ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละเทอม (เริ่มจากวินาที) ได้มาจากเทอมก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน q ≠ 0 เรียกว่าตัวเลข q ตัวส่วนความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หากต้องการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คุณต้องกำหนดเทอมแรกเป็น 1 และตัวส่วน q
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเพิ่มขึ้นเมื่อ q > 1 ลดลงเมื่อ 0< q < 1.
ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
1. 2, 4, 8, 16… . เทอมแรกคือ 1 และตัวส่วนคือ 2
81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . เทอมแรกคือ 81 และตัวส่วนคือ 1/3
ดังนั้น เทอมแรกของความก้าวหน้าจะเท่ากับ 1 เทอมที่สอง - a 1 q เทอมที่สาม a 1 q*q = a 1 q 2 เทอมที่สี่ a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . ดังนั้น, ระยะที่ n ของความก้าวหน้าคำนวณโดยใช้สูตร a n = a 1 q n-1
คำแถลง: ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร
S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1
คูณด้วยเราจะได้:
S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n
ทีนี้ลองลบ S n q จาก S n
ตัวอย่างปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
1. หาผลรวมของ 10 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้ารู้ว่า a 1 = 3, q = 4
2. ในหนึ่งนาที ชีวมวลจะเพิ่มขึ้นสองเท่า เธอจะมีน้ำหนักเท่าใดใน 5 นาทีหากน้ำหนักปัจจุบันของเธอคือ 3 กก.
เรากำลังเผชิญกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ 1 = 3 และ q = 2 เพื่อแก้ปัญหา เราจำเป็นต้องหาเทอมที่หกของความก้าวหน้านี้
ลองพิจารณาซีรีย์บางเรื่อง
7 28 112 448 1792...
เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่ามูลค่าขององค์ประกอบใด ๆ ของมันนั้นมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าถึงสี่เท่าอย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้มีความก้าวหน้า
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณลักษณะหลักคือได้ตัวเลขถัดไปจากตัวเลขก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวเลขเฉพาะ นี่แสดงโดยสูตรต่อไปนี้
a z +1 =a z ·q โดยที่ z คือจำนวนขององค์ประกอบที่เลือก
ดังนั้น z ∈ N
ช่วงเวลาที่ศึกษาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่โรงเรียนคือชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิด:
0.25 0.125 0.0625...
จากสูตรนี้ ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถหาได้ดังนี้:
ทั้ง q และ bz ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ นอกจากนี้ แต่ละองค์ประกอบของความก้าวหน้าไม่ควรเท่ากับศูนย์
ดังนั้น หากต้องการหาตัวเลขถัดไปในชุดข้อมูล คุณต้องคูณตัวเลขสุดท้ายด้วย q
หากต้องการตั้งค่าความก้าวหน้านี้ คุณต้องระบุองค์ประกอบแรกและตัวส่วน หลังจากนี้ คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ที่ตามมาและผลรวมได้
พันธุ์
ขึ้นอยู่กับ q และ 1 ความก้าวหน้านี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท:
- หากทั้ง 1 และ q มากกว่า 1 ลำดับดังกล่าวจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นพร้อมกับองค์ประกอบที่ตามมาแต่ละองค์ประกอบ ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง
ตัวอย่าง: a 1 =3, q=2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่ามากกว่าหนึ่ง
จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:
3 6 12 24 48 ...
- ถ้า |q| น้อยกว่าหนึ่ง กล่าวคือ การคูณด้วยมันเท่ากับการหาร ดังนั้นความก้าวหน้าที่มีเงื่อนไขคล้ายกันคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง
ตัวอย่าง: a 1 =6, q=1/3 - a 1 มากกว่า 1, q น้อยกว่า
จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:
6 2 2/3 ... - องค์ประกอบใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบที่ตามมา 3 เท่า
- ป้ายสลับ. ถ้าถาม<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
ตัวอย่าง: a 1 = -3, q = -2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์
จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:
3, 6, -12, 24,...
สูตร
มีหลายสูตรสำหรับการใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สะดวก:
- สูตรเทอม Z ช่วยให้คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบภายใต้ตัวเลขเฉพาะโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้า
ตัวอย่าง:ถาม = 3, ก 1 = 4. จะต้องนับองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า
สารละลาย:ก 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- ผลรวมขององค์ประกอบแรกที่มีปริมาณเท่ากับ z- ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดของลำดับได้สูงสุดถึงzรวมอยู่ด้วย
ตั้งแต่ (1-ถาม) อยู่ในตัวส่วน จากนั้น (1 - q)≠ 0 ดังนั้น q จึงไม่เท่ากับ 1
หมายเหตุ: ถ้า q=1 การก้าวหน้าจะเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่าง:ก 1 = 2, ถาม= -2. คำนวณ S5
สารละลาย:ส 5 = 22 - การคำนวณโดยใช้สูตร
- จำนวนเงินถ้า |ถาม| < 1 и если z стремится к бесконечности.
ตัวอย่าง:ก 1 = 2 , ถาม= 0.5. หาจำนวนเงิน.
สารละลาย:เอส ซี = 2 · = 4
เอส ซี = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
คุณสมบัติบางอย่าง:
- คุณสมบัติลักษณะ หากเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ทำงานเพื่อสิ่งใด ๆzจากนั้นอนุกรมตัวเลขที่กำหนดจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
z 2 = z -1 · กซ+1
- นอกจากนี้ กำลังสองของตัวเลขใดๆ ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถหาได้โดยการบวกกำลังสองของตัวเลขอื่นๆ สองตัวใดๆ ในชุดที่กำหนด หากพวกมันอยู่ห่างจากองค์ประกอบนี้เท่ากัน
z 2 = z - ที 2 + z + ที 2 , ที่ไหนที- ระยะห่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้
- องค์ประกอบแตกต่างกันใน qครั้งหนึ่ง.
- ลอการิทึมขององค์ประกอบของความก้าวหน้าก็ก่อให้เกิดความก้าวหน้าเช่นกัน แต่เป็นเลขคณิตนั่นคือแต่ละองค์ประกอบมีค่ามากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยจำนวนที่แน่นอน
ตัวอย่างของปัญหาคลาสสิกบางประการ
เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร ตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับคลาส 9 สามารถช่วยได้
- เงื่อนไข:ก 1 = 3, ก 3 = 48. ค้นหาถาม.
วิธีแก้ไข: แต่ละองค์ประกอบที่ตามมาจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าในถาม ครั้งหนึ่ง.จำเป็นต้องแสดงองค์ประกอบบางอย่างในรูปขององค์ประกอบอื่นๆ โดยใช้ตัวส่วน
เพราะฉะนั้น,ก 3 = ถาม 2 · ก 1
เมื่อทำการทดแทนถาม= 4
- เงื่อนไข:ก 2 = 6, ก 3 = 12. คำนวณ S 6.
สารละลาย:เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงหา q ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกแล้วแทนที่ลงในสูตร
ก 3 = ถาม· ก 2 , เพราะฉะนั้น,ถาม= 2
ก 2 = คิว · ก 1 ,นั่นเป็นเหตุผล ก 1 = 3
ส 6 = 189
- · ก 1 = 10, ถาม= -2. ค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า
วิธีแก้: เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแสดงองค์ประกอบที่สี่ผ่านทางตัวแรกและตัวส่วนแล้ว
ก 4 = ค 3· ก 1 = -80
ตัวอย่างการใช้งาน:
- ลูกค้าธนาคารฝากเงินจำนวน 10,000 รูเบิล ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกค้าจะได้เงินต้นเพิ่ม 6% ทุกปี หลังจาก 4 ปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่?
วิธีแก้ปัญหา: จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 10,000 รูเบิล ซึ่งหมายความว่าหนึ่งปีหลังจากการลงทุน บัญชีจะมีจำนวนเงินเท่ากับ 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10,000 1.06
ดังนั้นจำนวนเงินในบัญชีหลังจากปีอื่นจะแสดงดังนี้:
(10,000 · 1.06) · 0.06 + 10,000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10,000
นั่นคือทุกปีจำนวนเงินจะเพิ่มขึ้น 1.06 เท่า ซึ่งหมายความว่าหากต้องการค้นหาจำนวนเงินในบัญชีหลังจาก 4 ปี ก็เพียงพอที่จะค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า ซึ่งกำหนดโดยองค์ประกอบแรกเท่ากับ 10,000 และตัวส่วนเท่ากับ 1.06
ส = 1.06 1.06 1.06 1.06 10,000 = 12625
ตัวอย่างปัญหาการคำนวณผลรวม:
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในปัญหาต่างๆ ตัวอย่างการหาผลรวมได้ดังนี้:
ก 1 = 4, ถาม= 2 คำนวณส 5.
วิธีแก้ไข: ทราบข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการคำนวณแล้ว คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ข้อมูลเหล่านั้นลงในสูตร
ส 5 = 124
- ก 2 = 6, ก 3 = 18. คำนวณผลรวมของหกองค์ประกอบแรก
สารละลาย:
ในภูมิศาสตร์ ความก้าวหน้า แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า q เท่า นั่นคือเพื่อคำนวณผลรวมที่คุณต้องรู้องค์ประกอบนั้นก 1 และตัวส่วนถาม.
ก 2 · ถาม = ก 3
ถาม = 3
ในทำนองเดียวกันคุณต้องค้นหาก 1 , รู้ก 2 และถาม.
ก 1 · ถาม = ก 2
ก 1 =2
ส 6 = 728.
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับตัวเลขรูปแบบใหม่ที่เรากำลังจะคุ้นเคย เพื่อการออกเดทที่ประสบความสำเร็จ อย่างน้อยการรู้และเข้าใจก็ไม่เสียหายอะไร แล้วจะไม่มีปัญหาเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร? แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เราเริ่มทัวร์ตามปกติด้วยพื้นฐาน ฉันเขียนลำดับตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
คุณสามารถมองเห็นรูปแบบและบอกได้ว่าตัวเลขใดจะมาต่อไป? พริกไทยชัดเจนแล้วเลข 100,000, 1,000,000 และต่อๆ ไปก็จะตามมา แม้จะไม่ต้องใช้ความพยายามอะไรมากมาย ทุกอย่างก็ชัดเจนใช่ไหม?)
