Формула утворює. Площа повної поверхні конуса дорівнює

Ми знаємо, що таке конус, спробуємо знайти площу його поверхні. Навіщо слід вирішувати таке завдання? Наприклад, потрібно зрозуміти, скільки тіста піде виготовлення вафельного ріжка? Або скільки цеглин знадобиться, щоб скласти цегляний дах замку?

Виміряти площу бічної поверхні конуса просто так не вийде. Але уявімо собі той самий ріжок, обмотаний тканиною. Щоб знайти площу шматка тканини, потрібно розрізати та розкласти її на столі. Вийде плоска фігура, її площу ми зможемо знайти.

Мал. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхню вздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Тепер "розмотаємо" бічну поверхню на площину. Отримуємо сектор. Центр цього сектора - вершина конуса, радіус сектора дорівнює утворює конуса, а довжина його дуги збігається з довжиною кола основи конуса. Такий сектор називається розгорткою бічної поверхні конуса (див. рис. 2).

Мал. 2. Розгорнення бічної поверхні

Мал. 3. Вимірювання кута в радіанах

Спробуємо знайти площу сектора за наявними даними. Спочатку введемо позначення: нехай кут при вершині сектора в радіанах (див. рис. 3).

З кутом при вершині розгортки нам доведеться часто стикатися у завданнях. Поки що спробуємо відповісти на запитання: а чи не може цей кут вийти більше 360 градусів? Тобто, чи не вийде так, що розгортка накладеться сама на себе? Звичайно ж ні. Доведемо це математично. Нехай розгортка "наклалася" сама на себе. Це означає, що довжина дуги розгортки більша за довжину кола радіуса . Але, як було зазначено, довжина дуги розгортки є довжина кола радіуса . А радіус основи конуса, зрозуміло, менше утворює, наприклад, тому, що катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу.

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль грає твірна , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Поряд із площею бічної поверхні можна знайти і площу повної поверхні. Для цього до площі бічної поверхні треба додати площу основи. Але основа - це коло радіусу, чия площа за формулою дорівнює.

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Мал. 4. Шуканий кут

Приклад 1. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор із кутом при вершині. Знайти цей кут, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи дорівнює 3 см (див. рис. 4).

Мал. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Приклад 2. Площа осьового перерізу конуса дорівнює, висота дорівнює. Знайти площу повної поверхні (див. рис. 6).

Мал. 1. Розріз конуса за твірною

Зробимо так само з конусом. «Розріжемо» його бічну поверхню вздовж будь-якої твірної, наприклад, (див. рис. 1).

Мал. 2. Розгорнення бічної поверхні

Мал. 3. Вимірювання кута в радіанах

Тоді згадаємо дві формули з курсу планіметрії: довжина дуги. Площа сектора: .

У нашому випадку роль грає твірна , а довжина дуги дорівнює довжині кола основи конуса, тобто . Маємо:

Остаточно отримуємо: .

Остаточно маємо: , де - радіус основи циліндра, - утворює.

Розв'яжемо пару завдань на наведені формули.

Мал. 4. Шуканий кут

Мал. 5. Прямокутний трикутник, що утворює конус

Першим дією, за теоремою Піфагора, знайдемо твірну: 5 см (див. рис. 5). Далі ми знаємо, що .

Тут представлені завдання з конусами, умова пов'язана з площею поверхні. Зокрема в деяких завданнях стоїть питання про зміну площі зі збільшенням (зменшенням) висоти конуса або радіуса його основи. Теорія на вирішення завдань в . Розглянемо такі завдання:

27135. Довжина кола основи конуса дорівнює 3, що утворює рівну 2. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Підставляємо дані:

75697. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворює збільшити у 36 разів, а радіус основи залишиться тим самим?

Площа бічної поверхні конуса:

Утворювальна збільшується в 36 разів. Радіус залишився тим самим, отже довжина кола основи не змінилася.

Значить площа бічної поверхні зміненого конуса матиме вигляд:

Таким чином, вона збільшиться у 36 разів.

*Залежність прямолінійна, тому це завдання легко можна вирішити усно.

