วิธีหาค่าที่ใหญ่ที่สุด สุดขีดของฟังก์ชัน

มาดูวิธีการตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้กราฟกัน ปรากฎว่าเมื่อดูกราฟเราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจได้ กล่าวคือ:

โดเมนของฟังก์ชัน
ช่วงฟังก์ชัน
ฟังก์ชันศูนย์
ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง
คะแนนสูงสุดและต่ำสุด
ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

มาชี้แจงคำศัพท์กัน:

แอบซิสซาคือพิกัดแนวนอนของจุด
บวช- พิกัดแนวตั้ง
แกนแอบซิสซา- แกนนอนส่วนใหญ่มักเรียกว่าแกน
แกน Y- แกนตั้งหรือแกน

การโต้แย้ง- ตัวแปรอิสระที่ค่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ ส่วนใหญ่มักระบุ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเลือก แทนที่ฟังก์ชันลงในสูตรและรับ

โดเมนฟังก์ชั่น - ชุดของค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านั้น (และเฉพาะเหล่านั้น) ที่มีฟังก์ชันอยู่
ระบุโดย: หรือ .

ในรูปของเรา โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซ็กเมนต์ อยู่ในส่วนนี้ที่วาดกราฟของฟังก์ชัน นี่เป็นที่เดียวที่มีฟังก์ชันนี้อยู่

ช่วงฟังก์ชันคือชุดของค่าที่ตัวแปรรับ ในรูปของเรา นี่คือส่วน - จากค่าต่ำสุดไปจนถึงค่าสูงสุด

ฟังก์ชันศูนย์- จุดที่ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์นั่นคือ ในรูปของเรานี่คือจุด และ .

ค่าฟังก์ชันเป็นบวกที่ไหน . ในรูปของเรานี่คือช่วงเวลา และ
ค่าฟังก์ชันเป็นลบที่ไหน . สำหรับเรานี่คือช่วงเวลา (หรือช่วงเวลา) จากถึง

แนวคิดที่สำคัญที่สุด - ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลดในบางชุด เมื่อรวมกันเป็นเซต คุณสามารถใช้เซกเมนต์ ช่วงเวลา การรวมกันของช่วงเวลา หรือเส้นจำนวนทั้งหมด

การทำงาน เพิ่มขึ้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งมาก ยิ่งมากขึ้น นั่นคือกราฟจะไปทางขวาและขึ้น

การทำงาน ลดลงบนเซต ถ้ามีค่าใดค่าหนึ่งและเป็นของเซต ความไม่เท่าเทียมกันจะบ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกัน

สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง ค่าที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลง กราฟไปทางขวาและลง

ในรูปของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา และลดลงตามช่วงเวลา และ

มากำหนดกันว่ามันคืออะไร จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

จุดสูงสุด- นี่คือจุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยที่ค่าของฟังก์ชันในนั้นมากกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดสูงสุดคือจุดที่ค่าของฟังก์ชัน มากกว่ากว่าในบริเวณใกล้เคียง นี่คือ "เนินเขา" ในท้องถิ่นในแผนภูมิ

ในรูปของเรามีจุดสูงสุด

จุดต่ำสุด- จุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความ โดยค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้มันอย่างเพียงพอ
นั่นคือจุดต่ำสุดคือค่าของฟังก์ชันในนั้นน้อยกว่าเพื่อนบ้าน นี่คือ "รู" ในพื้นที่บนกราฟ

ในรูปของเรามีจุดต่ำสุด

ประเด็นคือขอบเขต ไม่ใช่จุดภายในของขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่เหมาะสมกับคำจำกัดความของจุดสูงสุด ท้ายที่สุดเธอไม่มีเพื่อนบ้านทางด้านซ้าย ในทำนองเดียวกัน บนกราฟของเราไม่สามารถมีจุดต่ำสุดได้

เรียกว่าคะแนนสูงสุดและต่ำสุดรวมกัน จุดปลายสุดของฟังก์ชัน- ในกรณีของเรานี่คือ และ

จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาเช่น ฟังก์ชั่นขั้นต่ำในส่วนนี้เหรอ? ในกรณีนี้คำตอบคือ: . เพราะ ฟังก์ชั่นขั้นต่ำคือมูลค่าของมันที่จุดต่ำสุด

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชั่นสูงสุดของเราคือ . ก็ถึงจุดนั้นแล้ว

เราสามารถพูดได้ว่าสุดขั้วของฟังก์ชันเท่ากับ และ .

บางครั้งปัญหาก็ต้องค้นหา ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องตรงกับความสุดขั้วเสมอไป

ในกรณีของเรา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุดบนเซ็กเมนต์จะเท่ากับและเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันขั้นต่ำ แต่มูลค่าสูงสุดในส่วนนี้คือเท่ากับ ไปถึงที่ด้านซ้ายสุดของส่วน

ไม่ว่าในกรณีใด ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์จะเกิดขึ้นที่จุดปลายสุดหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อนุพันธ์เพื่อคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน เราทำการดำเนินการนี้เมื่อเราทราบวิธีลดต้นทุน เพิ่มผลกำไร คำนวณภาระการผลิตที่เหมาะสมที่สุด ฯลฯ นั่นคือในกรณีที่เราต้องกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์ ในการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคืออะไร

โดยปกติแล้วเราจะกำหนดค่าเหล่านี้ภายในช่วงเวลา x ซึ่งอาจสอดคล้องกับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือบางส่วน มันอาจเป็นเหมือนส่วน [a; b ] และช่วงเวลาเปิด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) หรือช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

ในเนื้อหานี้ เราจะบอกวิธีคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) y = f (x) .

คำจำกัดความพื้นฐาน

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐานเช่นเคย

คำจำกัดความ 1

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วง x คือค่า m a x y = f (x 0) x ∈ X ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≤ ฉ (x) ถูกต้อง 0) .

คำจำกัดความ 2

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง x คือค่า m i n x ∈ X y = f (x 0) ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f(X f (x) ≥ ฉ (x 0) .

คำจำกัดความเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน ที่ง่ายกว่านั้น เราสามารถพูดได้ว่า: ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดในช่วงเวลาที่ทราบที่ abscissa x 0 และค่าที่น้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดที่ยอมรับในช่วงเวลาเดียวกันที่ x 0

คำจำกัดความ 3

จุดคงที่คือค่าเหล่านั้นของการโต้แย้งของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันกลายเป็น 0

ทำไมเราต้องรู้ว่าจุดคงที่คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากนั้นจุดที่อยู่นิ่งคือจุดที่ปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์อยู่ (เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดในพื้นที่) ดังนั้นฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดในช่วงเวลาหนึ่งอย่างแม่นยำที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่ง

ฟังก์ชันยังสามารถรับค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ณ จุดที่กำหนดฟังก์ชันนั้นเอง และไม่มีอนุพันธ์ลำดับแรกอยู่

คำถามแรกที่เกิดขึ้นเมื่อศึกษาหัวข้อนี้: ในทุกกรณีเราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนดได้หรือไม่? ไม่ เราไม่สามารถทำเช่นนี้ได้เมื่อขอบเขตของช่วงที่กำหนดตรงกับขอบเขตของพื้นที่นิยาม หรือถ้าเรากำลังเผชิญกับช่วงอนันต์ นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดหรือที่อนันต์จะใช้ค่าที่น้อยหรือใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดได้

จุดเหล่านี้จะชัดเจนขึ้นหลังจากแสดงบนกราฟ:

รูปแรกแสดงให้เราเห็นฟังก์ชันที่รับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (m a x y และ m i n y) ที่จุดที่นิ่งซึ่งอยู่บนส่วน [ - 6 ; 6].

ให้เราตรวจสอบรายละเอียดกรณีที่ระบุไว้ในกราฟที่สอง มาเปลี่ยนค่าของเซ็กเมนต์เป็น [ 1 ; 6 ] และเราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะได้ที่จุดโดยมี abscissa ที่ขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาและค่าต่ำสุด - ที่จุดที่นิ่ง

ในรูปที่สาม ฝีของจุดแสดงถึงจุดขอบเขตของส่วน [ - 3 ; 2]. สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูภาพที่สี่กัน ในนั้นฟังก์ชันจะใช้ m a x y (ค่าที่ใหญ่ที่สุด) และ m i n y (ค่าที่น้อยที่สุด) ที่จุดคงที่ในช่วงเวลาเปิด (- 6; 6)

หากเราใช้ช่วงเวลา [ 1 ; 6) จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนนั้นจะบรรลุที่จุดที่นิ่ง เราจะไม่รู้จักคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ฟังก์ชันสามารถรับค่าสูงสุดที่ x เท่ากับ 6 ถ้า x = 6 อยู่ในช่วงเวลา นี่เป็นกรณีที่แสดงในกราฟที่ 5

ในกราฟที่ 6 ฟังก์ชันนี้รับค่าที่น้อยที่สุดที่ขอบเขตด้านขวาของช่วง (- 3; 2 ] และเราไม่สามารถสรุปผลที่แน่ชัดเกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดได้

ในรูปที่ 7 เราจะเห็นว่าฟังก์ชันจะมีค่า m x y ที่จุดที่อยู่กับที่โดยมีจุด Abscissa เท่ากับ 1 ฟังก์ชันจะถึงค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของช่วงเวลาทางด้านขวา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ

หากเราใช้ช่วงเวลา x ∈ 2 ; + ∞ จากนั้นเราจะเห็นว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะไม่ใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด หาก x มีแนวโน้มเป็น 2 ค่าของฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์เนื่องจากเส้นตรง x = 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้า abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ นี่เป็นกรณีที่แสดงในรูปที่ 8

ในย่อหน้านี้ เราจะนำเสนอลำดับของการกระทำที่ต้องทำเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์หนึ่งๆ

ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน เรามาตรวจสอบว่ากลุ่มที่ระบุในเงื่อนไขรวมอยู่ในนั้นหรือไม่
ทีนี้ลองคำนวณคะแนนที่มีอยู่ในส่วนนี้ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ตัวแรกอยู่ ส่วนใหญ่มักพบได้ในฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์เขียนไว้ใต้เครื่องหมายโมดูลัส หรือในฟังก์ชันยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วน
ต่อไปเราจะค้นหาว่าจุดใดจะอยู่นิ่งในส่วนที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากนั้นจัดให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ จากนั้นเลือกรากที่เหมาะสม หากเราไม่ได้รับจุดคงที่เพียงจุดเดียวหรือไม่ตกอยู่ในส่วนที่กำหนด เราก็ไปยังขั้นตอนต่อไป
เรากำหนดว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าใด ณ จุดคงที่ที่กำหนด (ถ้ามี) หรือ ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) หรือเราคำนวณค่าสำหรับ x = a และ x = ข
5. เรามีค่าฟังก์ชันจำนวนหนึ่ง ซึ่งตอนนี้เราต้องเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่เราต้องค้นหา

เรามาดูวิธีการใช้อัลกอริทึมนี้อย่างถูกต้องเมื่อแก้ไขปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ให้ฟังก์ชัน y = x 3 + 4 x 2 กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

สารละลาย:

เริ่มต้นด้วยการหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ มันจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + . ทั้งสองส่วนที่ระบุในเงื่อนไขจะอยู่ภายในพื้นที่คำจำกัดความ

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามกฎการแยกเศษส่วน:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

เราได้เรียนรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชัน ลองทำโดยใช้สมการ x 3 - 8 x 3 = 0 มีรากจริงเพียงรากเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ 2 มันจะเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันและจะตกอยู่ในส่วนแรก [1; 4 ] .

ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนแรกและ ณ จุดนี้ นั่นคือ สำหรับ x = 1, x = 2 และ x = 4:

ปี (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 ปี (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 ปี (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

เราพบว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 จะได้ที่ x = 1 และค่า m i n y x ∈ ที่เล็กที่สุด [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ที่ x = 2

ส่วนที่สองไม่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนที่กำหนดเท่านั้น:

ปี (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

ซึ่งหมายความว่า m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

คำตอบ:สำหรับส่วน [ 1 ; 4 ] - ม x ย x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 สำหรับเซ็กเมนต์ [ - 4 ; - 1 ] - ม x ย x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

ดูภาพ:

ก่อนที่จะศึกษาวิธีนี้ เราแนะนำให้คุณทบทวนวิธีการคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวและขีดจำกัดที่อนันต์อย่างถูกต้อง รวมถึงเรียนรู้วิธีพื้นฐานในการค้นหา หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาเปิดหรือช่วงอนันต์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ตามลำดับ

ขั้นแรก คุณต้องตรวจสอบว่าช่วงที่กำหนดจะเป็นเซตย่อยของโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดหรือไม่
ให้เราพิจารณาจุดทั้งหมดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการและไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดยปกติจะเกิดขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์อยู่ในเครื่องหมายมอดุลัส และสำหรับฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะแบบเศษส่วน หากจุดเหล่านี้หายไป คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อไปได้
ตอนนี้เรามาดูกันว่าจุดใดที่อยู่นิ่งจะตกภายในช่วงเวลาที่กำหนด ขั้นแรก เราเทียบอนุพันธ์กับ 0 แก้สมการ และเลือกรากที่เหมาะสม หากเราไม่มีจุดคงที่จุดเดียวหรือไม่ตกในช่วงเวลาที่กำหนด เราจะดำเนินการต่อไปทันที ถูกกำหนดโดยประเภทของช่วงเวลา

หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; b) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = a และลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) .
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ (a; b ] เราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = b และลิมิตด้านเดียว lim x → a + 0 f (x)
หากช่วงเวลามีรูปแบบ (a; b) เราต้องคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียว lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x)
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; + ∞) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าที่จุด x = a และลิมิตที่บวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) .
หากช่วงเวลาดูเหมือน (- ∞ ; b ] เราจะคำนวณค่าที่จุด x = b และขีดจำกัดที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞ ; b จากนั้นเราจะพิจารณาลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) และลิมิตที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞; + ∞ จากนั้นเราจะพิจารณาขีด จำกัด ของลบและบวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

ในตอนท้ายคุณต้องสรุปตามค่าฟังก์ชันและขีดจำกัดที่ได้รับ มีตัวเลือกมากมายที่นี่ ดังนั้นหากขีด จำกัด ด้านเดียวเท่ากับลบอนันต์หรือบวกอนันต์ก็ชัดเจนทันทีว่าไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันได้ ด้านล่างนี้เราจะดูตัวอย่างทั่วไปหนึ่งตัวอย่าง คำอธิบายโดยละเอียดจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าอะไรคืออะไร หากจำเป็น คุณสามารถกลับไปที่รูปที่ 4 - 8 ในส่วนแรกของเนื้อหาได้

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข: ฟังก์ชันที่กำหนด y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . คำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในช่วงเวลา - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ) .

สารละลาย

ก่อนอื่น เราจะหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วยกำลังสองซึ่งไม่ควรเปลี่ยนเป็น 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

เราได้รับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งช่วงเวลาทั้งหมดที่ระบุในเงื่อนไขเป็นสมาชิก

ตอนนี้เรามาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันและรับ:

y" = 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · จ 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีอยู่ตลอดขอบเขตคำจำกัดความของมัน

มาดูการหาจุดคงที่กันดีกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็น 0 ที่ x = - 1 2 . นี่คือจุดคงที่ซึ่งอยู่ในช่วงเวลา (- 3 ; 1 ] และ (- 3 ; 2) .

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x = - 4 สำหรับช่วงเวลา (- ∞ ; - 4 ] รวมถึงขีดจำกัดที่ลบอนันต์:

y (- 4) = 3 อี 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 อี 1 6 - 4 µ - 0 . 456 ลิม x → - ∞ 3 จ 1 x 2 + x - 6 = 3 จ 0 - 4 = - 1

เนื่องจาก 3 e 1 6 - 4 > - 1 หมายความว่า m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 ซึ่งไม่อนุญาตให้เราระบุค่าที่น้อยที่สุดของ ฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เพียงว่ามีข้อ จำกัด ต่ำกว่า - 1 เนื่องจากเป็นค่านี้ที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เชิงเส้นกำกับที่ลบอนันต์

ลักษณะเฉพาะของช่วงที่สองคือไม่มีจุดคงที่จุดเดียวและไม่มีขอบเขตที่เข้มงวดเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันได้ เมื่อกำหนดขีดจำกัดที่ลบอนันต์และอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านซ้าย เราจะได้ค่าเพียงช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น:

ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 จ 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → - ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

ซึ่งหมายความว่าค่าฟังก์ชันจะอยู่ในช่วงเวลา - 1; +

ในการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันในช่วงที่สาม เราจะกำหนดค่าของมันที่จุดคงที่ x = - 1 2 ถ้า x = 1 นอกจากนี้เรายังจำเป็นต้องทราบขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่ข้อโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะ - 3 ทางด้านขวา:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี 4 25 - 4 data - 1 . 444 ปี (1) = 3 อี 1 1 2 + 1 - 6 - 4 data - 1 . 644 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 จ 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (- 0) - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

ปรากฎว่าฟังก์ชันจะรับค่าสูงสุดที่จุดคงที่ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ส่วนค่าที่น้อยที่สุดนั้นเราไม่สามารถระบุได้ ทุกสิ่งที่เรารู้ คือการมีอยู่ของขีดจำกัดล่างถึง - 4

สำหรับช่วงเวลา (- 3 ; 2) ให้นำผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้ามาคำนวณอีกครั้งว่าขีดจำกัดด้านเดียวเท่ากับเท่าใดเมื่อพุ่งไปที่ 2 ทางด้านซ้าย:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี - 4 25 - 4 data - 1 . 444 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 ลิม x → 2 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 - 0 - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

ซึ่งหมายความว่า m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 และไม่สามารถกำหนดค่าที่น้อยที่สุดได้และค่าของฟังก์ชันจะถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข - 4 .

