สัญลักษณ์ของตรรกะทางการสมัยใหม่ การดำเนินการทางตรรกะและคุณสมบัติ สัญลักษณ์ในภาษาของตรรกะหมายถึง

คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะ

1. การกำหนด

1.1. สัญลักษณ์สำหรับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ (การดำเนินการ):

ก) การปฏิเสธ(การผกผัน ตรรกะ NOT) เขียนแทนด้วย ฌ (เช่น ฌA)

ข) ร่วม(การคูณเชิงตรรกะ ตรรกะ AND) เขียนแทนด้วย /\
(เช่น A /\ B) หรือ & (เช่น A & B)

ค) การแยกทาง(การบวกเชิงตรรกะ เชิงตรรกะ OR) เขียนแทนด้วย \/
(เช่น A \/ B);

ง) กำลังติดตาม(นัย) แสดงโดย → (เช่น A → B);

จ) ตัวตนแสดงโดย ≡ (เช่น A ≡ B) นิพจน์ A ≡ B เป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าของ A และ B เท่ากัน (อาจเป็นจริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่)

f) สัญลักษณ์ 1 ใช้เพื่อแสดงถึงความจริง (ข้อความจริง) สัญลักษณ์ 0 – เพื่อบ่งบอกถึงการโกหก (ข้อความเท็จ)

1.2. นิพจน์บูลีนสองตัวที่มีตัวแปรถูกเรียก เทียบเท่า (เทียบเท่า) หากค่าของนิพจน์เหล่านี้ตรงกับค่าใด ๆ ของตัวแปร ดังนั้น นิพจน์ A → B และ (âA) \/ B จึงเทียบเท่ากัน แต่ A /\ B และ A \/ B ไม่ใช่ (ความหมายของนิพจน์จะแตกต่างกัน เช่น เมื่อ A = 1, B = 0 ).

1.3. ลำดับความสำคัญของการดำเนินการเชิงตรรกะ:การผกผัน (การปฏิเสธ) การร่วม (การคูณเชิงตรรกะ) การแตกแยก (การบวกเชิงตรรกะ) นัย (ต่อไปนี้) เอกลักษณ์ ดังนั้น ‚A \/ B \/ C \/ D จึงมีความหมายเหมือนกับ

((€A) \/ B) \/ (C \/ D)

เป็นไปได้ที่จะเขียน A \/ B \/ C แทน (A \/ B) \/ C เช่นเดียวกับการร่วม: คุณสามารถเขียน A /\ B /\ C แทน (A /\ B) ) /\ ค.

2. คุณสมบัติ

รายการด้านล่างนี้ไม่ได้ตั้งใจให้ครบถ้วน แต่หวังว่าจะเป็นตัวแทนได้เพียงพอ

2.1. คุณสมบัติทั่วไป

1. สำหรับชุดของ nมีตัวแปรเชิงตรรกะอยู่ทุกประการ 2 nความหมายที่แตกต่างกัน ตารางความจริงสำหรับการแสดงออกเชิงตรรกะจาก nตัวแปรประกอบด้วย n+1คอลัมน์และ 2 nเส้น

2.2.การแยกทาง

1. หากอย่างน้อยหนึ่งในนิพจน์ย่อยที่ใช้การแยกส่วนเป็นจริงกับชุดค่าบางชุดของตัวแปร การแยกส่วนทั้งหมดจะเป็นจริงสำหรับชุดค่านี้
2. ถ้านิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นจริงกับชุดของค่าตัวแปรบางชุด การแยกนิพจน์เหล่านี้ก็จะเป็นจริงเช่นกัน
3. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การแยกนิพจน์เหล่านี้ก็จะเป็นเท็จเช่นกัน
4. ความหมายของการแยกส่วนไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.3. การเชื่อมต่อ

1. ถ้านิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่ใช้ร่วมเป็นเท็จกับชุดของค่าตัวแปรบางชุด ดังนั้นการรวมทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านี้
2. ถ้านิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นจริงกับชุดของค่าตัวแปรบางชุด การรวมนิพจน์เหล่านี้ก็จะเป็นจริงเช่นกัน
3. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การรวมนิพจน์เหล่านี้ก็จะเป็นเท็จเช่นกัน
4. ความหมายของคำร่วมไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.4. การแยกและคำสันธานอย่างง่าย

