิกัด

เรามาดูงานที่มักพบเมื่อเรียนพีชคณิตที่โรงเรียนและมีการเสนอเพื่อเตรียมสอบ Unified State รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน จำเป็นต้องคำนวณผลรวมของจุดสุดขั้ว

มาทำสิ่งนี้กับแกนกำหนดพิกัดโดยกำหนดพิกัดของพื้นที่วิกฤติที่สังเกตการเปลี่ยนแปลงในลักษณะของฟังก์ชัน พูดง่ายๆ เราจะค้นหาค่าตามแกน OX สำหรับจุดเปลี่ยนเว้า จากนั้นจึงดำเนินการเพิ่มเงื่อนไขผลลัพธ์ ตามกราฟเห็นได้ชัดว่าใช้ค่าต่อไปนี้: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. ซึ่งรวมกันได้ -21 ซึ่งเป็นคำตอบ

ทางออกที่ดีที่สุด

ไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าการเลือกโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดมีความสำคัญเพียงใดในการปฏิบัติงานจริง ท้ายที่สุดมีหลายวิธีในการบรรลุเป้าหมาย แต่ตามกฎแล้ววิธีที่ดีที่สุดคือวิธีเดียวเท่านั้น สิ่งนี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง เช่น เมื่อออกแบบเรือ ยานอวกาศ และเครื่องบิน และโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมเพื่อค้นหารูปร่างที่เหมาะสมที่สุดของวัตถุที่มนุษย์สร้างขึ้นเหล่านี้

ความเร็วของยานพาหนะส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการลดความต้านทานที่เกิดขึ้นอย่างเหมาะสมเมื่อเคลื่อนที่ผ่านน้ำและอากาศ ต่อการบรรทุกเกินพิกัดที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงและตัวบ่งชี้อื่น ๆ อีกมากมาย เรือในทะเลต้องการคุณสมบัติเช่นความมั่นคงในช่วงที่เกิดพายุ สำหรับเรือในแม่น้ำ ปริมาณลมขั้นต่ำเป็นสิ่งสำคัญ เมื่อคำนวณการออกแบบที่เหมาะสมที่สุด จุดสุดขั้วบนกราฟสามารถให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาที่ซับซ้อนได้ด้วยสายตา ปัญหาประเภทนี้มักจะได้รับการแก้ไขในด้านเศรษฐศาสตร์ ในด้านธุรกิจ และในสถานการณ์ชีวิตอื่นๆ อีกมากมาย

จากประวัติศาสตร์สมัยโบราณ

แม้แต่ปราชญ์โบราณก็ยังประสบปัญหาร้ายแรง นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกสามารถไขความลึกลับของพื้นที่และปริมาตรได้สำเร็จด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์ พวกเขาเป็นคนแรกที่เข้าใจว่าบนระนาบของตัวเลขต่างๆ ที่มีเส้นรอบวงเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดเสมอ ในทำนองเดียวกัน ลูกบอลมีปริมาตรสูงสุดเหนือวัตถุอื่นๆ ในอวกาศที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน บุคคลที่มีชื่อเสียงเช่น Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius อุทิศตนเพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว นกกระสาเป็นเลิศในการหาจุดสุดยอดและสร้างอุปกรณ์อันชาญฉลาดโดยใช้การคำนวณ ซึ่งรวมถึงเครื่องจักรที่เคลื่อนที่ด้วยไอน้ำ ปั๊ม และกังหันที่ทำงานบนหลักการเดียวกัน

การก่อสร้างคาร์เธจ

มีตำนานซึ่งมีเนื้อเรื่องมาจากการแก้ปัญหาสุดขั้วประการหนึ่ง ผลลัพธ์ของแนวทางธุรกิจที่แสดงให้เห็นโดยเจ้าหญิงฟินีเซียนซึ่งหันไปขอความช่วยเหลือจากปราชญ์คือการสร้างคาร์เธจ ที่ดินสำหรับเมืองโบราณและมีชื่อเสียงแห่งนี้ถูกมอบให้กับ Dido (ซึ่งเป็นชื่อของผู้ปกครอง) โดยผู้นำของชนเผ่าแอฟริกันเผ่าหนึ่ง ในตอนแรกพื้นที่ของการจัดสรรดูเหมือนไม่ใหญ่มากสำหรับเขาเนื่องจากตามสัญญาควรจะปูด้วยออกไซด์ แต่เจ้าหญิงสั่งให้ทหารของเธอตัดมันเป็นเส้นบาง ๆ แล้วทำเป็นเข็มขัด ปรากฏว่ามันยาวนานมากจนครอบคลุมพื้นที่ที่เมืองทั้งเมืองสามารถอยู่ได้