ตกลง. ตัวอย่างอื่น. ฉันเขียนลำดับนี้:
1, 2, 4, 8, 16, …
บอกได้ไหมว่าเลขไหนจะมาต่อไปตามเลข 16 และชื่อ ที่แปดสมาชิกลำดับ? ถ้าคิดออกว่าจะเป็นเลข 128 ก็ถือว่าดีมาก ครึ่งหนึ่งของการต่อสู้อยู่ที่ความเข้าใจ ความรู้สึกและ ประเด็นสำคัญความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้เสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเติบโตต่อไปได้)
และตอนนี้เราย้ายจากความรู้สึกไปสู่คณิตศาสตร์ที่เข้มงวดอีกครั้ง
ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
จุดสำคัญ #1
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ ลำดับของตัวเลขความก้าวหน้าก็เช่นกัน ไม่มีอะไรแฟนซี ลำดับนี้เท่านั้นที่จัดไว้ แตกต่างกันดังนั้นจึงมีชื่อที่แตกต่างกันออกไป ใช่แล้ว...
จุดสำคัญ #2
ด้วยประเด็นสำคัญประการที่สอง คำถามจะซับซ้อนมากขึ้น ย้อนกลับไปสักหน่อยแล้วจำคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน นี่คือ: สมาชิกแต่ละคนมีความแตกต่างจากสมาชิกคนก่อน ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดคุณสมบัติหลักที่คล้ายกันสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต? คิดสักนิด... ลองดูตัวอย่างที่ให้มาโดยละเอียด คุณเดาได้ไหม? ใช่! ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (มีก็ได้!) สมาชิกแต่ละคนจะแตกต่างจากสมาชิกก่อนหน้า จำนวนครั้งเท่ากันเสมอ!
ในตัวอย่างแรก ตัวเลขนี้คือสิบ ไม่ว่าคุณจะเลือกสมาชิกของลำดับใด มันจะมากกว่าลำดับก่อนหน้า สิบครั้ง.
ในตัวอย่างที่สอง มันคือสอง: แต่ละเทอมมีค่ามากกว่าเทอมก่อนหน้า สองครั้ง.
นี่คือประเด็นสำคัญที่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่ละเทอมต่อมาจะได้รับ โดยการเพิ่มค่าเดียวกันกับคำก่อนหน้า และที่นี่ - การคูณงวดก่อนด้วยจำนวนเท่ากัน นั่นคือความแตกต่างทั้งหมด)
จุดสำคัญ #3
ประเด็นสำคัญนี้เหมือนกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง กล่าวคือ: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยืนอยู่ในตำแหน่งของมันทุกอย่างเหมือนกันทุกประการกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความคิดเห็นที่ฉันคิดว่าไม่จำเป็น มีเทอมแรกมีร้อยเอ็ดเป็นต้น ให้เราสลับกันอย่างน้อยสองเทอม รูปแบบ (และความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย) จะหายไป สิ่งที่เหลืออยู่เป็นเพียงลำดับตัวเลขโดยไม่มีตรรกะใดๆ
นั่นคือทั้งหมดที่ นั่นคือจุดรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ข้อกำหนดและการกำหนด
แต่ตอนนี้ เมื่อเข้าใจความหมายและประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว เราก็สามารถไปยังทฤษฎีได้ ไม่เช่นนั้นทฤษฎีจะเป็นอย่างไรหากไม่เข้าใจความหมายใช่ไหม?
จะแสดงถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้อย่างไร?
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร ไม่มีปัญหา! แต่ละเทอมของความก้าวหน้าก็เขียนเป็นตัวอักษรด้วย สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น โดยปกติจะใช้ตัวอักษร "เอ", สำหรับเรขาคณิต – ตัวอักษร "ข" หมายเลขสมาชิกตามปกติจะถูกระบุ ดัชนีที่ด้านล่างขวา- เราเพียงแต่แสดงรายชื่อสมาชิกของความก้าวหน้า โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรืออัฒภาค
แบบนี้:
ข 1,ข 2 , ข 3 , ข 4 , ข 5 , ข 6 , …
ความก้าวหน้านี้เขียนโดยย่อดังนี้: (บีเอ็น) .
หรือเช่นนี้เพื่อความก้าวหน้าอันจำกัด:
ข 1, ข 2, ข 3, ข 4, ข 5, ข 6
ข 1 ข 2 … ข 29 ข 30
หรือกล่าวโดยย่อ:
(บีเอ็น), n=30 .
อันที่จริงนั่นคือการกำหนดทั้งหมด ทุกอย่างเหมือนเดิมต่างกันแค่ตัวอักษรเท่านั้นใช่) และตอนนี้เราไปสู่คำจำกัดความโดยตรง
คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลขโดยที่เทอมแรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน
นั่นคือคำจำกัดความทั้งหมด คำและวลีส่วนใหญ่ชัดเจนและคุ้นเคยสำหรับคุณ แน่นอนว่าหากคุณเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต "บนนิ้วของคุณ" และโดยทั่วไปแล้ว แต่ก็มีวลีใหม่สองสามวลีที่ฉันอยากจะให้ความสนใจเป็นพิเศษ
ประการแรกคำว่า: “สมาชิกคนแรกซึ่ง ไม่ใช่ศูนย์".
ข้อจำกัดนี้ในระยะแรกไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าสมาชิกคนแรก ข 1 จะเท่ากับศูนย์ใช่ไหม? เทอมที่สองจะเท่ากับอะไรถ้าแต่ละเทอมมากกว่าเทอมก่อนหน้า? จำนวนครั้งเท่ากันเหรอ?สมมติว่าสามครั้ง? มาดูกัน... คูณเทอมแรก (เช่น 0) ด้วย 3 แล้วได้... ศูนย์! แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ? เป็นศูนย์ด้วย! และเทอมที่สี่ก็เป็นศูนย์ด้วย! และอื่นๆ...
เราเพิ่งได้เบเกิลหนึ่งถุง ลำดับของเลขศูนย์:
0, 0, 0, 0, …
แน่นอนว่าลำดับดังกล่าวมีสิทธิที่จะมีชีวิต แต่ก็ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ทุกอย่างชัดเจน. สมาชิกใดๆ ของมันคือศูนย์ ผลรวมของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้เป็นศูนย์... คุณสามารถทำอะไรที่น่าสนใจได้บ้าง? ไม่มีอะไร…
คำสำคัญต่อไปนี้: "คูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่าเดิม"
หมายเลขเดียวกันนี้ก็มีชื่อพิเศษของตัวเองเช่นกัน - ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า)
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างง่ายเหมือนปลอกลูกแพร์
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือตัวเลข (หรือปริมาณ) ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ระบุกี่ครั้งแต่ละระยะของความก้าวหน้า มากกว่าครั้งก่อน
เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำสำคัญที่ต้องมองหาในคำจำกัดความนี้คือคำว่า "มากกว่า"- หมายความว่าจะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ละเทอม การคูณถึงตัวส่วนนี้เอง สมาชิกคนก่อน.
ให้ฉันอธิบาย.
ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองดิ๊ก จำเป็นต้องเอา อันดับแรกสมาชิกและ คูณให้กับตัวส่วน. สำหรับการคำนวณ ที่สิบดิ๊ก จำเป็นต้องเอา เก้าสมาชิกและ คูณให้กับตัวส่วน.
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นสามารถเป็นอะไรก็ได้ ใครก็ได้แน่นอน! ทั้งหมด, เศษส่วน, บวก, ลบ, ไม่ลงตัว - ทุกอย่าง ยกเว้นศูนย์ นี่คือสิ่งที่คำว่า "ไม่เป็นศูนย์" ในคำจำกัดความบอกเรา เหตุใดจึงต้องมีคำนี้ที่นี่ - มีรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตส่วนใหญ่มักระบุด้วยจดหมาย ถาม.
จะหาได้อย่างไร ถาม- ไม่มีปัญหา! เราต้องใช้เวลาระยะหนึ่งของความก้าวหน้าและ หารด้วยเทอมก่อนหน้า- ส่วนที่เป็น เศษส่วน- ดังนั้นชื่อ - "ส่วนแห่งความก้าวหน้า" ตัวส่วนมักจะอยู่ในเศษส่วน ใช่...) แม้ว่าตามตรรกะแล้ว ค่าก็ตาม ถามควรจะเรียกว่า ส่วนตัวความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคล้ายกับ ความแตกต่างเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่เราตกลงที่จะโทร ตัวส่วน- และเราจะไม่สร้างวงล้อขึ้นมาใหม่เช่นกัน)
ให้เรากำหนด เช่น ปริมาณ ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้:
2, 6, 18, 54, …
ทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา เอาล่ะ ใดๆลำดับหมายเลข. เราเอาอะไรก็ตามที่เราต้องการ ยกเว้นอันแรกสุด เช่น 18. และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า- นั่นก็คือตอน 6 โมง
เราได้รับ:
ถาม = 18/6 = 3
นั่นคือทั้งหมดที่ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ ตัวส่วนคือสาม
ทีนี้ลองหาตัวส่วน ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอีกอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่นอันนี้:
1, -2, 4, -8, 16, …
เหมือนกันทั้งหมด. ไม่ว่าสมาชิกจะมีสัญญาณอะไรเราก็ยังรับอยู่ ใดๆจำนวนลำดับ (เช่น 16) และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า(เช่น -8)
เราได้รับ:
ง = 16/(-8) = -2
แค่นั้นเอง) คราวนี้ตัวหารของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ ลบสอง. เกิดขึ้น)
ตอนนี้เรามาดูความก้าวหน้านี้กันดีกว่า:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
และอีกครั้ง ไม่ว่าตัวเลขในลำดับจะเป็นประเภทใดก็ตาม (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนคู่ หรือจำนวนลบ หรือจำนวนตรรกยะ) เราจะนำตัวเลขใดๆ ก็ตาม (เช่น 1/9) แล้วหารด้วยตัวเลขก่อนหน้า (1/3) ตามกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนแน่นอน
เราได้รับ:
แค่นั้นแหละ.) ตัวส่วนกลายเป็นเศษส่วนที่นี่: ถาม = 1/3.
คุณคิดอย่างไรกับ "ความก้าวหน้า" นี้?
3, 3, 3, 3, 3, …
เห็นได้ชัดว่าที่นี่ ถาม = 1 - อย่างเป็นทางการ นี่เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเท่านั้น สมาชิกที่เหมือนกัน.) แต่ความก้าวหน้าดังกล่าวไม่น่าสนใจสำหรับการศึกษาและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าที่มีศูนย์ทึบ ดังนั้นเราจะไม่พิจารณาพวกเขา
อย่างที่คุณเห็น ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถเป็นอะไรก็ได้ - จำนวนเต็ม เศษส่วน บวก ลบ - อะไรก็ได้! มันไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เดาไม่ถูกว่าทำไม?
ลองใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจงเพื่อดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเราเป็นตัวส่วน ถามศูนย์) ยกตัวอย่างให้เรามี ข 1 = 2 , ก ถาม = 0 - แล้วเทอมที่สองจะเท่ากับอะไร?
เรานับ:
ข 2 = ข 1 · ถาม= 2 0 = 0
แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ?