ให้เราเรียก (เพื่อความสะดวก) ร่วมกัน เรียบง่ายถ้านิพจน์ย่อยที่ใช้ร่วมเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ ในทำนองเดียวกัน การแยกส่วนเรียกว่า เรียบง่ายถ้านิพจน์ย่อยที่ใช้การแยกส่วนเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ

1. การรวมอย่างง่ายจะประเมินค่าเป็น 1 (จริง) จากค่าตัวแปรชุดเดียว
2. การแยกส่วนอย่างง่ายจะประเมินเป็น 0 (เท็จ) จากค่าตัวแปรชุดเดียว

2.5. ความหมายโดยนัย

1. ความหมายโดยนัย ก →บีเทียบเท่ากับการแตกแยก (¬ ก) \/ บีการแยกส่วนนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: ฌ เอ\/บี
2. ความหมายโดยนัย ก →บีรับค่า 0 (false) เฉพาะในกรณีที่ ก=1และ บี=0.ถ้า ก=0,แล้วความหมาย ก →บีเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ บี.

คณิตศาสตร์มีลักษณะเฉพาะคือการใช้สัญลักษณ์อย่างแพร่หลาย ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือเครื่องมือของตรรกะที่เป็นทางการ ตรรกะที่เป็นทางการหรือเชิงสัญลักษณ์เป็นวิธีพิเศษในการทำความเข้าใจโครงสร้างการคิด เครื่องมือที่พัฒนาขึ้นนี้ใช้ได้ทุกที่ ในทางคณิตศาสตร์ บทบัญญัติที่สำคัญหลายข้อสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ การเขียนการใช้เหตุผลเชิงตรรกะเป็นสัญลักษณ์จะช่วยให้การพิสูจน์มีรูปลักษณ์ที่กระชับและเรียบง่ายยิ่งขึ้น ตรรกะที่เป็นทางการดำเนินการกับข้อความ (โดยวิธีการ คำพูดของเราประกอบด้วยข้อความเหล่านั้น) ข้อเสนอคือประโยคที่สมเหตุสมผลที่จะยืนยันว่าเป็นจริงหรือเท็จ ตัวอย่างที่ 1.3 “มอสโกเป็นเมืองหลวงของรัสเซีย**, “เปตรอฟที่ 2. - นักเรียน MSTU ", x2 + y2 = 1, x € R - คำสั่ง; x2 -2x + + U2 - ไม่ใช่คำสั่ง # การเชื่อมต่อประโยคง่าย ๆ ด้วยคำว่า "และ", "หรือ", "ไม่", "ถ้า ... ดังนั้น” เราจะได้ข้อความที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งกำหนดคำพูดของเรา ในทางคณิตศาสตร์ คำเหล่านี้เรียกว่าการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ในตรรกะที่เป็นทางการจะสอดคล้องกับสัญลักษณ์ตรรกะพื้นฐาน ซึ่งเราจะอภิปรายกันสั้นๆ 1. การร่วม pAq ของ ประโยค p และ q คือประโยคที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองประโยค (ทั้ง p และ q) เป็นจริง สัญลักษณ์เชิงตรรกะของคำเชื่อม A จะแทนที่คำเชื่อม “และ” ในคำพูด การร่วมยังแสดงด้วย p & q 2. การแยก pW q ของประโยค p และ q คือข้อความที่เป็นเท็จก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นเท็จ และเป็นจริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งข้อความ (p หรือ q) เป็นจริง สัญลักษณ์ตรรกะของการแยก V ในคำพูดจะแทนที่คำว่า "หรือ" 3. ความหมายโดยนัย p => q ของข้อความ p และ q คือข้อความที่เป็นเท็จ ถ้าหาก p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ สัญลักษณ์เชิงตรรกะของ implication => ใช้เพื่อระบุผลที่ตามมาของข้อเท็จจริงบางอย่าง โดยแทนที่คำว่า “ถ้า..., แล้ว” เราสามารถอ่านได้ว่า “p หมายถึง qu” 4. สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันทางลอจิคัล & หมายความว่าคำสั่ง p q เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองประโยค p และ q เป็นจริงหรือทั้งสองประโยคเป็นเท็จ สัญลักษณ์นี้จะแทนที่คำว่า "เท่าเทียมกัน" ในคำพูด 5. การปฏิเสธของคำสั่ง p คือคำสั่ง - "p ซึ่งจะเป็นจริงหาก p เป็นเท็จ และเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง สัญลักษณ์เชิงตรรกะ -” ในคำพูดจะแทนที่ คำว่า "ไม่" เพื่อย่อและชี้แจงการบันทึกข้อความให้สั้นลง จึงมีการแนะนำสัญญาณ V และ 3 สองตัว เรียกว่าสัญลักษณ์ตรรกะพื้นฐานบางตัวตามลำดับ ตรรกะที่เป็นทางการหรือเชิงสัญลักษณ์ ปริมาณโดยพื้นฐานแล้วของลักษณะทั่วไปและการดำรงอยู่ นิพจน์ “สำหรับสมาชิก x ใดๆ ของเซต E เขียนอยู่ในรูป Vs 6 E สัญกรณ์นี้หมายความว่า ข้อความที่ตามมาจะสอดคล้องกับองค์ประกอบใดๆ ของเซต E สัญกรณ์ V&i, “2” xn€E หมายถึง: “ไม่ว่าองค์ประกอบใดจะเป็น xi, 32, xn ของเซต Eu นิพจน์ “มีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของเซต E โดยที่…” เขียนไว้ 3x £ E: ... ทุกอย่างที่ตามหลังสัญลักษณ์นี้ถือเป็นจริงสำหรับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของเซต E ในทางตรงกันข้าม $ x e E: ... หมายความว่าทั้งหมดต่อไปนี้ไม่ถือเป็นองค์ประกอบใดๆ จาก E นิพจน์ ` มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้นจาก E โดยที่...u เขียนอยู่ในรูป E!z € E : .. สัญกรณ์ 3x\) xs, xn € E: ... หมายถึง: มีองค์ประกอบ x\y a?2" "i" ของเซต E โดยที่... c. สะดวกในการใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดการดำเนินการบนเซต ดังนั้น AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>(x: (x € A) L (f € B)), A\B:*>(x: (x € A) L (x g B)), A:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А =>B ถือว่ามันเป็นเรื่องจริง - “B. หากการให้เหตุผลนำไปสู่ความจริงที่ว่าภายใต้เงื่อนไขสมมติฐานดังกล่าว A เป็นไปไม่ได้นั่นคือ หากมีความขัดแย้งเกิดขึ้น ทฤษฎีบทจะถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว ตัวอย่างที่ 1.6 เราใช้วิธีการพิสูจน์โดยขัดแย้งเพื่อยืนยันความถูกต้องของกฎข้อที่สองของเดอมอร์แกน (1.7) AC\B = AUB หากความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง แต่ละองค์ประกอบ x € A P B จะต้องเป็นของ A U B ด้วย เช่น x € A U B สมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: s £ AUB จากนั้นตามหลักการความเป็นคู่ (ดู 1.4) x € APV เช่น x ^ APV และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขดั้งเดิม x € A P B ซึ่งพิสูจน์ความถูกต้องของความหมายของข้อความ x € AG\B => เขามีชีวิตอยู่ ในทางตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบ x 6 A U B จะต้องเป็นของ A G) B เช่น x € A O B ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามอีกครั้ง: x £ i AP B เช่น x £ AP B หรือ (xbA)L(xbB) จากนั้น (x £ A)L A (x £ B) และ x £ AUB และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ยอมรับอีกครั้ง x £ A U B ซึ่งพิสูจน์ความถูกต้องของความหมายผกผันของคำสั่ง x € APV « = x € AUB สัญลักษณ์ตรรกะพื้นฐานบางอย่าง ตรรกะที่เป็นทางการหรือเชิงสัญลักษณ์ เป็นผลให้ความถูกต้องของสูตรที่สอง (1.7) ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ # เมื่อพิสูจน์ข้อเสนอที่ถูกต้องสำหรับจำนวนธรรมชาติโดยพลการ n G N บางครั้งใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์: โดยการตรวจสอบโดยตรงความถูกต้องของข้อเสนอจะถูกสร้างขึ้นสำหรับค่าสองสามค่าแรกของ n (n = 1, 2 , ...) จากนั้นให้สันนิษฐานว่ามันเป็นจริงสำหรับ n = k) และหากจากสมมติฐานนี้ตามมาว่าข้อเสนอที่กำหนดนั้นถูกต้องสำหรับ n = k -f 1 ก็ถือว่าพิสูจน์แล้วสำหรับ n €ทั้งหมด N. ตัวอย่าง 1.7. ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของสูตร “П = “1 (1.8) สำหรับผลรวมของเงื่อนไข n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 ด้วยตัวส่วนของความก้าวหน้า q ^ 1. เป็นที่ชัดเจนว่าสูตรนั้นถูกต้องสำหรับ n = 1 และ n = 2 ให้เราสมมติว่าเป็นจริงสำหรับ n = k เช่น สัญลักษณ์ตรรกะพื้นฐานบางอย่าง ตรรกะที่เป็นทางการหรือเชิงสัญลักษณ์ หากใน (1.9) เราแสดงว่า k +1 = n เราก็กลับมาที่ (1.8) อีกครั้งซึ่งพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรนี้