จากสิ่งที่เราได้จากการคำนวณสองครั้งก่อนหน้านี้ เราสามารถพูดได้ว่าในช่วงเวลา [ 1 ; 2) ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ x = 1 แต่ไม่สามารถหาค่าที่เล็กที่สุดได้

ในช่วงเวลา (2 ; + ∞) ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด เช่น จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - 1 ; + .

ลิม x → 2 + 0 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 อี 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → + ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

เมื่อคำนวณว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับเท่าใดที่ x = 4 เราจะพบว่า m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 และฟังก์ชันที่กำหนดที่บวกอนันต์จะเข้าใกล้เส้นตรงเชิงกำกับเชิงกำกับ y = - 1

ลองเปรียบเทียบสิ่งที่เราได้จากการคำนวณแต่ละครั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ในรูป เส้นกำกับจะแสดงด้วยเส้นประ

นั่นคือทั้งหมดที่เราต้องการบอกคุณเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ลำดับการกระทำที่เราให้ไว้จะช่วยให้คุณคำนวณที่จำเป็นได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายที่สุด แต่โปรดจำไว้ว่ามันมักจะมีประโยชน์ในการค้นหาก่อนว่าฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลาใดและจะเพิ่มขึ้นเมื่อใด หลังจากนั้นคุณสามารถสรุปเพิ่มเติมได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น และปรับผลลัพธ์ที่ได้รับให้เหมาะสม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

อัลกอริทึมในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์:

1) ค้นหาจุดวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนนั้น

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้และที่ส่วนท้ายของส่วน

3) จากค่าที่ได้รับ ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่างที่ 8.1ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน
บนส่วนนั้น
.

สารละลาย. 1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน

,




.

บนส่วน
ตัวส่วนไม่หายไป ดังนั้น เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์:




.

วิธี,
– จุดวิกฤตของฟังก์ชัน มันเป็นของกลุ่มนี้

มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ:

2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์:

, .

3) จากค่าที่ได้รับ ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด:

,
.

9. ปัญหาการหาค่าปริมาณที่มากที่สุดและน้อยที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าปริมาณที่น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุด คุณต้องพิจารณาว่าปริมาณใดในปัญหาที่คุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดก่อน ค่านี้จะเป็นฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่ จากนั้นหนึ่งในปริมาณของการเปลี่ยนแปลงที่แอปพลิเคชันของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับนั้นควรถือเป็นตัวแปรอิสระและฟังก์ชันที่แสดงออกผ่านมัน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องเลือกค่าที่แสดงฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอย่างเรียบง่ายที่สุดเป็นตัวแปรอิสระ หลังจากนี้ปัญหาในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันผลลัพธ์ในช่วงเวลาหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระได้รับการแก้ไขซึ่งมักจะสร้างขึ้นจากแก่นแท้ของปัญหา

ตัวอย่างที่ 9.1จงหาความสูงของกรวยซึ่งมีปริมาตรมากที่สุดที่สามารถเขียนลงในลูกบอลรัศมีได้ .

ร การตัดสินใจ.การกำหนดรัศมีของฐาน ความสูง และปริมาตรของกรวย ตามลำดับ ,และ มาเขียนกันดีกว่า
- ความเท่าเทียมกันนี้เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาตัวแปรสองตัว และ - ให้เราแยกปริมาณใดปริมาณหนึ่งเหล่านี้ออกไป กล่าวคือ - เมื่อต้องการทำเช่นนี้จากสามเหลี่ยมมุมฉาก
เราได้รับมา (โดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับกำลังสองของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก):

รูปที่ 6 – ภาพประกอบตัวอย่างที่ 9.1

หรือ
.

การทดแทนค่า ในสูตรปริมาตรของกรวย เราได้:

เราจะเห็นว่ามีปริมาณ กรวยที่จารึกไว้ในลูกบอลรัศมี , มีฟังก์ชันของความสูงของกรวยนี้ - การหาความสูงที่กรวยที่ถูกจารึกไว้มีปริมาตรมากหมายถึงการหาค่าดังกล่าว ซึ่งฟังก์ชัน มีค่าสูงสุด เรากำลังมองหาฟังก์ชันสูงสุด:

1)
,

2)
,
,
, ที่ไหน
หรือ
,

3)
.

เข้ามาทดแทนแทน ตอนแรก
และจากนั้น
, เราได้รับ:

ในกรณีแรกเรามีขั้นต่ำ (
ที่
) ในวินาทีค่าสูงสุดที่ต้องการ (ตั้งแต่
ที่
).

ดังนั้นเมื่อ
กรวยที่จารึกไว้ในลูกบอลรัศมี , มีปริมาณมากที่สุด

ป ตัวอย่างที่ 9.2. จำเป็นต้องมีรั้วที่มีความยาวตาข่ายลวด 60 มพื้นที่สี่เหลี่ยมติดกับผนังบ้าน (รูปที่ 7) ที่ดินควรมีความยาวและความกว้างเท่าใดจึงจะมีพื้นที่มากที่สุด?

สารละลาย.ให้ความกว้างของแปลง มและพื้นที่ ม 2 , แล้ว:

รูปที่ 7 – ภาพประกอบตัวอย่างที่ 9.2

ค่านิยม และ ไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นตัวคูณ
, ก
.

สี่เหลี่ยม มีฟังก์ชั่น เรากำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:

.
และฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเมื่อ
;
และฟังก์ชันจะลดลงเมื่อ
- เพราะฉะนั้นประเด็น
คือจุดสูงสุด เนื่องจากนี่เป็นจุดเดียวที่อยู่ในช่วงเวลา
แล้วถึงจุดนั้น
ฟังก์ชั่นมีความสำคัญมากที่สุด

ดังนั้นพื้นที่แปลงจะมากที่สุด (สูงสุด) หากเป็นความกว้าง
ม.และความยาว ม.

ตัวอย่างที่ 9.3ห้องสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่ควรมีขนาดเท่าใด 36 ม 2 ดังนั้นเส้นรอบวงของมันจึงเล็กที่สุด?

สารละลาย- ปล่อยให้ความยาวเป็น ม.แล้วความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้น มและเส้นรอบวง:

ปริมณฑล มีฟังก์ชันของความยาว กำหนดไว้สำหรับค่าบวกทั้งหมด :
.