ข 3 = ข 2 · ถาม= 0 0 = 0
ประเภทและพฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: หากความก้าวหน้าแตกต่างกัน งเป็นบวก แล้วความก้าวหน้าก็จะเพิ่มขึ้น หากความแตกต่างเป็นลบ ความก้าวหน้าจะลดลง มีเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น ไม่มีที่สาม)
แต่ด้วยพฤติกรรมความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ทุกอย่างจะน่าสนใจและหลากหลายมากขึ้น!)
ไม่ว่าสมาชิกจะประพฤติตนอย่างไรที่นี่: พวกมันเพิ่มขึ้นและลดลง และเข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่มีกำหนด และแม้กระทั่งเปลี่ยนสัญญาณ สลับกันโยนตัวเองเข้าไปใน "บวก" แล้วจึงกลายเป็น "ลบ"! และในความหลากหลายทั้งหมดนี้ คุณต้องสามารถเข้าใจได้ดี ใช่...
ลองคิดดูสิ?) เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน
ตัวส่วนเป็นบวก ( ถาม >0)
ด้วยตัวส่วนบวก อย่างแรก เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเข้าได้ บวกกับอนันต์(กล่าวคือเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด) และสามารถเข้าไปได้ ลบอนันต์(เช่น ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด) เราคุ้นเคยกับพฤติกรรมแห่งความก้าวหน้านี้แล้ว
ตัวอย่างเช่น:
(บีเอ็น): 1, 2, 4, 8, 16, …
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ มากขึ้นกว่าเดิม- ยิ่งกว่านั้นแต่ละเทอมจะเปิดออก การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 (เช่น ถาม = 2 - พฤติกรรมของความก้าวหน้าดังกล่าวชัดเจน: สมาชิกทุกคนของความก้าวหน้าเติบโตอย่างไม่มีกำหนดและเข้าสู่อวกาศ บวกกับความไม่มีที่สิ้นสุด...
และตอนนี้นี่คือความคืบหน้า:
(บีเอ็น): -1, -2, -4, -8, -16, …
ที่นี่ก็ได้รับความก้าวหน้าแต่ละระยะเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 แต่พฤติกรรมของความก้าวหน้าดังกล่าวกลับตรงกันข้าม: จะได้รับแต่ละระยะของความก้าวหน้า น้อยกว่าครั้งก่อนและพจน์ทั้งหมดลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด ไปจนถึงลบอนันต์
ทีนี้ลองมาคิดว่า: ความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้องแล้ว ตัวส่วน! ที่นี่และที่นั่น ถาม = +2 . จำนวนบวกสอง. และที่นี่ พฤติกรรมความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีความแตกต่างกันโดยพื้นฐาน! เดาไม่ถูกว่าทำไม? ใช่! มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับ สมาชิกคนแรก!อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าใครเป็นคนร้องทำนอง) ดูด้วยตัวคุณเอง
ในกรณีแรก ระยะแรกของความก้าวหน้า เชิงบวก(+1) และดังนั้น เงื่อนไขต่อมาทั้งหมดที่ได้รับจากการคูณด้วย เชิงบวกตัวส่วน ถาม = +2 จะเป็นเช่นกัน เชิงบวก.
แต่ในกรณีที่สอง เทอมแรก เชิงลบ(-1) ดังนั้นเงื่อนไขการก้าวหน้าที่ตามมาทั้งหมดจะได้จากการคูณด้วย เชิงบวก ถาม = +2 จะได้รับเช่นกัน เชิงลบ.เพราะ "ลบ" ถึง "บวก" จะให้ "ลบ" เสมอใช่)
อย่างที่คุณเห็น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตรงที่มีพฤติกรรมแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับ จากตัวส่วนถามแต่ยังขึ้นอยู่กับ ตั้งแต่สมาชิกคนแรก, ใช่.)
ข้อควรจำ: พฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะจากเทอมแรก ข 1 และตัวส่วนถาม .
และตอนนี้เราเริ่มวิเคราะห์กรณีที่คุ้นเคยน้อยลง แต่มีกรณีที่น่าสนใจมากขึ้น!
ยกตัวอย่างลำดับนี้:
(บีเอ็น): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
ลำดับนี้ก็เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน! แต่ละวาระของความก้าวหน้านี้ก็ปรากฏเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน มันเป็นเพียงตัวเลข - เศษส่วน: ถาม = +1/2 - หรือ +0,5 - ยิ่งไปกว่านั้น (สำคัญ!) ตัวเลข น้อยกว่าหนึ่ง:ถาม = 1/2<1.
เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้จึงน่าสนใจ สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? มาดูกันดีกว่า:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
คุณสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอะไรบ้างที่นี่? ประการแรก การลดลงในแง่ของความก้าวหน้าจะเห็นได้ทันที: สมาชิกแต่ละคน น้อยอันที่แล้วอย่างแน่นอน 2 ครั้ง.หรือตามคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในแต่ละเทอม มากกว่าก่อนหน้า 1/2 ครั้ง, เพราะ ตัวส่วนความก้าวหน้า ถาม = 1/2 - และเมื่อคูณด้วยจำนวนบวกที่น้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์ก็มักจะลดลง ใช่...
อะไร มากกว่าสามารถเห็นได้จากพฤติกรรมของความก้าวหน้านี้หรือไม่? สมาชิกลดลงหรือเปล่า? ไม่ จำกัดจะไปลบอนันต์เหรอ? เลขที่! พวกเขาหายไปในลักษณะพิเศษ ในตอนแรกจะลดลงอย่างรวดเร็ว และต่อมาก็ช้าลงเรื่อยๆ และในขณะที่ยังคงอยู่ตลอดเวลา เชิงบวก- แม้จะเล็กมากก็ตาม และพวกเขาต่อสู้เพื่ออะไร? คุณไม่เดาเหรอ? ใช่! พวกเขามุ่งมั่นไปสู่ศูนย์!) ยิ่งไปกว่านั้น โปรดใส่ใจ สมาชิกในความก้าวหน้าของเรานั้นมาจากศูนย์ ไม่ถึง!เท่านั้น เข้ามาใกล้เขาอย่างไม่สิ้นสุด. มันสำคัญมาก.)
สถานการณ์ที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นในการดำเนินการต่อไปนี้:
(บีเอ็น): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
ที่นี่ ข 1 = -1 , ก ถาม = 1/2 - ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะตอนนี้เงื่อนไขจะเข้าใกล้ศูนย์จากอีกด้านหนึ่งจากด้านล่าง อยู่ตลอดเวลา เชิงลบ.)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวซึ่งเงื่อนไขดังกล่าว เข้าใกล้ศูนย์โดยไม่มีขีดจำกัด(ไม่ว่าจะมาจากด้านบวกหรือด้านลบก็ตาม) ในทางคณิตศาสตร์มีชื่อพิเศษว่า - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดความก้าวหน้านี้น่าสนใจและแปลกประหลาดมากจนต้องพูดถึงด้วยซ้ำ บทเรียนแยกต่างหาก .)
ดังนั้นเราจึงพิจารณาความเป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เชิงบวกตัวส่วนมีทั้งตัวใหญ่และตัวเล็ก เราไม่ถือว่าหน่วยเป็นตัวส่วนด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น (จำตัวอย่างที่มีลำดับแฝดสาม...)
สรุป:
เชิงบวกและ มากกว่าหนึ่ง (ถาม>1) จากนั้นเงื่อนไขของความก้าวหน้า:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 >0);
b) ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 <0).
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงบวก และ น้อยกว่าหนึ่ง (0< ถาม<1), то члены прогрессии:
ก) ใกล้กับศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด ข้างบน(ถ้าข 1 >0);
b) ใกล้ถึงศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด จากด้านล่าง(ถ้าข 1 <0).
ตอนนี้ยังคงต้องพิจารณาคดีต่อไป ตัวส่วนลบ
ตัวส่วนเป็นลบ ( ถาม <0)
เราจะไม่ไปไกลเป็นตัวอย่าง ทำไมล่ะ คุณยายขนดก?!) ตัวอย่างเช่น ระยะแรกของความก้าวหน้าจะเป็น ข 1 = 1 และลองหาตัวส่วนกัน คิว = -2.
เราได้รับลำดับต่อไปนี้:
(บีเอ็น): 1, -2, 4, -8, 16, …
เป็นต้น.) แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน จำนวนลบ-2. ในกรณีนี้ สมาชิกทุกคนที่ยืนอยู่ในตำแหน่งคี่ (อันดับหนึ่ง สาม ห้า ฯลฯ) จะเป็นเช่นนี้ เชิงบวกและในสถานที่คู่ (ที่สอง สี่ ฯลฯ) – เชิงลบ.ป้ายสลับกันอย่างเคร่งครัด บวก-ลบ-บวก-ลบ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า - เครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นสลับกัน
สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? แต่ไม่มีที่ไหนเลย) ใช่ ในค่าสัมบูรณ์ (เช่น โมดูโล่)สมาชิกของความก้าวหน้าของเราเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (จึงเป็นที่มาของชื่อ “การเพิ่มขึ้น”) แต่ในขณะเดียวกัน สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าก็โยนคุณเข้าสู่ความร้อนแล้วเข้าสู่ความเย็นสลับกัน ไม่ว่าจะ "บวก" หรือ "ลบ" ความก้าวหน้าของเรานั้นไม่แน่นอน... นอกจากนี้ ขอบเขตของความผันผวนยังเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในแต่ละขั้นตอน ใช่แล้ว) ดังนั้น ความปรารถนาของสมาชิกความก้าวหน้าจึงไปที่ไหนสักแห่ง โดยเฉพาะที่นี่ เลขที่ไม่ว่าจะบวกอนันต์ หรือลบอนันต์ หรือศูนย์ - ไม่มีเลย
ตอนนี้ให้เราพิจารณาตัวส่วนที่เป็นเศษส่วนระหว่างศูนย์ถึงลบหนึ่ง
เช่น ปล่อยให้มันเป็นไป ข 1 = 1 , ก คิว = -1/2.