มันถูกใช้เพื่อคำนวณการดำเนินการเชิงตรรกะ ให้เราพิจารณาการดำเนินการเชิงตรรกะขั้นพื้นฐานที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้านล่างทั้งหมด ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าคุณลองคิดดู พวกมันคือตัวที่ใช้สร้างตรรกะของคอมพิวเตอร์และอุปกรณ์ต่างๆ

การปฏิเสธ

ก่อนที่เราจะเริ่มพิจารณาตัวอย่างโดยละเอียด เราจะแสดงรายการการดำเนินการเชิงตรรกะขั้นพื้นฐานในวิทยาการคอมพิวเตอร์:

• การปฏิเสธ;
• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป;
• การคูณ;
• กำลังติดตาม;
• ความเท่าเทียมกัน

นอกจากนี้ ก่อนที่จะเริ่มศึกษาการดำเนินการเชิงตรรกะ ควรกล่าวว่าในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การโกหกจะแสดงด้วย "0" และความจริงจะแสดงด้วย "1"

สำหรับการกระทำแต่ละรายการเช่นเดียวกับในคณิตศาสตร์ทั่วไปจะใช้สัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์ต่อไปนี้: ฌ, v, &, ->

แต่ละการกระทำสามารถอธิบายได้ด้วยตัวเลข 1/0 หรือเพียงการแสดงออกทางตรรกะ เรามาเริ่มพิจารณาตรรกะทางคณิตศาสตร์ด้วยการดำเนินการที่ง่ายที่สุดซึ่งใช้ตัวแปรเพียงตัวเดียว

การปฏิเสธเชิงตรรกะคือการดำเนินการผกผัน แนวคิดก็คือว่าถ้านิพจน์ดั้งเดิมเป็นจริง ผลลัพธ์ของการผกผันจะเป็นเท็จ และในทางกลับกัน หากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นเท็จ ผลลัพธ์ของการผกผันจะเป็นจริง

เมื่อเขียนนิพจน์นี้ จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: "ฌA"

ให้เรานำเสนอตารางความจริง - แผนภาพที่แสดงผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการดำเนินการสำหรับข้อมูลเริ่มต้น

นั่นคือ ถ้านิพจน์เดิมของเราเป็นจริง (1) การปฏิเสธของมันจะเป็นเท็จ (0) และถ้านิพจน์ดั้งเดิมเป็นเท็จ (0) การปฏิเสธของมันจะเป็นจริง (1)

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การดำเนินการที่เหลือต้องใช้ตัวแปรสองตัว ให้เราแสดงถึงหนึ่งสำนวน -