ให้เรากำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:

เครื่องหมายของอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของส่วนต่าง
- ในระหว่างนี้

และในระหว่างนั้น

.

เพราะฉะนั้นประเด็น
คือจุดต่ำสุด เนื่องจากนี่เป็นจุดเดียวที่อยู่ในช่วงเวลา:
แล้วถึงจุดนั้น
ฟังก์ชั่นมีค่าน้อยที่สุด

ดังนั้น เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงมีค่าน้อยที่สุด (ขั้นต่ำ) หากมีความยาว 6 มและความกว้าง ม. = 6 ม.นั่นคือเมื่อมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

$\blacktriangleright$ เพื่อที่จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชันในส่วน  จำเป็นต้องแสดงกราฟของฟังก์ชันในส่วนนี้ในเชิงแผนผัง
ในปัญหาจากหัวข้อย่อยนี้ สามารถทำได้โดยใช้อนุพันธ์: ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น ($f">0$ ) และการลดลง ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ อย่าลืมว่าฟังก์ชันสามารถรับค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดได้ ไม่เพียงแต่ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์  เท่านั้น แต่ยังรับที่จุดสิ้นสุดด้วย

$\blacktriangleright$ ค่าที่ใหญ่ที่สุด/เล็กที่สุดของฟังก์ชันคือค่าพิกัด $y=f(x)$

$\blacktriangleright$ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $f(t(x))$ พบได้ตามกฎ: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(อนุพันธ์ ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(อนุพันธ์ ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

ภารกิจที่ 1 #2357

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $y = e^(x^2 - 4)$ บนส่วน $[-10; -2]$

ODZ: $x$ – ตามอำเภอใจ

1) \

\ ดังนั้น $y" = 0$ สำหรับ $x = 0$

3) มาหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ บนส่วนที่พิจารณา $[-10; -2]$ :

4) ร่างกราฟบนส่วน $[-10; -2]$ :

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถึงค่าที่น้อยที่สุดที่ $[-10; -2]$ ที่ $x = -2$

\ Total: $1$ – ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $y$ บน $[-10; -2]$

คำตอบ: 1

ภารกิจที่ 2 #2355

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ในส่วน $[-1; 1]$

ODZ: $x$ – ตามอำเภอใจ

1) \

เรามาค้นหาจุดวิกฤตกัน (นั่นคือ จุดภายในของขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ $0$ หรือไม่มีอยู่): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]อนุพันธ์ที่มีอยู่สำหรับ $x$ ใด ๆ

2) ลองหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ :

3) ลองหาช่วงของเครื่องหมายคงที่ $y"$ บนส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา $[-1; 1]$ :

4) ร่างกราฟในส่วน $[-1; 1]$ :

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถึงค่าสูงสุดที่ $[-1; 1]$ ที่ $x = -1$ หรือที่ $x = 1$ ลองเปรียบเทียบค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้กัน

\ รวม: $2$ – ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน $y$ บน $[-1; 1]$

คำตอบ: 2

ภารกิจที่ 3 #2356

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $y = \cos 2x$ บนส่วน 

ODZ: $x$ – ตามอำเภอใจ

1) \

เรามาค้นหาจุดวิกฤตกัน (นั่นคือ จุดภายในของขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ $0$ หรือไม่มีอยู่): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\ลูกศรซ้าย\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]อนุพันธ์ที่มีอยู่สำหรับ $x$ ใด ๆ

2) ลองหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ :

(ในที่นี้มีจำนวนช่วงเวลาที่สัญญาณของอนุพันธ์สลับกันเป็นจำนวนอนันต์)

3) ลองหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ บนส่วนที่พิจารณา :

4) ร่างกราฟบนส่วน  :

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถึงค่าที่น้อยที่สุดบน  ที่ $x = \dfrac(\pi)(2)$

\ รวม: $-1$ – ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $y$ บน 

คำตอบ: -1

ภารกิจที่ 4 #915

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ มาตัดสินใจเกี่ยวกับ ODZ:

1) ให้เราแสดงว่า $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ แล้ว $y(t)=-\log_(17)t$ .

เรามาค้นหาจุดวิกฤตกัน (นั่นคือ จุดภายในของขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ $0$ หรือไม่มีอยู่): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\ลูกศรซ้าย\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– บน ODZ จากจุดที่เราค้นหารูต $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y$ ไม่มีอยู่เมื่อ $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$ แต่สมการนี้มีการแบ่งแยกเชิงลบ ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบ ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเป็นแผนผังอย่างไร

2) ลองหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ :

3) ร่างของกราฟ:

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถึงค่าสูงสุดที่ $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

รวม: $0$ – ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน $y$

คำตอบ: 0

ภารกิจที่ 5 #2344

ระดับงาน: เท่ากับการสอบ Unified State

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . มาตัดสินใจเกี่ยวกับ ODZ:

1) ให้เราแสดงว่า $x^2 + 8x + 19=t(x)$ แล้ว $y(t)=\log_(3)t$ .

เรามาค้นหาจุดวิกฤตกัน (นั่นคือ จุดภายในของขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ $0$ หรือไม่มีอยู่): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\ลูกศรซ้าย\qquad 2x+8 = 0\]– บน ODZ จากจุดที่เราค้นหารูต $x = -4$ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y$ ไม่มีอยู่เมื่อ $x^2 + 8x + 19 = 0$ แต่สมการนี้มีการแบ่งแยกเชิงลบ ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบ ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเป็นแผนผังอย่างไร

2) ลองหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ $y"$ :

3) ร่างของกราฟ:

ดังนั้น $x = -4$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $y$ และจะได้ค่าที่น้อยที่สุด:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$

รวม: $1$ – ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $y$

คำตอบ: 1

งาน 6 #917

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

ปล่อยให้ฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในโดเมนปิดที่มีขอบเขต $D$ ปล่อยให้ฟังก์ชันที่กำหนดในบริเวณนี้มีอนุพันธ์บางส่วนที่มีขอบเขตจำกัดของลำดับแรก (ยกเว้น บางที สำหรับจำนวนจุดที่มีจำกัด) ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่ปิดที่กำหนด จำเป็นต้องใช้อัลกอริทึมอย่างง่ายสามขั้นตอน