จากนั้นเราจะได้รับความก้าวหน้า:
(บีเอ็น): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
และเรามีสัญญาณสลับกันอีกครั้ง! แต่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ที่นี่มีแนวโน้มที่ชัดเจนอยู่แล้วสำหรับเงื่อนไขที่จะเข้าใกล้ศูนย์) เฉพาะครั้งนี้ เงื่อนไขของเราเข้าใกล้ศูนย์เท่านั้น ไม่ใช่อย่างเคร่งครัดจากด้านบนหรือด้านล่าง แต่อีกครั้ง ลังเล- สลับกันรับค่าบวกและค่าลบ แต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็ โมดูลกำลังเข้าใกล้ศูนย์อันเป็นที่รักมากขึ้นเรื่อยๆ)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า เครื่องหมายลดลงไม่สิ้นสุดสลับกัน
เหตุใดสองตัวอย่างนี้จึงน่าสนใจ และความจริงที่ว่าทั้งสองกรณีเกิดขึ้น สลับป้าย!เคล็ดลับนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนเป็นลบเท่านั้น) ดังนั้น หากในบางงานคุณเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมสลับกัน คุณจะรู้แน่นอนว่าตัวส่วนของมันเป็นลบ 100% และคุณจะไม่ทำผิดพลาด ในป้าย)
อย่างไรก็ตาม ในกรณีของตัวส่วนลบ เครื่องหมายของเทอมแรกจะไม่ส่งผลกระทบต่อพฤติกรรมของความก้าวหน้าเลย โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณของระยะแรกของความก้าวหน้า ไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะต้องสังเกตสัญญาณของเงื่อนไข คำถามเดียวก็คือ ในสถานที่ใดบ้าง(คู่หรือคี่) จะมีสมาชิกที่มีเครื่องหมายเฉพาะ
จดจำ:
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงลบ แล้วสัญญาณของเงื่อนไขความก้าวหน้าอยู่เสมอ สลับกัน
ขณะเดียวกันสมาชิกเองก็:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดโมดูโล่, ถ้าถาม<-1;
b) เข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่สิ้นสุดถ้า -1< ถาม<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
นั่นคือทั้งหมดที่ กรณีทั่วไปทั้งหมดได้รับการวิเคราะห์แล้ว)
ในกระบวนการวิเคราะห์ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่หลากหลาย ฉันใช้คำว่า: "มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์", "มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์", "มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์"... ไม่เป็นไร) คำพูดเหล่านี้ (และตัวอย่างเฉพาะเจาะจง) เป็นเพียงการแนะนำเบื้องต้นเท่านั้น พฤติกรรมลำดับตัวเลขที่หลากหลาย โดยใช้ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทำไมเราต้องรู้ถึงพฤติกรรมของความก้าวหน้าด้วย? เธอไปทำอะไรให้แตกต่าง? มุ่งสู่ศูนย์ บวกอนันต์ ลบอนันต์... มันส่งผลอะไรกับเราบ้าง?
ประเด็นก็คือ ในมหาวิทยาลัยในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง คุณจะต้องมีความสามารถในการทำงานกับลำดับตัวเลขที่หลากหลาย (กับลำดับใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่แค่ความก้าวหน้าเท่านั้น!) และความสามารถในการจินตนาการได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับนี้หรือลำดับนั้นเป็นอย่างไร ประพฤติ - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นไม่ว่าจะลดลงไม่ จำกัด ไม่ว่าจะมีแนวโน้มเป็นจำนวนเฉพาะ (และไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์) หรือแม้กระทั่งไม่มีแนวโน้มอะไรเลย... ส่วนทั้งหมดมีไว้สำหรับหัวข้อนี้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ - ทฤษฎีขีดจำกัดและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอีกเล็กน้อย - แนวคิด ขีดจำกัดของลำดับหมายเลขหัวข้อที่น่าสนใจมาก! สมควรไปเรียนมหาวิทยาลัยแล้วคิดออก)
ตัวอย่างบางส่วนจากส่วนนี้ (ลำดับที่มีขีดจำกัด) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดพวกเขาเริ่มคุ้นเคยกับมันที่โรงเรียน เราเริ่มคุ้นเคยแล้ว)
นอกจากนี้ความสามารถในการศึกษาพฤติกรรมของลำดับได้ดีจะเป็นประโยชน์ต่อคุณอย่างมากในอนาคตและจะมีประโยชน์มากด้วย การวิจัยฟังก์ชั่นมีความหลากหลายมากที่สุด แต่ความสามารถในการทำงานกับฟังก์ชันต่างๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (คำนวณอนุพันธ์ ศึกษามันอย่างครบถ้วน สร้างกราฟ) ทำให้ระดับทางคณิตศาสตร์ของคุณเพิ่มขึ้นอย่างมาก! คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? ไม่จำเป็น. จำคำพูดของฉันด้วย)
มาดูความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในชีวิตกัน?
ในชีวิตรอบตัวเรา เราพบกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบ่อยครั้งมาก ถึงแม้จะไม่รู้ก็ตาม)
ตัวอย่างเช่น จุลินทรีย์ต่างๆ ที่ล้อมรอบเราทุกที่ในปริมาณมหาศาล และเราไม่สามารถมองเห็นได้หากไม่มีกล้องจุลทรรศน์ จะทวีคูณอย่างแม่นยำในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สมมติว่าแบคทีเรียตัวหนึ่งแพร่พันธุ์โดยการแบ่งครึ่ง และให้ลูกหลานออกเป็นแบคทีเรีย 2 ตัว ในทางกลับกันเมื่อคูณแต่ละตัวก็แบ่งครึ่งด้วยทำให้มีแบคทีเรีย 4 ตัวร่วมกัน รุ่นต่อไปจะผลิตแบคทีเรีย 8 ตัว ตามด้วย 16 ตัว 32, 64 ตัวและอื่นๆ ในแต่ละรุ่นต่อๆ ไป จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
นอกจากนี้ แมลงบางชนิด เช่น เพลี้ยอ่อนและแมลงวัน ยังเพิ่มจำนวนทวีคูณอีกด้วย และบางครั้งก็เป็นกระต่ายด้วย)
อีกตัวอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ใกล้ชิดกับชีวิตประจำวันมากขึ้นคือสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น.ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจนี้มักพบในเงินฝากธนาคารและเรียกว่า การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ยมันคืออะไร?
แน่นอนว่าคุณยังเด็กอยู่ คุณเรียนที่โรงเรียน คุณไม่ได้ไปธนาคาร แต่พ่อแม่ของคุณเป็นผู้ใหญ่และเป็นอิสระแล้ว พวกเขาไปทำงาน หาเงินสำหรับอาหารประจำวัน และนำเงินส่วนหนึ่งไปฝากธนาคาร เพื่อประหยัดเงิน)
สมมติว่าพ่อของคุณต้องการประหยัดเงินจำนวนหนึ่งสำหรับวันหยุดพักผ่อนของครอบครัวในตุรกีและฝากเงิน 50,000 รูเบิลในธนาคารที่ 10% ต่อปีเป็นระยะเวลาสามปี ด้วยการแปลงดอกเบี้ยเป็นรายปีนอกจากนี้ ในช่วงเวลาทั้งหมดนี้ ไม่สามารถดำเนินการใด ๆ กับการฝากเงินได้ คุณไม่สามารถเติมเงินหรือถอนเงินออกจากบัญชีได้ เขาจะทำกำไรได้เท่าไหร่หลังจากสามปีนี้?
ก่อนอื่น เราต้องหาว่า 10% ต่อปีเป็นเท่าใด มันหมายความว่าอย่างนั้น ในหนึ่งปีธนาคารจะเพิ่ม 10% ของจำนวนเงินฝากเริ่มแรก จากสิ่งที่? แน่นอนจาก จำนวนเงินฝากเริ่มต้น
เราคำนวณขนาดของบัญชีหลังจากหนึ่งปี หากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นคือ 50,000 รูเบิล (เช่น 100%) หลังจากนั้นหนึ่งปีดอกเบี้ยในบัญชีจะเป็นเท่าใด ถูกต้อง 110%! จาก 50,000 รูเบิล
ดังนั้นเราจึงคำนวณ 110% ของ 50,000 รูเบิล:
50,000·1.1 = 55,000 รูเบิล
ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจว่าการค้นหา 110% ของค่าหมายถึงการคูณค่านั้นด้วยตัวเลข 1.1 หากคุณไม่เข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้จำเกรดห้าและหกไว้ กล่าวคือ – การเชื่อมต่อระหว่างเปอร์เซ็นต์ เศษส่วน และเศษส่วน)
ดังนั้นการเพิ่มขึ้นในปีแรกจะเป็น 5,000 รูเบิล
อีกสองปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่? 60,000 รูเบิล? น่าเสียดาย (หรือค่อนข้างโชคดี) ทุกอย่างไม่ง่ายนัก เคล็ดลับทั้งหมดของการแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนคือเมื่อมีดอกเบี้ยใหม่แต่ละครั้ง ดอกเบี้ยเดียวกันเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาแล้ว จากจำนวนเงินใหม่!จากผู้ที่ เรียบร้อยแล้วอยู่ในบัญชี ในขณะนี้.และดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นสำหรับงวดก่อนหน้าจะถูกบวกเข้ากับจำนวนเงินฝากเดิม และด้วยเหตุนี้ ตัวมันเองจึงมีส่วนร่วมในการคำนวณดอกเบี้ยใหม่! นั่นคือพวกเขาจะกลายเป็นส่วนหนึ่งของบัญชีโดยรวมโดยสมบูรณ์ หรือทั่วไป เมืองหลวง.จึงได้ชื่อว่า- การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ย
มันอยู่ในเศรษฐศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ดังกล่าว ดอกเบี้ยทบต้น.หรือ เปอร์เซ็นต์ของดอกเบี้ย) เคล็ดลับของพวกเขาคือเมื่อคำนวณตามลำดับ เปอร์เซ็นต์จะถูกคำนวณในแต่ละครั้ง จากค่าใหม่และไม่ใช่จากต้นฉบับ...
ดังนั้นให้คำนวณจำนวนเงินผ่าน สองปีเราต้องคำนวณ 110% ของจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชี ในหนึ่งปี.นั่นคือจาก 55,000 รูเบิลแล้ว
เรานับ 110% ของ 55,000 รูเบิล:
55,000·1.1 = 60500 รูเบิล
ซึ่งหมายความว่าเปอร์เซ็นต์ที่เพิ่มขึ้นในปีที่สองจะเป็น 5,500 รูเบิล และเป็นเวลาสองปี - 10,500 รูเบิล
ตอนนี้คุณสามารถเดาได้แล้วว่าหลังจากสามปีจำนวนเงินในบัญชีจะเป็น 110% ของ 60,500 รูเบิล นั่นคืออีกครั้ง 110% จากครั้งก่อน (ปีที่แล้ว)จำนวนเงิน
ที่นี่เราคิดว่า:
60500·1.1 = 66550 รูเบิล
ตอนนี้เราจัดเรียงจำนวนเงินของเราตามปีตามลำดับ:
50000;
55,000 = 50,000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? ทำไมไม่ก้าวหน้าทางเรขาคณิต? สมาชิกคนแรก ข 1 = 50000 และตัวส่วน ถาม = 1,1 - แต่ละเทอมมีขนาดใหญ่กว่าเทอมก่อนหน้าอย่างเคร่งครัด 1.1 เท่า ทุกอย่างเป็นไปตามคำจำกัดความอย่างเคร่งครัด)
และพ่อของคุณจะ "สะสม" โบนัสดอกเบี้ยเพิ่มเติมจำนวนเท่าใดในขณะที่เงิน 50,000 รูเบิลของเขาอยู่ในบัญชีธนาคารของเขาเป็นเวลาสามปี?
