กล่าวกันว่าสองสำนวนมีความเท่ากัน ในชุดนี้หากพวกเขามีความหมายในชุดนี้และค่าที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเท่ากัน
ความเท่าเทียมกันที่ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันเรียกว่านิพจน์ ตัวตน.
เรียกว่าการแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันกับนิพจน์ที่กำหนดในชุดที่กำหนด การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน
งาน.ค้นหาขอบเขตของนิพจน์
สารละลาย.เนื่องจากนิพจน์เป็นเศษส่วน ในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ คุณต้องค้นหาค่าเหล่านั้นของตัวแปร เอ็กซ์โดยที่ตัวส่วนกลายเป็นศูนย์และกำจัดพวกมันออก แก้สมการได้แล้ว เอ็กซ์ 2 - 9 = 0 เราพบว่า เอ็กซ์= -3 และ เอ็กซ์= 3 ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความของนิพจน์นี้จึงประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ -3 และ 3 หากเราแทนด้วย เอ็กซ์แล้วเราก็สามารถเขียนได้ว่า:
เอ็กซ์= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥)
งาน.เป็นสำนวนและ เอ็กซ์- 2 เท่ากัน: a) ในชุด ร- b) บนเซตของจำนวนเต็มที่แตกต่างจากศูนย์?
สารละลาย.ก) ในชุด รสำนวนเหล่านี้ไม่เท่ากันตั้งแต่เมื่อไหร่ เอ็กซ์= 0 การแสดงออกไม่มีความหมายและการแสดงออก เอ็กซ์- 2 มีค่า -2
b) สำหรับเซตของจำนวนเต็มอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ นิพจน์เหล่านี้จะเท่ากัน เนื่องจาก = 
.
งาน.อยู่ที่ค่าไหน. เอ็กซ์ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้คือตัวตน:
ก) 
- ข) .
สารละลาย.ก) ความเท่าเทียมกันคืออัตลักษณ์ ถ้า ;
b) ความเท่าเทียมกันคืออัตลักษณ์ ถ้า .
ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันสองประการ:
1. ก 12 *ก 3 = ก 7 *ก 8
ความเท่าเทียมกันนี้จะคงไว้สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร a ช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับความเท่าเทียมกันนั้นจะเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
2. ก 12: ก 3 = ก 2 *ก 7
อสมการนี้จะเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร a ยกเว้นค่าเท่ากับศูนย์ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับอสมการนี้คือชุดของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์
สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถโต้แย้งได้ว่ามันจะเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a ความเท่าเทียมกันในคณิตศาสตร์เรียกว่า ตัวตน.
แนวคิดเรื่องอัตลักษณ์
ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร หากคุณแทนที่ค่าที่ถูกต้องลงในความเท่าเทียมกันนี้แทนตัวแปร คุณควรได้รับความเท่าเทียมกันที่เป็นตัวเลขที่ถูกต้อง
เป็นที่น่าสังเกตว่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน ข้อมูลประจำตัว เช่น จะเป็นคุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลข
3. ก + ข = ข + ก;
4. ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค;
6. ก*(ข*ค) = (ก*ข)*ค;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. ก*(-1) = -ก
ถ้าสองนิพจน์สำหรับตัวแปรที่ยอมรับได้เท่ากันตามลำดับ นิพจน์ดังกล่าวจะถูกเรียก เท่าเทียมกัน- ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนของนิพจน์ที่เท่ากัน:
1. (ก 2) 4 และ 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) และ -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) และ x 10
เราสามารถแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยนิพจน์อื่นที่เหมือนกันกับนิพจน์แรกได้เสมอ การทดแทนดังกล่าวจะเป็นการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์
ตัวอย่างของตัวตน
ตัวอย่างที่ 1: ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เหมือนกัน:
1. ก + 5 = 5 + ก;
2. ก*(-b) = -a*b;
3. 3*ก*3*ข = 9*ก*ข;
ไม่ใช่ทุกสำนวนที่แสดงข้างต้นจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว จากความเสมอภาคเหล่านี้ มีเพียง 1, 2 และ 3 ความเท่าเทียมกันเท่านั้นที่เป็นอัตลักษณ์ ไม่ว่าเราจะแทนที่ตัวเลขใดก็ตาม แทนที่จะเป็นตัวแปร a และ b เรายังคงได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง