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ในโดเมนปิด $D$

ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่เป็นของโดเมน $D$ คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดวิกฤต
ตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ บนขอบเขตของขอบเขต $D$ ค้นหาจุดของค่าสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้ คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดที่ได้รับ
จากค่าฟังก์ชันที่ได้รับในสองย่อหน้าก่อนหน้า ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

จุดวิกฤตคืออะไร? แสดงซ่อน

ภายใต้ จุดวิกฤติบอกเป็นนัยว่าอนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ (เช่น $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ และ $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) หรืออย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์บางส่วนไม่มีอยู่

บ่อยครั้งที่มีการเรียกจุดที่อนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ จุดคงที่- ดังนั้นจุดที่คงที่จึงเป็นเซตย่อยของจุดวิกฤต

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ในพื้นที่ปิดที่ล้อมรอบด้วยเส้น $x=3$, $y=0$ และ $y=x +1$.

เราจะทำตามข้างต้น แต่ก่อนอื่นเราจะจัดการกับการวาดภาพของพื้นที่ที่กำหนด ซึ่งเราจะแสดงด้วยตัวอักษร $D$ เราจะได้สมการของเส้นตรงสามเส้นที่จำกัดพื้นที่นี้ เส้นตรง $x=3$ ผ่านจุด $(3;0)$ ขนานกับแกนพิกัด (แกน Oy) เส้นตรง $y=0$ คือสมการของแกนแอบซิสซา (แกน Ox) ในการสร้างเส้นตรง $y=x+1$ เราจะหาจุดสองจุดที่เราจะวาดเส้นนี้ แน่นอนคุณสามารถแทนที่ค่าใดก็ได้สองสามค่าแทน $x$ ตัวอย่างเช่น แทนที่ $x=10$ เราจะได้: $y=x+1=10+1=11$ เราพบจุด $(10;11)$ อยู่บนเส้นตรง $y=x+1$ อย่างไรก็ตาม เป็นการดีกว่าถ้าหาจุดที่เส้นตรง $y=x+1$ ตัดกับเส้น $x=3$ และ $y=0$ ทำไมมันถึงดีกว่านี้? เพราะเราจะฆ่านกสองสามตัวด้วยหินนัดเดียว เราจะได้สองคะแนนเพื่อสร้างเส้นตรง $y=x+1$ และในเวลาเดียวกันก็ค้นหาว่าจุดใดที่เส้นตรงนี้ตัดกับเส้นอื่น ๆ ที่จำกัดพื้นที่ที่กำหนด เส้นตรง $y=x+1$ ตัดกับเส้น $x=3$ ที่จุด $(3;4)$ และเส้น $y=0$ ตัดกันที่จุด $(-1;0)$ เพื่อไม่ให้ความคืบหน้าของการแก้ปัญหายุ่งเหยิงด้วยคำอธิบายเสริม ฉันจะจดคำถามเกี่ยวกับการได้รับสองประเด็นนี้ไว้ในบันทึก

คะแนน $(3;4)$ และ $(-1;0)$ ได้รับมาอย่างไร? แสดงซ่อน

เริ่มจากจุดตัดของเส้นตรง $y=x+1$ และ $x=3$ พิกัดของจุดที่ต้องการเป็นของเส้นตรงทั้งเส้นแรกและเส้นที่สอง ดังนั้นหากต้องการค้นหาพิกัดที่ไม่รู้จักคุณต้องแก้ระบบสมการ:

$$ \left \( \begin(ชิด) & y=x+1;\\ & x=3. \end(ชิด) \right. $$

วิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวนั้นไม่สำคัญ: การแทนที่ $x=3$ ในสมการแรกเราจะได้: $y=3+1=4$ จุด $(3;4)$ คือจุดตัดที่ต้องการของเส้น $y=x+1$ และ $x=3$

ทีนี้ ลองหาจุดตัดของเส้นตรง $y=x+1$ และ $y=0$ ให้เราเขียนและแก้ระบบสมการอีกครั้ง:

$$ \left \( \begin(ชิด) & y=x+1;\\ & y=0. \end(ชิด) \right. $$

เมื่อแทน $y=0$ ลงในสมการแรก เราจะได้: $0=x+1$, $x=-1$ จุด $(-1;0)$ คือจุดตัดที่ต้องการของเส้น $y=x+1$ และ $y=0$ (แกน x)

ทุกอย่างพร้อมที่จะสร้างภาพวาดที่จะมีลักษณะดังนี้:

คำถามในบันทึกดูเหมือนชัดเจนเพราะทุกสิ่งสามารถเห็นได้จากภาพ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าภาพวาดไม่สามารถใช้เป็นหลักฐานได้ ภาพวาดนี้ใช้เพื่อเป็นตัวอย่างเท่านั้น

พื้นที่ของเราถูกกำหนดโดยใช้สมการเส้นที่ผูกไว้ แน่นอนว่า เส้นเหล่านี้นิยามสามเหลี่ยม จริงไหม? หรือมันไม่ชัดเจนทั้งหมด? หรือบางทีเราอาจได้รับพื้นที่อื่นซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นเดียวกัน:

แน่นอนว่าสภาพแจ้งว่าพื้นที่ปิด ดังนั้น รูปที่แสดงไม่ถูกต้อง แต่เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือดังกล่าว เป็นการดีกว่าที่จะกำหนดภูมิภาคด้วยความไม่เท่าเทียมกัน เราสนใจส่วนของระนาบที่อยู่ใต้เส้นตรง $y=x+1$ หรือไม่? โอเค $y ≤ x+1$ พื้นที่ของเราควรจะอยู่เหนือเส้น $y=0$ หรือไม่ เยี่ยมเลย นั่นหมายถึง $y ≥ 0$ อย่างไรก็ตาม อสมการสองอันสุดท้ายสามารถรวมเป็นหนึ่งเดียวได้อย่างง่ายดาย: $0 ≤ y ≤ x+1$

$$ \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(ชิด) \right. $$

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้กำหนดขอบเขต $D$ และกำหนดอย่างไม่คลุมเครือ โดยไม่ทำให้เกิดความคลุมเครือ แต่สิ่งนี้จะช่วยเราอย่างไรกับคำถามที่ระบุไว้ตอนต้นบันทึก? มันจะช่วยได้เช่นกัน :) เราต้องตรวจสอบว่าจุด $M_1(1;1)$ เป็นของภูมิภาค $D$ หรือไม่ ให้เราแทนที่ $x=1$ และ $y=1$ ในระบบอสมการที่กำหนดขอบเขตนี้ หากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นที่พอใจแล้ว ประเด็นก็อยู่ที่ภูมิภาค ถ้าความไม่เท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งข้อไม่เป็นที่พอใจ ประเด็นนั้นก็ไม่ใช่ของภูมิภาค ดังนั้น:

$$ \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(ชิด) \right. \;\; \left \( \begin(ชิด) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3 \end(ชิด) \right $$