เรานับ:
66550 – 50,000 = 16550 รูเบิล
ไม่มากแน่นอน แต่นี่คือหากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นมีน้อย ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? สมมติว่าไม่ใช่ 50 แต่เป็น 200,000 รูเบิลใช่ไหม จากนั้นการเพิ่มขึ้นในสามปีจะเป็น 66,200 รูเบิล (ถ้าคุณคำนวณ) ซึ่งก็ดีมากอยู่แล้ว) แล้วถ้ามีส่วนร่วมมากกว่านี้ล่ะ? แค่นั้นแหละ...
สรุป: ยิ่งเงินฝากเริ่มต้นสูงเท่าใด การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนก็จะยิ่งมีกำไรมากขึ้นเท่านั้น นั่นคือเหตุผลที่ธนาคารจัดให้มีเงินฝากที่มีการแปลงดอกเบี้ยเป็นระยะเวลานาน สมมุติว่าเป็นเวลาห้าปี
นอกจากนี้ โรคร้ายทุกประเภท เช่น ไข้หวัดใหญ่ โรคหัด และโรคร้ายแรงอื่นๆ (โรคซาร์สแบบเดียวกันในช่วงต้นทศวรรษ 2000 หรือโรคระบาดในยุคกลาง) มักแพร่กระจายแบบทวีคูณ ดังนั้นขนาดของโรคระบาดก็ใช่...) และทั้งหมดก็เนื่องมาจากความจริงที่ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ตัวส่วนบวกทั้งหมด (ถาม>1) – สิ่งที่เติบโตเร็วมาก! จำการสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย: จากแบคทีเรียหนึ่งตัวจะได้สองตัวจากสอง - สี่จากสี่ - แปดและอื่น ๆ... มันเหมือนกับการแพร่กระจายของการติดเชื้อใด ๆ )
ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
มาเริ่มกันด้วยปัญหาง่ายๆ เช่นเคย ที่จะเข้าใจความหมายได้อย่างหมดจด
1. เป็นที่ทราบกันว่าเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ 6 และตัวส่วนเท่ากับ -0.5 ค้นหาพจน์ที่หนึ่ง สาม และสี่
ดังนั้นเราจึงได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่รู้จักกัน เทอมที่สองความก้าวหน้านี้:
ข 2 = 6
นอกจากนี้เรายังได้ทราบอีกด้วย ตัวส่วนความก้าวหน้า:
คิว = -0.5
และคุณจำเป็นต้องค้นหา ครั้งแรกที่สามและ ที่สี่สมาชิกของความก้าวหน้าครั้งนี้
ดังนั้นเราจึงดำเนินการ เราเขียนลำดับตามเงื่อนไขของปัญหา โดยตรงในรูปแบบทั่วไป โดยที่เทอมที่สองคือหก:
ข 1, 6,ข 3 , ข 4 , …
ตอนนี้เรามาเริ่มค้นหากันดีกว่า เราเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดเช่นเคย คุณสามารถคำนวณได้ เช่น เทอมที่สาม ข 3- สามารถ! คุณและฉันรู้อยู่แล้ว (ในความหมายโดยตรงของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) ว่าเทอมที่สาม (บี 3)มากกว่าวินาที (ข 2 ) วี "คิว"ครั้งหนึ่ง!
ดังนั้นเราจึงเขียน:
ข 3 =ข 2 · ถาม
เราแทนที่หกในนิพจน์นี้แทน ข 2และ -0.5 แทน ถามและเรานับ และเราก็ไม่ละเลยเครื่องหมายลบเช่นกัน แน่นอนว่า...
ข 3 = 6·(-0.5) = -3
แบบนี้. เทอมที่สามกลายเป็นลบ ไม่น่าแปลกใจเลย: ตัวส่วนของเรา ถาม- เชิงลบ. และแน่นอนว่าการคูณบวกด้วยลบจะเท่ากับลบ)
ตอนนี้เรานับระยะที่สี่ถัดไปของความก้าวหน้า:
ข 4 =ข 3 · ถาม
ข 4 = -3·(-0.5) = 1.5
เทอมที่สี่เป็นอีกครั้งพร้อมเครื่องหมายบวก เทอมที่ห้าจะเป็นลบอีกครั้ง เทอมที่หกจะเป็นบวก ไปเรื่อยๆ ป้ายสลับกัน!
จึงพบพจน์ที่สามและสี่ ผลลัพธ์จะเป็นลำดับต่อไปนี้:
ข 1 ; 6; -3; 1.5; -
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเทอมแรก ข 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ก้าวไปอีกทางหนึ่งไปทางซ้าย ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้เราไม่จำเป็นต้องคูณเทอมที่สองของความก้าวหน้าด้วยตัวส่วน แต่ แบ่ง.
เราแบ่งและรับ:
เพียงเท่านี้) คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้:
-12; 6; -3; 1,5; …
อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้ปัญหาจะเหมือนกับใน พวกเรารู้ ใดๆสมาชิกและ ตัวส่วนความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - เราสามารถหาสมาชิกอื่นๆ ของมันได้ เราจะหาอันที่เราต้องการ) ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการบวก/ลบจะถูกแทนที่ด้วยการคูณ/หาร
ข้อควรจำ: ถ้าเรารู้จักสมาชิกและตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างน้อยหนึ่งตัว เราก็จะสามารถหาสมาชิกคนอื่นของความก้าวหน้านี้ได้เสมอ
ตามธรรมเนียมแล้ว ปัญหาต่อไปนี้มาจาก OGE เวอร์ชันจริง:
2.
- 150; เอ็กซ์; 6; 1.2; -
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? คราวนี้ไม่มีเทอมแรก, ไม่มีตัวส่วน ถามก็แค่ให้ลำดับตัวเลขมา... บางอย่างที่คุ้นเคยอยู่แล้วใช่ไหม? ใช่! ปัญหาที่คล้ายกันได้รับการแก้ไขแล้วในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!
ดังนั้นเราจึงไม่กลัว เหมือนกันทั้งหมด. ลองเปิดใจและจดจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราดูลำดับของเราอย่างรอบคอบและหาว่าพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของทั้งสามค่าหลัก (เทอมแรก, ตัวส่วน, จำนวนเทอม) ซ่อนอยู่ในนั้น
หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขสมาชิกใช่... แต่มีสี่หมายเลข ติดต่อกันตัวเลข ฉันไม่เห็นประเด็นใดในการอธิบายว่าคำนี้หมายถึงอะไรในขั้นตอนนี้) มีสองคำในลำดับนี้หรือไม่? ตัวเลขใกล้เคียงที่รู้จัก?กิน! เหล่านี้คือ 6 และ 1.2 เราจึงสามารถหาได้ ตัวส่วนความก้าวหน้าเราก็เอาเลข 1.2 มาหาร ไปที่หมายเลขก่อนหน้าถึงหก.
เราได้รับ:
เราได้รับ:
x= 150·0.2 = 30
คำตอบ: x = 30 .
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างค่อนข้างง่าย ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณเท่านั้น เป็นเรื่องยากโดยเฉพาะในกรณีที่มีตัวส่วนเป็นลบและเศษส่วน ดังนั้นใครมีปัญหาก็ทวนเลขคณิต! วิธีทำงานกับเศษส่วน วิธีทำงานกับจำนวนลบ และอื่นๆ... ไม่เช่นนั้นคุณจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีที่นี่
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหากันเล็กน้อย ตอนนี้มันชักจะน่าสนใจแล้ว! ลองลบหมายเลขสุดท้าย 1.2 ออกจากมัน ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:
3. มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
- 150; เอ็กซ์; 6; -
ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x
ทุกอย่างเหมือนกันหมด มีเพียงสองอันที่อยู่ติดกัน มีชื่อเสียงเราไม่มีสมาชิกของความก้าวหน้าอีกต่อไป นี่คือปัญหาหลัก เพราะขนาด ถามเราสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายด้วยเงื่อนไขใกล้เคียงสองคำ เราทำไม่ได้เรามีโอกาสที่จะรับมือกับงานนี้หรือไม่? แน่นอน!
มาเขียนคำที่ไม่รู้จักกันเถอะ " x"โดยตรงในความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต! โดยทั่วไปแล้ว
ใช่ ๆ! ตรงกับตัวหารที่ไม่รู้จัก!
ในด้านหนึ่ง สำหรับ X เราสามารถเขียนอัตราส่วนได้ดังนี้:
x= 150·ถาม
ในทางกลับกัน เรามีสิทธิ์ทุกประการที่จะอธิบาย X เดียวกันนี้ผ่าน ต่อไปสมาชิกผ่านหก! หารหกด้วยตัวส่วน.
แบบนี้:
x = 6/ ถาม
แน่นอน ตอนนี้เราสามารถเทียบทั้งสองอัตราส่วนนี้ได้ เนื่องจากเรากำลังแสดงออก เหมือนขนาด (x) แต่สอง วิธีทางที่แตกต่าง.
เราได้รับสมการ:
คูณทุกอย่างด้วย ถามทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง เราได้สมการ:
q2 = 1/25
เราแก้ไขและรับ:
คิว = ±1/5 = ±0.2
อ๊ะ! ตัวส่วนกลายเป็นสองเท่า! +0.2 และ -0.2 และคุณควรเลือกอันไหน? ทางตัน?
เงียบสงบ! ใช่ ปัญหามีจริงๆ สองโซลูชั่น!ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ มันเกิดขึ้น) คุณไม่แปลกใจเลยที่ตัวอย่างเช่น คุณได้รับสองรากเมื่อแก้ไขปัญหาปกติ? เรื่องเดียวกันนี่..)
สำหรับ คิว = +0.2เราจะได้รับ:
X = 150 0.2 = 30
และสำหรับ ถาม = -0,2 จะ:
X = 150·(-0.2) = -30
เราได้รับคำตอบสองเท่า: x = 30; x = -30.
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจนี้หมายความว่าอย่างไร? และสิ่งที่มีอยู่ สองความก้าวหน้าตอบโจทย์เงื่อนไขของปัญหา!