แต่ความเท่าเทียมกัน 4 ประการไม่ใช่ตัวตนอีกต่อไป เนื่องจากความเท่าเทียมกันนี้จะไม่ถือเป็นค่าที่ถูกต้องทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ด้วยค่า a = 5 และ b = 2 จะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:
ความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นความจริง เนื่องจากเลข 3 ไม่เท่ากับเลข -3
ทั้งสองส่วนมีการแสดงออกที่เท่ากัน ข้อมูลประจำตัวแบ่งออกเป็นตัวอักษรและตัวเลข
การแสดงออกถึงตัวตน
เรียกว่านิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์ เหมือนกัน(หรือ เท่าเทียมกัน) หากค่าตัวเลขใด ๆ ของตัวอักษรจะมีค่าตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น นิพจน์:
x(5 + x) และ 5 x + x 2
ทั้งสองนำเสนอนิพจน์สำหรับค่าใดๆ xจะเท่ากันจึงจะเรียกว่าเท่ากันหรือเท่ากันก็ได้
นิพจน์ตัวเลขที่เท่ากันสามารถเรียกว่าเหมือนกันได้ ตัวอย่างเช่น:
20 - 8 และ 10 + 2
ตัวอักษรและตัวเลขประจำตัว
ตัวตนที่แท้จริง- นี่คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกันโดยทั้งสองฝ่ายมีนิพจน์เท่ากัน เช่น
(ก + ข)ม = เช้า + บีเอ็ม
(ก + ข) 2 = ก 2 + 2เกี่ยวกับ + ข 2
เอกลักษณ์เชิงตัวเลขคือความเท่าเทียมกันที่มีเฉพาะตัวเลขที่แสดงเป็นตัวเลขซึ่งทั้งสองฝ่ายมีค่าตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
การเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่เหมือนกัน
การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดเป็นการเปลี่ยนแปลงนิพจน์พีชคณิตหนึ่งไปสู่อีกนิพจน์หนึ่ง ซึ่งเหมือนกับนิพจน์แรก
เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ วงเล็บเปิด วางตัวประกอบร่วมไว้นอกวงเล็บ และในหลายกรณี นิพจน์บางรายการจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์อื่นที่เท่ากัน เรียกว่าการแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งเท่ากันกับนิพจน์นั้น การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือเพียงแค่ เปลี่ยนการแสดงออก- การแปลงนิพจน์ทั้งหมดจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข
ลองพิจารณาการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันโดยใช้ตัวอย่างการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x
หลังจากที่เราจัดการกับแนวคิดเรื่องอัตลักษณ์แล้ว เราก็สามารถศึกษาสำนวนที่เหมือนกันได้ จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่ออธิบายว่ามันคืออะไร และเพื่อแสดงพร้อมตัวอย่างว่าสำนวนใดจะเหมือนกันกับสำนวนอื่น
นิพจน์ที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน: คำจำกัดความ
แนวคิดเรื่องนิพจน์ที่เท่าเทียมกันมักจะถูกศึกษาร่วมกับแนวคิดเรื่องอัตลักษณ์โดยเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความพื้นฐานที่นำมาจากหนังสือเรียนเล่มเดียว:
คำจำกัดความ 1
เท่าเทียมกันจะมีการแสดงออกซึ่งกันและกันซึ่งค่าจะเหมือนกันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรที่รวมอยู่ในองค์ประกอบของพวกเขา
นอกจากนี้นิพจน์ตัวเลขที่ค่าเดียวกันจะสอดคล้องกันจะถือว่าเท่ากัน
นี่เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างกว้างซึ่งจะเป็นจริงสำหรับนิพจน์จำนวนเต็มทั้งหมดซึ่งความหมายไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของตัวแปรเปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องชี้แจงคำจำกัดความนี้ในภายหลัง เนื่องจากนอกเหนือจากจำนวนเต็มแล้ว ยังมีนิพจน์ประเภทอื่นที่ไม่สมเหตุสมผลกับตัวแปรบางตัวอีกด้วย สิ่งนี้ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องการยอมรับและความไม่ยอมรับของค่าตัวแปรบางค่า รวมถึงความจำเป็นในการกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาต ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่ประณีต
คำจำกัดความ 2
การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน– นี่คือนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าที่อนุญาตของตัวแปรที่รวมอยู่ในองค์ประกอบ นิพจน์ตัวเลขจะเท่ากันหากค่าเท่ากัน