ต้นกำเนิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ตอนนี้เรามาดูจากสมัยโบราณไปสู่ยุคที่ใหม่กว่ากัน ที่น่าสนใจคือเคปเลอร์ได้รับการกระตุ้นให้เข้าใจรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 โดยการพบปะกับผู้ขายไวน์ พ่อค้ามีความรู้ในอาชีพของเขามากจนสามารถกำหนดปริมาตรของเครื่องดื่มในถังได้อย่างง่ายดายเพียงแค่หย่อนเชือกเหล็กลงไป เมื่อคำนึงถึงความอยากรู้อยากเห็นดังกล่าว นักวิทยาศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงก็สามารถแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเองได้ ปรากฎว่าช่างฝีมือผู้ชำนาญในสมัยนั้นมีปัญหาในการทำภาชนะในลักษณะที่ที่ความสูงและรัศมีของเส้นรอบวงของวงแหวนยึดพวกเขามีความจุสูงสุด

นี่เป็นเหตุผลที่เคปเลอร์ต้องคิดต่อไป ผู้ร่วมมือได้ค้นพบทางออกที่ดีที่สุดผ่านการค้นหาอันยาวนาน ข้อผิดพลาด และความพยายามใหม่ๆ โดยส่งต่อประสบการณ์ของพวกเขาจากรุ่นสู่รุ่น แต่เคปเลอร์ต้องการเร่งกระบวนการและเรียนรู้วิธีทำสิ่งเดียวกันในเวลาอันสั้นผ่านการคำนวณทางคณิตศาสตร์ การพัฒนาทั้งหมดของเขา ซึ่งเพื่อนร่วมงานของเขาหยิบยกขึ้นมา กลายเป็นทฤษฎีบทแฟร์มาต์และนิวตัน-ไลบ์นิซที่มีชื่อเสียงในปัจจุบัน

ปัญหาพื้นที่สูงสุด

ลองจินตนาการว่าเรามีเส้นลวดที่มีความยาว 50 ซม. เราจะสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่มากที่สุดได้อย่างไร

เมื่อเริ่มการตัดสินใจคุณควรดำเนินการจากความจริงง่ายๆที่ทุกคนรู้ เห็นได้ชัดว่าเส้นรอบรูปของเราจะเท่ากับ 50 ซม. ประกอบด้วยความยาวสองเท่าของทั้งสองด้าน ซึ่งหมายความว่าเมื่อกำหนดให้หนึ่งในนั้นคือ "X" ส่วนอีกอันสามารถแสดงเป็น (25 - X)

จากตรงนี้เราจะได้พื้นที่เท่ากับ X(25 - X) นิพจน์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่รับค่าหลายค่า การแก้ปัญหาจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุด ซึ่งหมายความว่าคุณต้องหาจุดปลายสุดให้ได้

ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและจัดให้เป็นศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการง่ายๆ: 25 - 2X = 0

จากนั้นเราเรียนรู้ว่าด้านใดด้านหนึ่งคือ X = 12.5

ดังนั้นอีกอัน: 25 - 12.5 = 12.5

ปรากฎว่าวิธีแก้ปัญหาจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 12.5 ซม.

วิธีค้นหาความเร็วสูงสุด

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง ลองจินตนาการว่ามีวัตถุตัวหนึ่งซึ่งการเคลื่อนที่เชิงเส้นอธิบายได้ด้วยสมการ S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 โดยที่ระยะทางที่เคลื่อนที่แสดงเป็นเมตรและเวลาเป็นวินาที เราต้องหาความเร็วสูงสุด ทำอย่างไร? ดาวน์โหลดแล้วเราจะพบความเร็วนั่นคืออนุพันธ์อันดับหนึ่ง

เราได้สมการ: V = - 3t 2 + 18t - 24 ทีนี้เพื่อแก้ปัญหาเราต้องค้นหาจุดสุดขั้วอีกครั้ง จะต้องดำเนินการในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า เราค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วและจัดให้เป็นศูนย์

เราได้: - 6t + 18 = 0 ดังนั้น t = 3 วิ นี่คือเวลาที่ความเร็วของร่างกายรับค่าวิกฤต เราแทนที่ข้อมูลผลลัพธ์ลงในสมการความเร็วแล้วได้: V = 3 m/s

แต่เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่านี่คือความเร็วสูงสุด เนื่องจากจุดวิกฤติของฟังก์ชันอาจเป็นค่าที่มากที่สุดหรือเล็กที่สุดก็ได้ ในการตรวจสอบ คุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของความเร็ว แสดงเป็นเลข 6 โดยมีเครื่องหมายลบ ซึ่งหมายความว่าจุดที่พบคือจุดสูงสุด และในกรณีที่มีค่าบวก อนุพันธ์อันดับสองก็จะมีค่าต่ำสุด ซึ่งหมายความว่าวิธีแก้ปัญหาที่พบนั้นถูกต้อง

ปัญหาที่ให้ไว้เป็นตัวอย่างเป็นเพียงส่วนหนึ่งของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้หากคุณรู้วิธีหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ในความเป็นจริงยังมีอีกมากมาย และความรู้ดังกล่าวเปิดโอกาสที่เป็นไปได้อย่างไร้ขีดจำกัดสำหรับอารยธรรมของมนุษย์

กลับ