เช่นเดียวกับสิ่งเหล่านี้:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
เหมาะสมทั้งสองอย่าง) คุณคิดว่าเหตุใดเราจึงแยกคำตอบกัน เพียงเพราะการกำจัดสมาชิกเฉพาะของความก้าวหน้า (1,2) ซึ่งมาหลังจากหกคน และเมื่อทราบเฉพาะเงื่อนไขก่อนหน้า (n-1)th และเงื่อนไขที่ตามมา (n+1)th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราก็ไม่สามารถพูดอะไรได้อย่างคลุมเครืออีกต่อไปเกี่ยวกับเทอมที่ n ที่อยู่ระหว่างพวกมัน มีสองตัวเลือก - มีบวกและลบ
แต่ไม่มีปัญหา ตามกฎแล้วในงานความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะมีข้อมูลเพิ่มเติมที่ให้คำตอบที่ชัดเจน สมมติว่าคำพูด: "ความก้าวหน้าแบบสลับกัน"หรือ "ก้าวหน้าด้วยตัวส่วนบวก"และอื่นๆ... คำเหล่านี้เองที่ควรใช้เป็นเบาะแสว่าควรเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบตัวใดในการเตรียมคำตอบสุดท้าย หากไม่มีข้อมูลดังกล่าว ก็ใช่ งานก็จะมี สองโซลูชั่น)
ตอนนี้เราตัดสินใจด้วยตัวเอง
4. พิจารณาว่าหมายเลข 20 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่:
4 ; 6; 9; …
5. ให้สัญญาณของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกัน:
…; 5; x ; 45; …
ค้นหาระยะของความก้าวหน้าที่ระบุโดยตัวอักษร x .
6. ค้นหาพจน์บวกที่สี่ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
625; -250; 100; …
7. เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ -360 และเทอมที่ห้าเท่ากับ 23.04 ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
คำตอบ (ผิดปกติ): -15; 900; เลขที่; 2.56.
ขอแสดงความยินดีถ้าทุกอย่างได้ผล!
มีบางอย่างไม่พอดีเหรอ? ที่ไหนสักแห่งมีคำตอบสองครั้ง? อ่านเงื่อนไขการมอบหมายงานอย่างละเอียด!
ปัญหาสุดท้ายไม่ได้ผล? ไม่มีอะไรซับซ้อน) เราทำงานโดยตรงตามความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คุณก็วาดภาพได้ มันช่วย.)
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา หากความก้าวหน้านั้นสั้น ถ้ามันยาวล่ะ? หรือจำนวนสมาชิกที่ต้องการมีมาก? โดยการเปรียบเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผมอยากให้ได้สูตรที่สะดวกซึ่งทำให้หาได้ง่าย ใดๆระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ตามหมายเลขของเขาโดยไม่ต้องคูณหลาย ๆ ครั้งด้วย ถาม- และมีสูตรดังนี้!) รายละเอียดอยู่ในบทต่อไป
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลข ซึ่งเทอมแรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะแสดงแทน b1,b2,b3, …, พันล้าน, … .
อัตราส่วนของเทอมใดๆ ของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตต่อเทอมก่อนหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน นั่นคือ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยตรง จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยปกติแล้วตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร q
ลำดับที่ซ้ำซากและต่อเนื่อง
วิธีหนึ่งในการระบุความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือระบุเทอมแรก b1 และตัวส่วนของค่าคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิต q ตัวอย่างเช่น b1=4, q=-2 เงื่อนไขทั้งสองนี้กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 4, -8, 16, -32, ….
ถ้า q>0 (q ไม่เท่ากับ 1) ความก้าวหน้าก็จะเป็น ลำดับที่ซ้ำซากจำเจตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 4,8,16,32, ... เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน (b1=2, q=2)
หากตัวส่วนของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตคือ q=1 เทอมทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากัน ในกรณีเช่นนี้พวกเขากล่าวว่าความก้าวหน้าคือ ลำดับคงที่
สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เพื่อให้ลำดับตัวเลข (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำเป็นที่สมาชิกแต่ละคนในลำดับตัวเลข (bn) จะต้องเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียง โดยเริ่มจากลำดับที่สอง นั่นคือจำเป็นต้องปฏิบัติตามสมการต่อไปนี้
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) สำหรับ n>0 ใดๆ โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N
สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:
bn=b1*q^(n-1)
โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N
สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีรูปแบบดังนี้
Sn = (bn*q - b1)/(q-1) โดยที่ q ไม่เท่ากับ 1
ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b1=6, q=3, n=8 จงหา Sn
ในการค้นหา S8 เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680
เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็สามารถบอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันแรกอันไหนเป็นอันที่สองและต่อ ๆ ไปจนถึงตัวสุดท้ายนั่นคือเราสามารถนับได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:
ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:
หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ
ตัวเลขที่มีตัวเลขนั้นเรียกว่าสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ
โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:
ในกรณีของเรา:
ประเภทความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.
เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องมีและประวัติของมัน
แม้แต่ในสมัยโบราณ พระภิกษุชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนัชชี) ก็ยังจัดการกับความต้องการทางการค้าในทางปฏิบัติ พระภิกษุต้องเผชิญกับภารกิจในการกำหนดน้ำหนักที่น้อยที่สุดที่สามารถนำมาใช้ชั่งน้ำหนักผลิตภัณฑ์ได้คือเท่าใด ในงานของเขา Fibonacci พิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวเหมาะสมที่สุด: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องรับมือกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินมาและอย่างน้อยก็มีความเข้าใจโดยทั่วไปแล้ว เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้ครบถ้วนแล้ว ให้ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด
ในปัจจุบันในทางปฏิบัติในชีวิตความก้าวหน้าทางเรขาคณิตปรากฏขึ้นเมื่อนำเงินไปลงทุนในธนาคารเมื่อมีการเพิ่มจำนวนดอกเบี้ยจากจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินเข้าธนาคารออมสิน หลังจากนั้นหนึ่งปี เงินฝากก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเดิม นั่นคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับเงินสมทบคูณด้วย ในอีกปีหนึ่งจำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นเช่น จำนวนที่ได้รับในขณะนั้นจะถูกคูณอีกครั้งไปเรื่อยๆ สถานการณ์ที่คล้ายกันอธิบายไว้ในปัญหาของการคำนวณสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น– เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาคำนวณในแต่ละครั้งจากจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง
มีกรณีง่ายๆ อีกหลายกรณีที่ใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่ คนหนึ่งทำให้อีกคนติดเชื้อ ในทางกลับกัน การติดเชื้อระลอกที่สองจึงเป็นบุคคลหนึ่ง และในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคน... และอื่นๆ.. .
อย่างไรก็ตาม ปิรามิดทางการเงินซึ่งมี MMM เดียวกันนั้นเป็นการคำนวณที่ง่ายและแห้งโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดดูสิ
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลข:
คุณจะตอบทันทีว่านี่เป็นเรื่องง่ายและชื่อของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่างของสมาชิก เป็นอย่างไรบ้าง:
หากคุณลบตัวเลขก่อนหน้าออกจากตัวเลขถัดไป คุณจะเห็นว่าแต่ละครั้งคุณจะได้รับผลต่างใหม่ (และอื่นๆ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่แน่นอนและสังเกตได้ง่าย - แต่ละตัวเลขที่ตามมาจะมีขนาดใหญ่กว่าตัวเลขก่อนหน้าหลายเท่า!
ลำดับตัวเลขประเภทนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและถูกกำหนดไว้
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ข้อจำกัดที่ว่าเทอมแรก ( ) ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมติว่าไม่มีเลย และเทอมแรกยังคงเท่ากัน และ q เท่ากับ อืม.. ปล่อยให้มันเป็นไป ปรากฎว่า:
ยอมรับว่านี่ไม่ใช่ความก้าวหน้าอีกต่อไป
ตามที่คุณเข้าใจ เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ a ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้า เนื่องจากชุดตัวเลขทั้งหมดจะเป็นศูนย์ทั้งหมดหรือตัวเลขเดียว และส่วนที่เหลือทั้งหมดจะเป็นศูนย์
ทีนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นั่นก็คือ o
ทำซ้ำ: - นี่คือตัวเลข แต่ละเทอมต่อมาจะเปลี่ยนแปลงกี่ครั้ง?ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คุณคิดว่ามันจะเป็นอย่างไร? ถูกต้อง ทั้งเชิงบวกและเชิงลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้สูงกว่านี้เล็กน้อย)
สมมติว่าของเราเป็นบวก ให้ในกรณีของเราก. เทอมที่สองมีมูลค่าเท่าใด และ? คุณสามารถตอบได้ง่ายๆ ว่า:
ถูกตัอง. ดังนั้นหากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก.
เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นลบ? ตัวอย่างเช่น ก. เทอมที่สองมีมูลค่าเท่าใด และ?
นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
พยายามนับเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้น หากสัญญาณของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือ หากคุณเห็นความก้าวหน้าโดยมีสัญลักษณ์สลับกันสำหรับสมาชิก ตัวส่วนจะเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้
ทีนี้มาฝึกกันหน่อย: ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและลำดับใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
- ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต – 3, 6.
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ – 2, 4
- ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตหรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 1, 5, 7
กลับไปที่ความก้าวหน้าครั้งล่าสุดของเราแล้วลองค้นหาคำศัพท์แบบเดียวกับในเลขคณิต ดังที่คุณอาจเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา
เราคูณแต่ละเทอมอย่างต่อเนื่องด้วย
ดังนั้น เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ
ดังที่คุณเดาไว้แล้ว ตอนนี้คุณจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณได้พัฒนาเองแล้วโดยอธิบายวิธีการหาสมาชิกทีละขั้นตอน? หากเป็นเช่นนั้น ให้ตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลของคุณ
ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างการค้นหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้านี้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
หาค่าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยตัวเอง
เกิดขึ้น? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราคูณตามลำดับด้วยแต่ละเทอมก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:
สูตรที่ได้รับนั้นเป็นจริงสำหรับทุกค่า - ทั้งบวกและลบ ตรวจสอบด้วยตัวเองโดยการคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: , a.
คุณนับไหม? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:
ยอมรับว่าเป็นไปได้ที่จะหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณไม่ถูกต้อง และถ้าเราพบเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว จะมีอะไรง่ายกว่าการใช้ส่วนที่ "ถูกตัดทอน" ของสูตร
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด
เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับความจริงที่ว่ามันสามารถเป็นได้ทั้งมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตามมีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด.
ทำไมคุณถึงคิดว่าได้รับชื่อนี้?