27137. У скільки разів зменшиться площа бічної поверхні конуса, якщо радіус його основи зменшити у 1,5 раза?

Площа бічної поверхні конуса дорівнює:

Радіус зменшується в 1,5 рази, тобто:

Отримали, що площа бічної поверхні зменшилася у 1,5 рази.

27159. Висота конуса дорівнює 6, що утворює рівну 10. Знайдіть площу його повної поверхні, поділену на Пі.

Повна поверхня конуса:

Необхідно знайти радіус:

Відома висота і твірна, за теоремою Піфагора обчислимо радіус:

Таким чином:

Отриманий результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

76299. Площа повної поверхні конуса дорівнює 108. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.

Перетин проходить через середину висоти паралельно до основи. Значить радіус основи і утворює відсіченого конуса будуть у 2 рази менше радіусу та утворює вихідного конуса. Запишемо, чому дорівнює площа поверхні відсіченого конуса:

Отримали, що вона буде в 4 рази менша за площу поверхні вихідного, тобто 108:4 = 27.

*Оскільки вихідний і відсічений конус є подібними тілами, то також можна було скористатися властивістю подібності:

27167. Радіус основи конуса дорівнює 3, висота дорівнює 4. Знайдіть площу повної поверхні конуса, поділену на Пі.

Формула повної поверхні конуса:

Радіус відомий, необхідно знайти утворює.

За теоремою Піфагора:

Таким чином:

Результат розділимо на Пі та запишемо відповідь.

Завдання. Площа бічної поверхні конуса в чотири рази більша за площу основи. Знайдіть чому дорівнює косинус кута між утворюючим конусом і площиною основи.

Площа основи конуса дорівнює:

Тобто косинус дорівнюватиме:

Відповідь: 0,25

Вирішити самостійно:

27136. У скільки разів збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо його утворюючу збільшити у 3 рази?

27160. Площа бічної поверхні конуса вдвічі більша за площу основи. Знайдіть кут між утворюючим конусом і площиною основи. Відповідь дайте у градусах. .

27161. Площа повної поверхні конуса дорівнює 12. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть площу повної поверхні відсіченого конуса.

На цьому все. Успіху вам!

З повагою, Олександр.

*Діліться з друзями інформацією про сайт через соціальні мережі.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу із застосуванням елементів проблемно-розвивального методу навчання.

Цілі уроку:

пізнавальні:
- ознайомлення з новим математичним поняттям;
- формування нових ЗУН;
- формування практичних навичок розв'язання задач.
розвиваючі:
- розвиток самостійного мислення учнів;
- розвиток навичок правильної мови школярів.
виховні:
- виховання навичок роботи у колективі.

Обладнання уроку:магнітна дошка, комп'ютер, екран, мультимедійний проектор, конуса модель, презентація до уроку, роздатковий матеріал.

Завдання уроку (для учнів):

познайомитися з новим геометричним поняттям – конус;
вивести формулу для обчислення площі поверхні конуса;
навчитися застосовувати отримані знання під час вирішення практичних завдань.

Хід уроку

І етап. Організаційний.

Складання зошитів з домашньою перевірочною роботою з пройденої теми.

Учням пропонується дізнатися тему майбутнього уроку, розгадавши ребус (слайд 1):

Малюнок 1.

Оголошення учням теми та завдань уроку (слайд 2).

ІІ етап. Пояснення нового матеріалу.

1) Лекція вчителя.

На дошці – таблиця із зображенням конуса. Новий матеріал пояснюється супроводом програмного матеріалу «Стереометрія». На екрані з'являється тривимірне зображення конуса. Вчитель дає визначення конуса, розповідає про його елементи. (слайд 3). Йдеться про те, що конус – це тіло, утворене при обертанні прямокутного трикутника щодо катета. (Слайди 4, 5).З'являється зображення розгортки бічної поверхні конуса. (слайд 6)

2) Практична робота.