A ที่สอง - B. การดำเนินการเชิงตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งแสดงถึงการกระทำของการบวก (หรือการแยกส่วน) เมื่อเขียนจะแสดงด้วยคำว่า "หรือ" หรือด้วยสัญลักษณ์ "v" ให้เราอธิบายตัวเลือกข้อมูลที่เป็นไปได้และผลการคำนวณ

1. E=1, H=1 แล้ว E v H = 1 ถ้าทั้งคู่ การแยกออกจากกันก็เป็นจริงเช่นกัน
2. E = 0, H = 1 ดังนั้น E v H = 1 E = 1, H = 0 ดังนั้น E v H = 1 หากอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์เป็นจริง ผลลัพธ์ของการบวกจะเป็น จริง.
3. E=0, H=0 ผลลัพธ์ E v H = 0 ถ้าทั้งสองนิพจน์เป็นเท็จ ผลรวมของทั้งสองนิพจน์ก็เป็นเท็จเช่นกัน

เพื่อความกระชับ เรามาสร้างตารางความจริงกันดีกว่า

การแยกทาง

อี	เอ็กซ์	เอ็กซ์	โอ	โอ
เอ็น	เอ็กซ์	โอ	เอ็กซ์	โอ
อี วี เอ็น	เอ็กซ์	เอ็กซ์	เอ็กซ์	โอ

การคูณ

เมื่อจัดการกับการดำเนินการบวกแล้ว เราก็ไปยังการคูณ (การรวมกัน) ลองใช้สัญกรณ์เดียวกันกับที่ให้ไว้ข้างต้นในการบวก เมื่อเขียน การคูณเชิงตรรกะจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "&" หรือตัวอักษร "I"

1. E=1, H=1 แล้ว E & H = 1 ถ้าทั้งคู่แสดงว่าการร่วมทั้งสองเป็นจริง
2. ถ้านิพจน์อย่างน้อยหนึ่งรายการเป็นเท็จ ผลลัพธ์ของการคูณเชิงตรรกะก็จะเป็นเท็จเช่นกัน

• E=1, H=0 ดังนั้น E & H = 0
• E=0, H=1 จากนั้น E & H = 0
• E=0, H=0, E และ H ทั้งหมด = 0

การเชื่อมต่อ

อี	เอ็กซ์	เอ็กซ์	0	0
เอ็น	เอ็กซ์	0	เอ็กซ์	0
อีแอนด์เอ็น	เอ็กซ์	0	0	0

ผลที่ตามมา

การดำเนินการเชิงตรรกะของนัย (นัย) เป็นหนึ่งในตรรกะที่ง่ายที่สุดในตรรกะทางคณิตศาสตร์ มันขึ้นอยู่กับสัจพจน์เดียว - การโกหกไม่สามารถติดตามจากความจริงได้

1. E = 1, H = ดังนั้น E -> H = 1 หากคู่รักรักกันก็สามารถจูบได้ - จริง
2. E = 0, H = 1 จากนั้น E -> H = 1 หากคู่รักไม่รักกันก็สามารถจูบได้ - ก็เป็นจริงได้เช่นกัน
3. E = 0, H = 0 จากนี้ E -> H = 1 หากคู่รักไม่รักกันก็จะไม่จูบกัน - นี่เป็นเรื่องจริงเช่นกัน
4. E = 1, H = 0 ผลลัพธ์จะเป็น E -> H = 0 ถ้าคู่รักรักกันแสดงว่าไม่จูบกันเป็นเรื่องโกหก

เพื่อให้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้น เรายังนำเสนอตารางความจริงด้วย

ความเท่าเทียมกัน

การดำเนินการสุดท้ายที่พิจารณาจะเป็นความเท่าเทียมหรือความเท่าเทียมกันของเอกลักษณ์ทางตรรกะ ในข้อความสามารถกำหนดเป็น “...ถ้าและเท่านั้นหาก...” จากสูตรนี้ เราจะเขียนตัวอย่างสำหรับตัวเลือกดั้งเดิมทั้งหมด