ก่อนอื่น ลองเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยคำศัพท์กันก่อน
สมมติว่า:
เราเห็นว่าแต่ละเทอมต่อๆ มามีค่าน้อยกว่าเทอมก่อนหน้าด้วยตัวประกอบ แต่จะมีตัวเลขไหม? คุณจะตอบทันทีว่า “ไม่” นั่นคือสาเหตุที่มันลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - มันลดลงเรื่อยๆ แต่ไม่เคยกลายเป็นศูนย์เลย
เพื่อให้เข้าใจได้อย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร เรามาลองวาดกราฟความก้าวหน้าของเรากัน ดังนั้น ในกรณีของเรา สูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
บนกราฟเราคุ้นเคยกับการวางแผนการพึ่งพาดังนั้น:
แก่นแท้ของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง: ในรายการแรกเราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเลขลำดับของมัน และในรายการที่สอง เราเพียงแต่เอาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น และกำหนดเลขลำดับให้ไม่ใช่เป็น แต่เป็น สิ่งที่ต้องทำคือสร้างกราฟ
ให้ดูสิ่งที่คุณได้. นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:
คุณเห็นไหม? ฟังก์ชันลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยข้ามฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในเวลาเดียวกันว่าพิกัดและหมายถึงอะไร:
พยายามแสดงกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเชิงแผนผังหากเทอมแรกเท่ากัน วิเคราะห์ความแตกต่างกับกราฟก่อนหน้าของเราคืออะไร?
คุณจัดการหรือไม่? นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:
เมื่อคุณเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีหาคำศัพท์ และคุณรู้ด้วยว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาดูคุณสมบัติหลักของมันกันดีกว่า
คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คุณจำคุณสมบัติของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่? ใช่ ใช่ จะค้นหามูลค่าของความก้าวหน้าจำนวนหนึ่งได้อย่างไรเมื่อมีค่าก่อนหน้าและค่าที่ตามมาของข้อกำหนดของความก้าวหน้านี้ คุณจำได้ไหม? นี้:
ตอนนี้เราต้องเผชิญกับคำถามเดียวกันทุกประการเกี่ยวกับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรมาเริ่มวาดและหาเหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถเอามันออกมาได้ด้วยตัวเอง
ลองใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตง่ายๆ อีกอันที่เรารู้และ จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันง่ายและไม่ซับซ้อน แต่แล้วที่นี่ล่ะ? ในความเป็นจริงก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในเรขาคณิตเช่นกัน - คุณเพียงแค่ต้องเขียนแต่ละค่าที่มอบให้เราตามสูตร
คุณอาจถามว่าเราควรทำอย่างไรกับเรื่องนี้ตอนนี้? ใช่ ง่ายมาก ขั้นแรก เรามาอธิบายสูตรเหล่านี้ในรูปภาพแล้วลองดำเนินการต่างๆ เพื่อให้ได้ค่า
เรามาสรุปจากตัวเลขที่ให้มากันดีกว่า เน้นเฉพาะการแสดงออกผ่านสูตรเท่านั้น เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่เน้นด้วยสีส้ม โดยรู้คำศัพท์ที่อยู่ติดกัน เรามาลองดำเนินการต่าง ๆ กับพวกเขาซึ่งเป็นผลมาจากสิ่งที่เราจะได้
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มสองนิพจน์แล้วเราจะได้:
อย่างที่คุณเห็นจากนิพจน์นี้ เราไม่สามารถแสดงออกมาได้ในทางใดทางหนึ่ง ดังนั้นเราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ
การลบ
อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงสิ่งนี้ได้เช่นกัน ดังนั้นลองคูณนิพจน์เหล่านี้ด้วยกัน
การคูณ
ทีนี้ลองดูสิ่งที่เรามีอย่างละเอียดโดยการคูณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มอบให้เราโดยเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องค้นหา:
เดาสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึง? อย่างถูกต้อง เพื่อค้นหาเราจำเป็นต้องหารากที่สองของจำนวนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณกัน:
เอาล่ะ. ตัวคุณเองได้รับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองเขียนสูตรนี้ในรูปแบบทั่วไป เกิดขึ้น?
ลืมเงื่อนไขเพื่อ? ลองคิดดูว่าเหตุใดจึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเอง จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้องไร้สาระเพราะสูตรมีลักษณะดังนี้:
ดังนั้นอย่าลืมข้อจำกัดนี้
ทีนี้ลองคำนวณดูว่ามันเท่ากับอะไร
คำตอบที่ถูกต้อง - ! หากคุณไม่ลืมค่าที่เป็นไปได้ที่สองในระหว่างการคำนวณ แสดงว่าคุณเก่งมากและสามารถเข้าสู่การฝึกได้ทันที และหากคุณลืม ให้อ่านสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่าง และให้ความสนใจว่าเหตุใดจึงต้องเขียนรากทั้งสองลงใน คำตอบ.
ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของเราทั้งคู่ - อันหนึ่งมีค่าและอีกอันมีค่าแล้วตรวจสอบว่าทั้งคู่มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่หรือไม่:
เพื่อที่จะตรวจสอบว่ามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าเงื่อนไขที่ให้มาทั้งหมดเหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีที่หนึ่งและสอง
ดูว่าทำไมเราต้องเขียนสองคำตอบ? เพราะสัญลักษณ์ของคำที่คุณกำลังมองหานั้นขึ้นอยู่กับว่ามันเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ
ตอนนี้คุณได้เข้าใจประเด็นหลักและได้รับสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว การค้นหา การรู้ และ
เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง:
คุณคิดอย่างไรจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ได้รับค่าของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่อยู่ห่างจากมันเท่ากัน ตัวอย่างเช่นเราจำเป็นต้องค้นหาและให้และ เราสามารถใช้สูตรที่เราได้มาในกรณีนี้ได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือหักล้างความเป็นไปได้นี้ในลักษณะเดียวกัน โดยอธิบายว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง เหมือนที่คุณทำเมื่อได้รับสูตรตั้งแต่แรก
คุณได้อะไร?
ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวังอีกครั้ง
และตามลำดับ:
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้งานได้ ไม่ใช่แค่กับเพื่อนบ้านเท่านั้นด้วยเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ก็ด้วย ระยะเท่ากันจากสิ่งที่สมาชิกตามหา
ดังนั้น สูตรเริ่มต้นของเราจึงอยู่ในรูปแบบ:
นั่นคือ หากในกรณีแรกเราพูดอย่างนั้น ตอนนี้เราบอกว่ามันสามารถเท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่น้อยกว่าได้ สิ่งสำคัญคือตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจะเหมือนกัน
ฝึกฝนโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เพียงใช้ความระมัดระวังอย่างยิ่ง!
- - หา.
- - หา.
- - หา.
ตัดสินใจแล้ว? ฉันหวังว่าคุณจะเอาใจใส่เป็นอย่างยิ่งและสังเกตเห็นจุดเล็กๆ น้อยๆ
ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์กัน
ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรข้างต้นอย่างใจเย็นและรับค่าต่อไปนี้:
ในกรณีที่สาม เมื่อเราตรวจสอบซีเรียลนัมเบอร์ของตัวเลขที่ให้มาอย่างละเอียดแล้ว เราก็เข้าใจว่าตัวเลขเหล่านั้นไม่ได้อยู่ห่างจากตัวเลขที่เรากำลังมองหาอยู่ไม่เท่ากัน มันเป็นตัวเลขก่อนหน้า แต่ถูกลบออก ณ ตำแหน่งหนึ่ง จึงเป็นเช่นนั้น ไม่สามารถใช้สูตรได้
วิธีแก้ปัญหา? จริงๆแล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! ให้เราเขียนว่าแต่ละหมายเลขที่ให้มาคืออะไรและหมายเลขที่เรากำลังมองหาประกอบด้วย
ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราสามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? ผมเสนอให้แบ่งตาม.. เราได้รับ:
เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:
ขั้นตอนต่อไปที่เราหาได้คือ - สำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องหารากที่สามของจำนวนผลลัพธ์
ทีนี้ลองดูอีกครั้งว่าเรามีอะไรบ้าง เรามีมัน แต่เราต้องค้นหามันให้เจอ และมันก็เท่ากับ:
เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนลงในสูตร:
คำตอบของเรา: .
ลองแก้ไขปัญหาอื่นที่คล้ายกันด้วยตัวเอง:
ที่ให้ไว้: ,
หา:
คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .
อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วคุณต้องการ จำเพียงสูตรเดียว- คุณสามารถถอนส่วนที่เหลือทั้งหมดได้ด้วยตัวเองโดยไม่ยากเมื่อใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ เพียงเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วจดว่าตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากับเท่าใดตามสูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตอนนี้เรามาดูสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้อย่างรวดเร็วในช่วงเวลาที่กำหนด:
หากต้องการหาสูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด ให้คูณทุกส่วนของสมการข้างต้นด้วย เราได้รับ:
ดูให้ดี: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้อง สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย ลองลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 กัน คุณได้อะไร?
ตอนนี้แสดงเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตผ่านสูตรและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสูตรสุดท้ายของเรา:
จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:
สิ่งที่ต้องทำคือแสดง:
ดังนั้นในกรณีนี้
จะเกิดอะไรขึ้นถ้า? แล้วสูตรไหนได้ผลล่ะ? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอชอบอะไร? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันนั้นถูกต้อง ดังนั้นสูตรจึงมีลักษณะดังนี้:
มีตำนานมากมายเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต หนึ่งในนั้นคือตำนานของเซตผู้สร้างหมากรุก
หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกประดิษฐ์ขึ้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูได้พบกับเธอ เขาก็รู้สึกยินดีกับความเฉลียวฉลาดของเธอและท่าทางที่หลากหลายในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยอาสาสมัครคนหนึ่งของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาเองและสั่งให้เขาขอทุกสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะตอบสนองแม้แต่ความปรารถนาที่เก่งที่สุด
Seta ขอเวลาคิด และเมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวต่อหน้ากษัตริย์ เขาก็ทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยความสุภาพเรียบร้อยในคำขอของเขาอย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน เขาขอให้มอบเมล็ดข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับกระดานหมากรุกตัวแรก, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สอง, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สาม, อันที่สี่, ฯลฯ
กษัตริย์โกรธและขับไล่เซธออกไป โดยบอกว่าคำขอของคนรับใช้นั้นไม่คู่ควรกับความมีน้ำใจของกษัตริย์ แต่สัญญาว่าจะรับธัญพืชของเขาสำหรับสี่เหลี่ยมทั้งหมดของกระดาน
และตอนนี้คำถาม: การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณว่า Seth ควรได้รับเมล็ดจำนวนเท่าใด
มาเริ่มใช้เหตุผลกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข เซธขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับสี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สี่เหลี่ยมที่สอง ที่สาม สี่ เป็นต้น จากนั้นเราจะเห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้จะเท่ากับอะไร?
ขวา.