วลี "สำหรับค่าที่ถูกต้องของตัวแปร" ระบุค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ทั้งสองนิพจน์จะเหมาะสม เราจะอธิบายประเด็นนี้ในภายหลังเมื่อเรายกตัวอย่างสำนวนที่เท่ากัน
คุณยังสามารถระบุคำจำกัดความต่อไปนี้ได้:
คำจำกัดความ 3
นิพจน์ที่เท่ากันคือนิพจน์ที่อยู่ในเอกลักษณ์เดียวกันทางด้านซ้ายและด้านขวา
ตัวอย่างสำนวนที่เหมือนกันเท่ากัน
ลองดูตัวอย่างบางส่วนของสำนวนดังกล่าวโดยใช้คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น
เริ่มต้นด้วยนิพจน์ตัวเลข
ตัวอย่างที่ 1
ดังนั้น 2 + 4 และ 4 + 2 จะเท่ากัน เนื่องจากผลลัพธ์จะเท่ากัน (6 และ 6)
ตัวอย่างที่ 2
ในทำนองเดียวกันนิพจน์ 3 และ 30 จะเท่ากัน: 10, (2 2) 3 และ 2 6 (ในการคำนวณค่าของนิพจน์สุดท้ายคุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของดีกรี)
ตัวอย่างที่ 3
แต่นิพจน์ 4 - 2 และ 9 - 1 จะไม่เท่ากันเนื่องจากค่าต่างกัน
เรามาดูตัวอย่างสำนวนตามตัวอักษรกันดีกว่า a + b และ b + a จะเท่ากันและไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร (ความเท่าเทียมกันของนิพจน์ในกรณีนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก)
ตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างเช่น ถ้า a เท่ากับ 4 และ b เท่ากับ 5 ผลลัพธ์ก็จะยังเหมือนเดิม
อีกตัวอย่างหนึ่งของนิพจน์ที่มีตัวอักษรเท่ากันคือ 0 · x · y · z และ 0 ไม่ว่าตัวแปรในกรณีนี้จะเป็นค่าใดก็ตามเมื่อคูณด้วย 0 ก็จะได้ 0 นิพจน์ที่ไม่เท่ากันคือ 6 · x และ 8 · x เนื่องจากจะไม่เท่ากันสำหรับ x ใดๆ
ในกรณีที่พื้นที่ของค่าที่อนุญาตของตัวแปรตรงกันเช่นในนิพจน์ a + 6 และ 6 + a หรือ a · b · 0 และ 0 หรือ x 4 และ x และค่าของ นิพจน์นั้นเท่ากันสำหรับตัวแปรใด ๆ ดังนั้นนิพจน์ดังกล่าวจะถือว่าเท่ากัน ดังนั้น a + 8 = 8 + a สำหรับค่าใดๆ ของ a และ a · b · 0 = 0 ด้วยเช่นกัน เนื่องจากการคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 จะได้ผลลัพธ์เป็น 0 นิพจน์ x 4 และ x จะเท่ากันสำหรับ x ใดๆ จากช่วง [ 0 , + ∞)
แต่ช่วงของค่าที่ถูกต้องในนิพจน์หนึ่งอาจแตกต่างจากช่วงของอีกนิพจน์หนึ่ง
ตัวอย่างที่ 5
ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์สองตัว: x − 1 และ x - 1 · x x สำหรับช่วงแรกช่วงของค่าที่อนุญาตของ x จะเป็นชุดของจำนวนจริงทั้งหมดและสำหรับชุดที่สอง - ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์เพราะจากนั้นเราจะได้ 0 ใน ตัวส่วนและไม่ได้กำหนดการแบ่งดังกล่าว นิพจน์ทั้งสองนี้มีช่วงค่าทั่วไปที่เกิดจากจุดตัดของสองช่วงที่แยกจากกัน เราสามารถสรุปได้ว่าทั้งสองนิพจน์ x - 1 · x x และ x − 1 จะสมเหตุสมผลกับค่าจริงของตัวแปร ยกเว้น 0
คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนยังช่วยให้เราสรุปได้ว่า x - 1 · x x และ x − 1 จะเท่ากันสำหรับ x ใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 ซึ่งหมายความว่าในช่วงทั่วไปของค่าที่อนุญาตการแสดงออกเหล่านี้จะเท่ากัน แต่สำหรับ x จริงใด ๆ เราไม่สามารถพูดถึงความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันได้
หากเราแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งเท่ากันกับนิพจน์นั้น กระบวนการนี้เรียกว่าการแปลงข้อมูลระบุตัวตน แนวคิดนี้มีความสำคัญมากและเราจะพูดถึงรายละเอียดในบทความแยกต่างหาก
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
เมื่อได้รับแนวคิดเกี่ยวกับตัวตนแล้วจึงควรดำเนินการทำความคุ้นเคยต่อไป ในบทความนี้ เราจะตอบคำถามว่านิพจน์ที่เหมือนกันคืออะไร และใช้ตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจว่านิพจน์ใดเท่ากันและนิพจน์ใดไม่เท่ากัน
การนำทางหน้า
นิพจน์ที่เท่ากันคืออะไร?
คำจำกัดความของการแสดงออกที่เท่ากันนั้นให้ไว้ควบคู่ไปกับคำจำกัดความของอัตลักษณ์ สิ่งนี้เกิดขึ้นในชั้นเรียนพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในตำราเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 โดยผู้เขียน Yu. N. Makarychev มีการกำหนดสูตรต่อไปนี้:
คำนิยาม.