1. A=1, B=1 แล้ว A≡B = 1 คนๆ หนึ่งกินยาเม็ดเฉพาะในกรณีที่เขาป่วย (จริง)
2. A = 0, B = 0 ผลก็คือ A≡B = 1 คนไม่กินยาถ้าเขาไม่ป่วย (จริง)
3. A = 1, B = 0 ดังนั้น A≡B = 0 คน ๆ หนึ่งกินยาถ้าเขาไม่ป่วย (โกหก)
4. A = 0, B = 1 จากนั้น A≡B = 0 คนไม่กินยาถ้าและเฉพาะในกรณีที่เขาป่วย (โกหก)

คุณสมบัติ

ดังนั้นเมื่อพิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์แล้วเราสามารถเริ่มศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของมันได้ เช่นเดียวกับในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการเชิงตรรกะมีลำดับการประมวลผลของตัวเอง ในนิพจน์บูลีนขนาดใหญ่ การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน หลังจากนั้นสิ่งแรกที่เราทำคือนับค่าการปฏิเสธทั้งหมดในตัวอย่าง ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการร่วมและการแตกแยก หลังจากนี้เราจึงดำเนินการตามผลที่ตามมาและสุดท้ายคือความเท่าเทียมกัน ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ เพื่อความชัดเจน

ก กับ B & ฌB -> B ≡ ก

ลำดับของการกระทำมีดังนี้

1. วี&(ฌวี)
2. เอ วี(B&(âB))
3. (ก(ญ(บี)))->B
4. ((ก วี(B&(ฌB)))->B)≡A

เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ เราจะต้องสร้างตารางความจริงแบบขยาย เมื่อสร้างมันขึ้นมาโปรดจำไว้ว่าควรวางคอลัมน์ตามลำดับเดียวกันกับที่จะดำเนินการ

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ก	ใน				(ก(ญ(บี)))->B	((ก วี(B&(ฌB)))->B)≡A
เอ็กซ์	โอ	เอ็กซ์	โอ	เอ็กซ์	เอ็กซ์	เอ็กซ์
เอ็กซ์	เอ็กซ์	โอ	โอ	เอ็กซ์	เอ็กซ์	เอ็กซ์
โอ	โอ	เอ็กซ์	โอ	โอ	เอ็กซ์	โอ
โอ	เอ็กซ์	โอ	โอ	โอ	เอ็กซ์	โอ

ดังที่เราเห็นผลลัพธ์ของการแก้ไขตัวอย่างจะเป็นคอลัมน์สุดท้าย ตารางความจริงช่วยแก้ปัญหาข้อมูลอินพุตที่เป็นไปได้

บทสรุป

บทความนี้ตรวจสอบแนวคิดบางประการเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์ คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะ และการดำเนินการเชิงตรรกะด้วย มีตัวอย่างง่ายๆ สำหรับการแก้ปัญหาในตรรกะทางคณิตศาสตร์และตารางความจริงที่จำเป็นเพื่อทำให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้น

การรวมกันหรือการคูณเชิงตรรกะ (ในทฤษฎีเซต นี่คือจุดตัด)

การรวมเป็นนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงก็ต่อเมื่อนิพจน์ทั่วไปทั้งสองเป็นจริงเท่านั้น สถานการณ์นี้เป็นไปได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ในกรณีอื่น ๆ ทั้งหมดการรวมกันเป็นเท็จ

สัญลักษณ์: &, $\wedge$, $\cdot$

ตารางความจริงสำหรับการร่วม

ภาพที่ 1.

คุณสมบัติของการรวม:

1. ถ้านิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งรายการของการรวมเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การรวมทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านี้
2. ถ้านิพจน์ทั้งหมดของการรวมเป็นจริงกับชุดของค่าตัวแปรบางค่า การรวมทั้งหมดก็จะเป็นจริงเช่นกัน
3. ความหมายของการรวมนิพจน์ที่ซับซ้อนทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับในการเขียนนิพจน์ย่อยที่ใช้ (เช่น การคูณในคณิตศาสตร์)

การแตกแยกหรือการบวกเชิงตรรกะ (ในทฤษฎีเซต นี่คือการรวม)

การแยกจากกันเป็นนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งมักจะเป็นจริงเสมอ ยกเว้นเมื่อนิพจน์ทั้งหมดเป็นเท็จ

สัญกรณ์: +, $\vee$

ตารางความจริงสำหรับการแยกส่วน

รูปที่ 2.