อสมการทั้งสองนั้นถูกต้อง จุด $M_1(1;1)$ เป็นของภูมิภาค $D$

ถึงเวลาศึกษาพฤติกรรมของหน้าที่บริเวณขอบเขตภูมิภาคแล้ว ได้แก่ ไปกันเถอะ . เริ่มจากเส้นตรง $y=0$ กันก่อน

เส้นตรง $y=0$ (แกน abscissa) จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองแทน $y=0$ ลงในฟังก์ชันที่กำหนด $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ เราแสดงฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง $x$ ที่ได้รับจากการแทนที่เป็น $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cดอท 0-0^2-4x=x^2-4x -

ตอนนี้สำหรับฟังก์ชัน $f_1(x)$ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้แล้วจัดให้เป็นศูนย์:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

ค่า $x=2$ เป็นของกลุ่ม $-1 ≤ x ≤ 3$ ดังนั้นเราจะเพิ่ม $M_2(2;0)$ ในรายการจุดด้วย นอกจากนี้ ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่ส่วนท้ายของส่วน $-1 ≤ x ≤ 3$ เช่น ที่จุด $M_3(-1;0)$ และ $M_4(3;0)$. อย่างไรก็ตาม หากจุด $M_2$ ไม่ได้อยู่ในส่วนที่พิจารณา แน่นอนว่าก็ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่อยู่ในนั้น

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_2$, $M_3$, $M_4$ แน่นอน คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดเหล่านี้เป็นนิพจน์ดั้งเดิม $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับจุด $M_2$ เราได้รับ:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

อย่างไรก็ตามการคำนวณสามารถทำให้ง่ายขึ้นเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้ ควรจำไว้ว่าในส่วน $M_3M_4$ เรามี $z(x,y)=f_1(x)$ ฉันจะเขียนรายละเอียดนี้:

\begin(ชิด) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cจุด (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cดอท 3=-3 \end(ชิด)

แน่นอนว่าโดยปกติแล้วไม่จำเป็นต้องมีบันทึกโดยละเอียดดังกล่าว และในอนาคตเราจะเขียนการคำนวณทั้งหมดโดยสังเขป:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cจุด 3=-3.$$

ทีนี้ลองเปลี่ยนเป็นเส้นตรง $x=3$ เส้นตรงนี้จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $0 ≤ y ≤ 4$ ลองแทน $x=3$ เข้าไปในฟังก์ชันที่กำหนด $z$ จากการทดแทนนี้ เราจะได้ฟังก์ชัน $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3 -

สำหรับฟังก์ชัน $f_2(y)$ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในช่วง $0 ≤ y ≤ 4$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้แล้วจัดให้เป็นศูนย์:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

ค่า $y=3$ อยู่ในส่วน $0 ≤ y ≤ 4$ ดังนั้นเราจะบวก $M_5(3;3)$ ไปยังจุดที่พบก่อนหน้านี้ด้วย นอกจากนี้ จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุดที่ส่วนท้ายของส่วน $0 ≤ y ≤ 4$ เช่น ที่จุด $M_4(3;0)$ และ $M_6(3;4)$. ณ จุดที่ $M_4(3;0)$ เราได้คำนวณมูลค่าของ $z$ แล้ว ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_5$ และ $M_6$ ฉันขอเตือนคุณว่าในส่วน $M_4M_6$ เรามี $z(x,y)=f_2(y)$ ดังนั้น:

\begin(ชิด) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cดอท 4-3=5 \end(ชิด)

และสุดท้าย ให้พิจารณาขอบเขตสุดท้ายของขอบเขต $D$ เช่น เส้นตรง $y=x+1$. เส้นตรงนี้จำกัดขอบเขต $D$ ภายใต้เงื่อนไข $-1 ≤ x ≤ 3$ เมื่อแทน $y=x+1$ ลงในฟังก์ชัน $z$ เราจะได้:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. -

อีกครั้งหนึ่งที่เรามีฟังก์ชันของตัวแปร $x$ หนึ่งตัว และอีกครั้งเราต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันนี้ในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f_(3)(x)$ แล้วทำให้มันกลายเป็นศูนย์:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

ค่า $x=1$ อยู่ในช่วง $-1 ≤ x ≤ 3$ ถ้า $x=1$ แล้ว $y=x+1=2$ ลองเพิ่ม $M_7(1;2)$ เข้าไปในรายการจุดแล้วค้นหาว่า ณ จุดนี้ค่าของฟังก์ชัน $z$ อยู่ที่เท่าไร จุดที่ส่วนท้ายของส่วน $-1 ≤ x ≤ 3$ เช่น คะแนน $M_3(-1;0)$ และ $M_6(3;4)$ ได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้ เราพบค่าของฟังก์ชันในนั้นแล้ว

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

ขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ เราได้รับเจ็ดค่า:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

หันมากันดีกว่า การเลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดจากตัวเลขที่ได้รับในย่อหน้าที่สามเราจะได้:

$$z_(นาที)=-4; - z_(สูงสุด)=6.$$

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว เหลือเพียงการเขียนคำตอบลงไป

คำตอบ: $z_(นาที)=-4; - z_(สูงสุด)=6$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=x^2+y^2-12x+16y$ ในภูมิภาค $x^2+y^2 ≤ 25$