สี่เหลี่ยมรวมของกระดานหมากรุก ตามลำดับ, . เรามีข้อมูลทั้งหมด เหลือเพียงเสียบเข้ากับสูตรและคำนวณ
หากต้องการจินตนาการอย่างน้อยประมาณ "สเกล" ของจำนวนที่กำหนด เราจะแปลงโดยใช้คุณสมบัติของดีกรี:
แน่นอน หากคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะได้จำนวนเท่าใด และหากไม่เป็นเช่นนั้น คุณจะต้องเชื่อคำพูดของฉัน: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็น
นั่นคือ:
ล้านล้านสี่ล้านล้านล้านล้านล้านล้าน
วุ้ย) หากคุณต้องการจินตนาการถึงความใหญ่โตของตัวเลขนี้ ให้ประมาณว่าโรงนาจะต้องใหญ่แค่ไหนเพื่อรองรับเมล็ดพืชทั้งหมดได้
หากโรงนามีความสูง ม. และกว้าง ม. ความยาวจะต้องขยายออกไปอีกเป็นกม. กล่าวคือ ไกลจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองเท่า
หากพระราชามีวิชาคณิตศาสตร์ที่เข้มแข็ง พระองค์สามารถเชิญนักวิทยาศาสตร์มานับเมล็ดข้าวได้ เพราะในการนับเมล็ดข้าวหนึ่งล้านเมล็ด พระองค์ทรงต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่เหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับล้านล้านเมล็ด จะต้องนับตลอดชีวิต
ทีนี้มาแก้ปัญหาง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
นักเรียนห้อง 5A วาสยา ป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ แต่ยังไปโรงเรียนต่อไป ทุกๆ วัน วาสยาทำให้คนสองคนติดเชื้อ และในทางกลับกัน ก็ทำให้คนติดเชื้อเพิ่มอีกสองคน และอื่นๆ มีเพียงคนในชั้นเรียนเท่านั้น ทั้งชั้นจะป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ภายในกี่วัน?
ดังนั้นระยะแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือวาสยานั่นคือบุคคล ระยะที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่มาถึง ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้นเราจึงพูดถึงความก้าวหน้าซึ่ง:
ลองแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรเพื่อหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ทั้งชั้นจะป่วยภายในไม่กี่วัน ไม่เชื่อสูตรและตัวเลขเหรอ? พยายามพรรณนาถึง "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวเอง เกิดขึ้น? ดูว่ามันมีลักษณะอย่างไรสำหรับฉัน:
คำนวณด้วยตัวเองว่าจะใช้เวลากี่วันก่อนที่นักเรียนจะป่วยด้วยไข้หวัดใหญ่หากแต่ละคนติดเชื้อ และมีคนในชั้นเรียนเพียงคนเดียว
คุณได้รับคุณค่าอะไร? ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน
อย่างที่คุณเห็นงานดังกล่าวและการวาดภาพนั้นมีลักษณะคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละงานจะ "นำ" ผู้คนใหม่มา อย่างไรก็ตาม ไม่ช้าก็เร็ว เมื่อสิ่งหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา ถ้าเราจินตนาการว่าคลาสถูกแยกออกจากกัน บุคคลนั้นจะปิดเชน () ดังนั้นหากบุคคลหนึ่งมีส่วนร่วมในปิรามิดทางการเงินซึ่งมีการให้เงินหากคุณพาผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือโดยทั่วไป) จะไม่พาใครมาด้วย ดังนั้นจะสูญเสียทุกสิ่งที่พวกเขาลงทุนในการหลอกลวงทางการเงินนี้
ทุกสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามีประเภทพิเศษ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีลักษณะเฉพาะบางประการ? ลองคิดออกด้วยกัน
ก่อนอื่น เรามาดูภาพวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเราอีกครั้ง:
ตอนนี้เรามาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้มาจากก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ
เรามุ่งมั่นเพื่ออะไร? ถูกต้องแล้ว กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือที่จะเกือบเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราจะได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้สามารถละเลยได้ เนื่องจากมันจะเท่ากัน
- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราต้องค้นหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก
หากมีการระบุตัวเลข n ไว้ เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์ แม้ว่า หรือ ก็ตาม
ตอนนี้เรามาฝึกกัน
- ค้นหาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย และ
- จงหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ
ฉันหวังว่าคุณจะระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และถึงเวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติ ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุดที่พบในการสอบคือปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่เราจะพูดถึง
ปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น
คุณคงเคยได้ยินชื่อที่เรียกว่าสูตรดอกเบี้ยทบต้น คุณเข้าใจความหมายหรือไม่? ถ้าไม่ ลองมาคิดกันดู เพราะเมื่อคุณเข้าใจกระบวนการแล้ว คุณจะเข้าใจได้ทันทีว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับมันอย่างไร
เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามีเงื่อนไขสำหรับการฝากเงินที่แตกต่างกัน: นี่คือเงื่อนไขและบริการเพิ่มเติม และดอกเบี้ยด้วยวิธีการคำนวณสองวิธีที่แตกต่างกัน - ง่ายและซับซ้อน
กับ ดอกเบี้ยง่ายๆทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: ดอกเบี้ยจะเกิดขึ้นหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาฝาก นั่นคือถ้าเราบอกว่าเราฝากเงิน 100 รูเบิลเป็นเวลาหนึ่งปี พวกเขาจะได้รับเครดิตในช่วงปลายปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงินเราจะได้รับรูเบิล
ดอกเบี้ยทบต้น- นี่คือตัวเลือกที่มันเกิดขึ้น การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน, เช่น. นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ในภายหลังไม่ใช่จากเริ่มต้น แต่จากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีความถี่อยู่บ้าง ตามกฎแล้ว ระยะเวลาดังกล่าวจะเท่ากัน และส่วนใหญ่ธนาคารมักใช้เดือน ไตรมาส หรือปี
สมมติว่าเราฝากเงินรูเบิลเท่ากันทุกปี แต่ใช้มูลค่าเงินฝากเป็นรายเดือน เรากำลังทำอะไรอยู่?
คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ลองคิดดูทีละขั้นตอน
เรานำรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือน เราควรมีจำนวนเงินในบัญชีของเราซึ่งประกอบด้วยรูเบิลของเราพร้อมดอกเบี้ยนั่นคือ:
เห็นด้วย?
เราสามารถเอามันออกจากวงเล็บ แล้วเราจะได้:
เห็นด้วยสูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นมากกว่าแล้ว ที่เหลือก็แค่หาเปอร์เซ็นต์
ในคำชี้แจงปัญหา เราจะแจ้งเกี่ยวกับอัตรารายปี ดังที่คุณทราบ เราไม่ได้คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนทศนิยม นั่นคือ:
ขวา? ตอนนี้คุณอาจถามว่าตัวเลขมาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: คำแถลงปัญหาพูดถึง ประจำปีดอกเบี้ยที่เกิดขึ้น รายเดือน- ดังที่คุณทราบ ในหนึ่งปีของเดือน ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยรายปีส่วนหนึ่งต่อเดือนจากเรา:
เข้าใจไหม? ทีนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าคำนวณดอกเบี้ยรายวัน
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:
ทำได้ดี! กลับไปที่งานของเรา: เขียนจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สองโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นจากจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:
หรืออีกนัยหนึ่ง:
ฉันคิดว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบหนึ่งแล้วและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเรื่องทั้งหมดนี้ เขียนว่าสมาชิกจะเท่ากับเท่าใด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเราจะได้รับเงินจำนวนเท่าใดเมื่อสิ้นเดือน
ทำ? มาตรวจสอบกัน!
อย่างที่คุณเห็น หากคุณฝากเงินในธนาคารด้วยอัตราดอกเบี้ยธรรมดาเป็นเวลาหนึ่งปี คุณจะได้รับรูเบิล และหากใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้น คุณจะได้รับรูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงปีนั้นเท่านั้น แต่สำหรับระยะเวลาที่นานกว่านั้น การลงทุนจะทำกำไรได้มากกว่ามาก:
ลองดูปัญหาอีกประเภทหนึ่งเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น หลังจากสิ่งที่คุณคิดได้แล้วมันจะเป็นเรื่องพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นภารกิจ:
บริษัท Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2000 ด้วยทุนเป็นดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท Zvezda จะได้รับกำไรเท่าใด ณ สิ้นปี 2546 หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน
เมืองหลวงของบริษัท Zvezda ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2546
หรือเราจะเขียนสั้นๆ ว่า:
สำหรับกรณีของเรา:
พ.ศ. 2543, 2544, 2545 และ 2546
ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารโดยหรือตาม เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับเป็นรายปีและมีการคำนวณเป็นรายปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและคำนวณในช่วงเวลาใดจากนั้นจึงทำการคำนวณต่อ
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว
การฝึกอบรม.
- ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากทราบแล้ว และ
- หาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถ้าทราบ และ
- บริษัท MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2546 โดยมีทุนเป็นสกุลเงินดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2547 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท MSK Cash Flows เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2548 ด้วยมูลค่า 10,000 ดอลลาร์ เริ่มทำกำไรในปี 2549 ด้วยจำนวนเงิน เงินทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าอีกบริษัทหนึ่ง ณ สิ้นปี 2550 กี่ดอลลาร์หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน?
คำตอบ:
- เนื่องจากคำแถลงปัญหาไม่ได้บอกว่าความก้าวหน้านั้นไม่มีที่สิ้นสุดและจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่ระบุ การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
บริษัท เอ็มดีเอ็ม แคปปิตอล:2546, 2547, 2548, 2549, 2550.
- เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 เท่า
ตามลำดับ:
รูเบิล
บริษัท MSK กระแสเงินสด:2548, 2549, 2550.
- เพิ่มขึ้นทีละครั้ง
ตามลำดับ:
รูเบิล
รูเบิล
มาสรุปกัน
1) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
2) สมการของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ
3) สามารถรับค่าใดก็ได้ยกเว้นและ
- ถ้าเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก;
- ถ้าแล้วเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณทางเลือก;
- เมื่อใด – ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
4) ที่ – คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (เงื่อนไขที่อยู่ติดกัน)
หรือ
, ที่ (เงื่อนไขระยะเท่ากัน)
เมื่อพบแล้วอย่าลืมว่า ควรมีสองคำตอบ.
ตัวอย่างเช่น,
5) ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ
หรือ
สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเทอมที่มีจำนวนอนันต์
6) ปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่าเงินทุนไม่ได้ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน:
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต( ) เป็นลำดับตัวเลข โดยเทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน เบอร์นี้มีชื่อว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถใช้ค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น และ
- หากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - ถือว่าเป็นค่าบวก
- ถ้า จากนั้นสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้าจะสลับสัญญาณกัน
- เมื่อใด – ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
สมการของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .
ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ
หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น:
มาเป็นนักเรียน YouClever
เตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State หรือการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
และยังเข้าถึงหนังสือเรียน YouClever ได้โดยไม่มีข้อจำกัด...