– นี่คือนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น นิพจน์ตัวเลขที่มีค่าเหมือนกันจะเรียกว่าเท่ากัน
คำจำกัดความนี้ใช้จนถึงเกรด 8 ซึ่งใช้ได้กับนิพจน์จำนวนเต็มเนื่องจากเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น และในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 คำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากันก็ได้รับการชี้แจง ให้เราอธิบายว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร
ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 การศึกษานิพจน์ประเภทอื่นเริ่มต้นขึ้นซึ่งแตกต่างจากนิพจน์ทั้งหมดอาจไม่สมเหตุสมผลกับค่าบางค่าของตัวแปร สิ่งนี้บังคับให้เราแนะนำคำจำกัดความของค่าที่อนุญาตและยอมรับไม่ได้ของตัวแปรตลอดจนช่วงของค่าที่อนุญาตของค่าตัวแปรของตัวแปรและด้วยเหตุนี้จึงต้องชี้แจงคำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากันเหมือนกัน
คำนิยาม.
เรียกว่าสองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน- นิพจน์ตัวเลขสองตัวที่มีค่าเท่ากันจะเรียกว่าเท่ากัน
ในคำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากันนี้ควรชี้แจงความหมายของวลี "สำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในค่าเหล่านั้น" มันแสดงถึงค่าของตัวแปรทั้งหมดซึ่งทั้งสองนิพจน์ที่เหมือนกันเท่ากันนั้นสมเหตุสมผลในเวลาเดียวกัน เราจะอธิบายแนวคิดนี้ในย่อหน้าถัดไปโดยดูตัวอย่าง
คำจำกัดความของการแสดงออกที่เท่ากันในหนังสือเรียนของ A. G. Mordkovich นั้นให้ความแตกต่างกันเล็กน้อย:
คำนิยาม.
การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน– สิ่งเหล่านี้คือการแสดงออกทางด้านซ้ายและด้านขวาของตัวตน
ความหมายของสิ่งนี้และคำจำกัดความก่อนหน้าตรงกัน
ตัวอย่างของนิพจน์ที่เท่ากัน
คำจำกัดความที่แนะนำในย่อหน้าก่อนหน้านี้ช่วยให้เราสามารถให้ได้ ตัวอย่างของการแสดงออกที่เท่ากัน.
เริ่มต้นด้วยนิพจน์ตัวเลขที่เท่ากัน นิพจน์ตัวเลข 1+2 และ 2+1 เท่ากันเนื่องจากสอดคล้องกับค่าที่เท่ากัน 3 และ 3 นิพจน์ 5 และ 30:6 ก็เท่ากันเช่นเดียวกับนิพจน์ (2 2) 3 และ 2 6 (ค่าของนิพจน์หลังจะเท่ากันโดยอาศัยอำนาจตาม ) แต่นิพจน์ตัวเลข 3+2 และ 3−2 ไม่เท่ากันเนื่องจากสอดคล้องกับค่า 5 และ 1 ตามลำดับและไม่เท่ากัน
ทีนี้ลองยกตัวอย่างนิพจน์ที่เหมือนกันกับตัวแปรกัน เหล่านี้คือนิพจน์ a+b และ b+a แท้จริงแล้วสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร a และ b นิพจน์ที่เขียนจะใช้ค่าเดียวกัน (ดังต่อไปนี้จากตัวเลข) ตัวอย่างเช่น ด้วย a=1 และ b=2 เรามี a+b=1+2=3 และ b+a=2+1=3 สำหรับค่าอื่น ๆ ของตัวแปร a และ b เราจะได้ค่าที่เท่ากันของนิพจน์เหล่านี้ด้วย นิพจน์ 0·x·y·z และ 0 ก็เท่ากันกับค่าใด ๆ ของตัวแปร x, y และ z แต่นิพจน์ 2 x และ 3 x ไม่เท่ากัน เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น เมื่อ x=1 ค่าของนิพจน์ไม่เท่ากัน แท้จริงแล้ว สำหรับ x=1 นิพจน์ 2 x เท่ากับ 2 x 1=2 และนิพจน์ 3 x เท่ากับ 3 x 1=3
เมื่อช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรในนิพจน์ตรงกัน เช่น ในนิพจน์ a+1 และ 1+a หรือ a·b·0 และ 0 หรือ และ และค่าของนิพจน์เหล่านี้ เท่ากันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจากพื้นที่เหล่านี้จากนั้นทุกอย่างชัดเจนที่นี่ - นิพจน์เหล่านี้เท่ากันกับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในตัวแปรเหล่านี้ ดังนั้น a+1≡1+a สำหรับ a ใดๆ นิพจน์ a·b·0 และ 0 จะเท่ากันกับค่าใดๆ ของตัวแปร a และ b และนิพจน์ และ จะเท่ากันทุกประการสำหรับ x ทั้งหมดของ ; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.