ก่อนอื่นเรามาสร้างภาพวาดกันก่อน สมการ $x^2+y^2=25$ (นี่คือเส้นแบ่งเขตของพื้นที่ที่กำหนด) กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (เช่น ที่จุด $(0;0)$) และมีรัศมีเป็น 5. อสมการ $x^2 +y^2 ≤ $25 เป็นไปตามทุกจุดภายในและบนวงกลมที่กล่าวถึง

เราจะดำเนินการตาม. ลองหาอนุพันธ์ย่อยแล้วหาจุดวิกฤตกัน

$$ \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน x)=2x-12; \frac(\บางส่วน z)(\บางส่วน y)=2y+16. -

ไม่มีจุดใดที่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วนที่พบ ให้เราค้นหาว่าจุดใดที่อนุพันธ์บางส่วนทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์พร้อมกันคือ มาหาจุดคงที่กัน

$$ \left \( \begin(ชิด) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(ชิด) \right. \;\; \left \( \begin(ชิด) & x =6;\\ & y=-8. \end(ชิด) \right $$

เราได้รับจุดคงที่ $(6;-8)$ อย่างไรก็ตาม จุดที่พบไม่อยู่ในขอบเขต $D$ นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงโดยไม่ต้องอาศัยการวาดภาพ ลองตรวจสอบว่าความไม่เท่าเทียมกัน $x^2+y^2 ≤ 25$ มีอยู่หรือไม่ ซึ่งกำหนดขอบเขต $D$ ของเรา ถ้า $x=6$, $y=-8$ แล้ว $x^2+y^2=36+64=100$ เช่น อสมการ $x^2+y^2 ≤ 25$ ไม่ถือเป็น สรุป: จุด $(6;-8)$ ไม่ได้อยู่ในพื้นที่ $D$

ดังนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤตภายในขอบเขต $D$ เรามาต่อกันที่... เราจำเป็นต้องศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันบนขอบเขตของภูมิภาคที่กำหนด เช่น บนวงกลม $x^2+y^2=25$ แน่นอนว่าเราสามารถแสดง $y$ ในรูปของ $x$ แล้วแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในฟังก์ชัน $z$ ของเรา จากสมการของวงกลม เราได้: $y=\sqrt(25-x^2)$ หรือ $y=-\sqrt(25-x^2)$ ตัวอย่างเช่น การแทนที่ $y=\sqrt(25-x^2)$ ลงในฟังก์ชันที่กำหนด เราจะได้:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); - -5≤ x ≤ 5. $$

แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมจะเหมือนกับการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ขอบเขตของภูมิภาคในตัวอย่างที่ 1 ก่อนหน้านี้โดยสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สำหรับฉันดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้วิธี Lagrange ในสถานการณ์นี้ เราจะสนใจเฉพาะส่วนแรกของวิธีนี้เท่านั้น หลังจากใช้ส่วนแรกของวิธี Lagrange แล้ว เราจะได้จุดที่เราจะตรวจสอบฟังก์ชัน $z$ สำหรับค่าต่ำสุดและสูงสุด

เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ F=z(x,y)+\แลมบ์ดา\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\แลมบ์ดา\cdot (x^2+y^2 -25) -

เราค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันลากรองจ์และเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้อง:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (จัดแนว) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(ชิด) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ชิด)\right.$ $

เพื่อแก้ระบบนี้ ให้เราชี้ให้เห็นทันทีว่า $\lambda\neq -1$ ทำไม $\แลมบ์ดา\neq -1$? ลองแทนที่ $\lambda=-1$ ในสมการแรก:

$$ x+(-1)\cdot x=6; - x-x=6; - 0=6. -

ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน $0=6$ บ่งชี้ว่าค่า $\lambda=-1$ ไม่สามารถยอมรับได้ เอาท์พุต: $\lambda\neq -1$. ลองแสดง $x$ และ $y$ ในรูปของ $\lambda$:

\begin(ชิด) & x+\lambda x=6;\; x(1+\แลมบ์ดา)=6;\; x=\frac(6)(1+\แลมบ์ดา) \\ & y+\แลมบ์ดา y=-8;\; y(1+\แลมบ์ดา)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\แลมบ์ดา) \end(ชิด)

ฉันเชื่อว่ามันชัดเจนที่นี่ว่าทำไมเราจึงกำหนดเงื่อนไข $\lambda\neq -1$ โดยเฉพาะ วิธีนี้ทำเพื่อให้นิพจน์ $1+\lambda$ พอดีกับตัวส่วนโดยไม่มีการรบกวน นั่นคือเพื่อให้แน่ใจว่าตัวส่วน $1+\lambda\neq 0$

ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ $x$ และ $y$ ลงในสมการที่สามของระบบ นั่นคือ ใน $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\แลมบ์ดา)^2)+\frac(64)((1+\แลมบ์ดา)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\แลมบ์ดา)^2)=25 ; - (1+\แลมบ์ดา)^2=4 -

จากผลลัพธ์ความเท่าเทียมกัน จะได้ว่า $1+\lambda=2$ หรือ $1+\lambda=-2$ ดังนั้นเราจึงมีสองค่าของพารามิเตอร์ $\lambda$ ได้แก่: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$ ดังนั้นเราจึงได้ค่า $x$ และ $y$ สองคู่:

\begin(ชิด) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; - y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4 \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; - y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4 \end(ชิด)

ดังนั้นเราจึงได้จุดสุดขั้วที่มีเงื่อนไขที่เป็นไปได้สองจุด นั่นคือ $M_1(3;-4)$ และ $M_2(-3;4)$. มาหาค่าของฟังก์ชัน $z$ ที่จุด $M_1$ และ $M_2$:

\begin(ชิด) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cดอท 4=125 \end(ชิด)

เราควรเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจากค่าที่เราได้รับในขั้นตอนที่หนึ่งและที่สอง แต่ในกรณีนี้ตัวเลือกมีน้อย :) เรามี:

$$ z_(นาที)=-75; - z_(สูงสุด)=125. -

คำตอบ: $z_(ขั้นต่ำ)=-75; - z_(สูงสุด)=$125.