คุณสมบัติของการแยกทาง:

1. ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในนิพจน์ย่อยของการแยกส่วนเป็นจริงกับชุดของค่าตัวแปรบางค่า ดังนั้นการแยกส่วนทั้งหมดจะใช้ค่าจริงสำหรับนิพจน์ย่อยชุดนี้
2. ถ้านิพจน์ทั้งหมดจากรายการการแยกส่วนบางค่าเป็นเท็จ การแยกนิพจน์เหล่านี้ทั้งหมดจะเป็นเท็จด้วย
3. ความหมายของการแยกส่วนทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนนิพจน์ย่อย (เช่นในคณิตศาสตร์ - การบวก)

การปฏิเสธ การปฏิเสธเชิงตรรกะ หรือการผกผัน (ในทฤษฎีเซต นี่คือการปฏิเสธ)

การปฏิเสธหมายความว่าอนุภาค NOT หรือคำว่า FALSE ถูกเพิ่มเข้าไปในนิพจน์เชิงตรรกะดั้งเดิม อะไร และผลที่ได้คือว่าหากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นจริง การปฏิเสธของนิพจน์ดั้งเดิมจะเป็นเท็จ และในทางกลับกัน หากนิพจน์ดั้งเดิม เป็นเท็จ จากนั้นการปฏิเสธจะเป็นจริง

สัญลักษณ์: ไม่ใช่ $A$, $\bar(A)$, $€A$

ตารางความจริงสำหรับการผกผัน

รูปที่ 3.

คุณสมบัติของการปฏิเสธ:

“การปฏิเสธสองครั้ง” ของ $€A$ เป็นผลมาจากข้อเสนอ $A$ นั่นคือ มันเป็นตรรกะซ้ำซากในตรรกะที่เป็นทางการ และเท่ากับค่าในตรรกะบูลีน

นัยหรือผลที่ตามมาเชิงตรรกะ

ความหมายโดยนัยคือการแสดงออกทางตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงในทุกกรณี ยกเว้นเมื่อความจริงตามหลังความเท็จ นั่นคือ การดำเนินการเชิงตรรกะนี้เชื่อมโยงนิพจน์ตรรกะง่ายๆ สองนิพจน์ โดยนิพจน์แรกคือเงื่อนไข ($A$) และนิพจน์ที่สอง ($A$) เป็นผลมาจากเงื่อนไข ($A$)

สัญลักษณ์: $\to$, $\Rightarrow$.

ตารางความจริงสำหรับความหมาย

รูปที่ 4.

คุณสมบัติของความหมาย:

1. $A \ถึง B = â \vee B$
2. ความหมาย $A \to B$ จะเป็นเท็จ หาก $A=1$ และ $B=0$
3. ถ้า $A=0$ ดังนั้นนัย $A \to B$ จะเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ $B$ (จริงอาจต่อจากเท็จ)

ความเท่าเทียมกันหรือความเท่าเทียมกันเชิงตรรกะ

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงสำหรับค่าที่เท่ากันของตัวแปร $A$ และ $B$

สัญลักษณ์: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$

ตารางความจริงเพื่อความเท่าเทียมกัน

รูปที่ 5.

คุณสมบัติความเท่าเทียมกัน:

1. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงกับชุดค่าที่เท่ากันของตัวแปร $A$ และ $B$
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

การแยกส่วนที่เข้มงวดหรือการบวกแบบโมดูโล 2 (ในทฤษฎีเซต นี่คือการรวมกันของสองเซตโดยไม่มีจุดตัดกัน)

การแยกส่วนที่เข้มงวดเป็นจริงหากค่าของอาร์กิวเมนต์ไม่เท่ากัน

สำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ หมายความว่าการนำวงจรไปใช้สามารถทำได้โดยใช้องค์ประกอบมาตรฐานเพียงชิ้นเดียว (แม้ว่าจะเป็นองค์ประกอบที่มีราคาแพงก็ตาม)