Актуалізація опорних знань: повторити формули для обчислення площі кола, площі сектора, довжини кола, довжини дуги кола. (слайди 7–10)

Клас поділяється на групи. Кожна група отримує вирізану з паперу розгортку бічної поверхні конуса (сектор кола з номером). Учні виконують необхідні вимірювання та обчислюють площу отриманого сектора. Інструкції щодо виконання роботи, питання – постановки проблем – з'являються на екрані (слайди 11–14). Результати обчислень представник кожної групи записує до заготовленої на дошці таблиці. Учасники кожної групи склеюють модель конуса з розгортки, що є у них. (слайд 15)

3) Постановка та вирішення проблеми.

Як обчислити площу бічної поверхні конуса, якщо відомі тільки радіус основи та довжина утворює конуса? (слайд 16)

Кожна група проводить необхідні вимірювання і намагається вивести формулу обчислення площі, що шукається за допомогою наявних даних. При виконанні цієї роботи школярі повинні помітити, що довжина кола основи конуса дорівнює довжині дуги сектора – розгортки бічної поверхні конуса. (слайди 17–21)Використовуючи необхідні формули, виводиться формула, що шукається. Міркування учнів мають виглядати приблизно таким чином:

Радіус сектора – розгортки дорівнює l,градусний захід дуги - φ. Площа сектора обчислюється за формулою довжина дуги, що обмежує цей сектор, дорівнює Радіус основи конуса R. Довжина кола, що лежить в основі конуса, дорівнює С = 2πR. Зауважимо, що Оскільки площа бічної поверхні конуса дорівнює площі розгортки його бічної поверхні, то

Отже, площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S БПК = πRl.

Після обчислення площі бічної поверхні моделі конуса за виведеною самостійно формулою представник кожної групи записує результат обчислень таблицю на дошці відповідно до номерів моделей. Результати обчислень у кожному рядку мають бути рівними. За цією ознакою вчитель визначає правильність висновків кожної групи. Таблиця результатів має виглядати так:

№ моделі	I завдання	II завдання

	(125/3)π ~ 41,67 π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Параметри моделей:

l=12 см, =120°
l=10 см, =150°
l=15 см, =120°
l=10 см, =170°
l=14 см, =110°

Наближеність обчислень пов'язані з похибками вимірів.

Після перевірки результатів виведення формул площ бічної та повної поверхонь конуса з'являється на екрані (слайди 22–26), учні ведуть записи у зошитах.

ІІІ етап. Закріплення дослідженого матеріалу.

1) Учням пропонуються Завдання для усного рішення на готових кресленнях.

Знайти площі повних поверхонь конусів, зображених на малюнках (слайди 27–32).

2) Питання:чи рівні площі поверхонь конусів, утворених обертанням одного прямокутного трикутника щодо різних катетів? Учні висувають гіпотезу та перевіряють її. Перевірка гіпотези здійснюється шляхом вирішення завдань та записується учнем на дошці.

Дано:Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;

ВАА", АВВ" - тіла обертання.

Знайти: S ППК 1 , S ППК 2 .

Малюнок 5. (слайд 33)

Рішення:

1) R=ВС = а; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн 1 = π а с+π а 2 = π а (а + с).

2) R=АС = b; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн 2 = π b з + π b 2 = π b (b + с).

Якщо S ППК 1 = S ППК 2 то а 2 +ас = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0 (a-b)(a+b+c) = 0.Т.к. a, b, c –позитивні числа (довжини сторін трикутника), тарність вірна тільки у випадку, якщо a =b.

Висновок:Площі поверхонь двох конусів рівні лише у разі рівності катетів трикутника. (слайд 34)

3) Розв'язання задачі з підручника: №565.

ІV етап. Підбиття підсумків уроку.

Домашнє завдання:п.55, 56; №548, №561. (Слайд 35)

Оголошення поставлених оцінок.

Висновки у процесі уроку, повторення основних відомостей, отриманих під час уроку.

Література (слайд 36)

Геометрія 10-11 класи - Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін, М., «Освіта», 2008.
«Математичні ребуси та шаради» – Н.В. Удальцова, бібліотечка "Першого вересня", серія "МАТЕМАТИКА", випуск 35, М., Чисті ставки, 2010.