ลำดับของการดำเนินการเชิงตรรกะในนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

1. การผกผัน (การปฏิเสธ);
2. การรวมกัน (การคูณเชิงตรรกะ);
3. การแยกทางและการแยกทางอย่างเข้มงวด (การบวกเชิงตรรกะ);
4. ความหมาย (ผลที่ตามมา);
5. ความเท่าเทียมกัน (ตัวตน)

หากต้องการเปลี่ยนลำดับการดำเนินการทางลอจิคัลที่ระบุ คุณต้องใช้วงเล็บ

คุณสมบัติทั่วไป

สำหรับชุดของตัวแปรบูลีน $n$ จะมีค่าที่แตกต่างกัน $2^n$ พอดี ตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะของตัวแปร $n$ ประกอบด้วยคอลัมน์ $n+1$ และแถว $2^n$

⊃ อาจมีความหมายเหมือนกับ ⇒ (สัญลักษณ์อาจหมายถึงซูเปอร์เซตก็ได้)

ยู+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \ลูกศรขวา)
→ (\displaystyle \ถึง )\ถึง
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \นัย )\หมายถึง

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \ลูกศรซ้าย )

ยู+0028 ยู+0029 () () (\displaystyle (~)) () ยู+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash ยู+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vแดชป้ายบอกทางสำหรับตัวดำเนินการ AND-NOT

U+22A7 ⊧ ความหมาย (ผลลัพธ์เชิงตรรกะ): คือ รุ่นสำหรับ...- ตัวอย่างเช่น A ⊧ B หมายความว่า A หมายถึง B ในรูปแบบใดๆ ที่ A ⊧ B ถ้า A เป็นจริง B ก็เป็นจริง

U+22A8 ⊨ จริง: จริง

U+22AC ⊬ ไม่เอาท์พุต: การปฏิเสธ ⊢, สัญลักษณ์ ลดไม่ได้, ตัวอย่างเช่น, ต ⊬ ปหมายความว่า " ปไม่ใช่ทฤษฎีบทใน ต»

U+22AD ⊭ เท็จ: ไม่จริง

U+22BC ⊼ NAND: ตัวดำเนินการ NAND อื่นสามารถเขียนเป็น ∧ ได้เช่นกัน

U+22BD ⊽ NOR: ตัวดำเนินการพิเศษ OR สามารถเขียนเป็น V ได้

U+22C4 ⋄ Diamond: ตัวดำเนินการโมดอลสำหรับ "เป็นไปได้ว่า" "ไม่จำเป็นต้องไม่" หรือ "สม่ำเสมอ" น้อยมาก (ในตรรกะโมดอลส่วนใหญ่ ตัวดำเนินการถูกกำหนดเป็น "€◻ฌ")

U+22C6 ⋆ เครื่องหมายดอกจัน: มักใช้เป็นตัวดำเนินการพิเศษ

U+22A5 ⊥ ปุ่มขึ้น หรือ U+2193 ↓ ลูกศรลง: ลูกศรเจาะ สัญลักษณ์ XOR บางครั้ง "⊥" ใช้สำหรับความขัดแย้งหรือไร้สาระ

• U+2310 ⌐ ยกเลิกแล้ว ไม่

ตัวดำเนินการต่อไปนี้ไม่ค่อยได้รับการสนับสนุนโดยแบบอักษรมาตรฐาน หากคุณต้องการใช้แบบอักษรเหล่านี้บนเพจของคุณ คุณควรฝังแบบอักษรที่จำเป็นเสมอเพื่อให้เบราว์เซอร์สามารถแสดงอักขระได้โดยไม่ต้องติดตั้งแบบอักษรบนคอมพิวเตอร์ของคุณ

โปแลนด์และเยอรมนี

ในโปแลนด์ บางครั้งตัวระบุปริมาณสากลจะเขียนเป็น ∧ (\displaystyle \ลิ่ม)และปริมาณการดำรงอยู่เป็น ∨ (\displaystyle \vee)- สิ่งเดียวกันนี้พบได้ในวรรณคดีเยอรมัน

กลับ