О целебных свойствах аира болотного стало известно населению Руси еще в ХII веке, когда его завезли в страну татары. А вот родиной столь чудного растения считается Китай и Индия. Изначально аир использовался, как своеобразный очиститель водоемов. Было принято считать, что вода, в которой растет растение, является совершенно безопасной для употребления.
Что касается особенностей структуры данного растения, то они действительно присутствуют. Статное ползучее корневище не позволяет спутать аир ни с каким другим растением. В разрезе корневище обладает розовато-белым оттенком, излучает приятный аромат. На вкус оно сладковато-горькое, после употребления остается специфическое послевкусие. Отыскать аир достаточно просто, ведь он растет вблизи водоемов в России, Украине, Белоруссии: по берегам рек, озер, ов, болот и тихих заводей.
Применение корней аира в народной медицине
Сразу же после того как о данном растении стало известно всему миру, его стали активно использовать в качестве сырья народные целители. Прослеживается применение аира болотного и на сегодняшний день, но в лечебных целях используется только корень растения. Периодом сбора корневища считаются осенние месяца — сентябрь-октябрь, а также начало весны. Для осуществления столь важного процесса люди, занимающиеся сбором, берут с собой вилы и лопату, поскольку только посредством этих приспособлений можно извлечь корни.
После первого этапа, сборщики приступают к очищению корней от остатков земли, затем удаляют мелкие корешки, листья и стебли. Как только подготовительные работы окончены, корни вывешивают в проветриваемое помещение в тень на несколько дней, чтобы они хорошо проветрились. И это еще не все: после проветривания, корни режут на кусочки длиной в 20 см и сушат чаще всего на чердаке.
Что касается температуры сушения, то здесь есть некоторые ограничения: она не должна быть чрезмерно высокой, поскольку в таких условиях из корней испаряются эфирные масла и тем самым они утрачивают свою целебную силу. Хранят высушенные корни, как правило, в банке или же коробке в сухом помещении.
Лечебные свойства аира болотного
О том, что использование лечебных свойств корней аира достаточно активно набирает обороты уже известно, а вот в чем причина такой активности сейчас разберемся.
Эфирные масла, гликозиды, смолы, холины, алкалоида каламина, витамин С, органические кислоты, йод — всеми этими веществами богато столь популярное растение. Следовательно, оно просто не может не приносить пользу человеческому организму, ведь его корневища — это бесценный источник жизненно важных элементов.
Чтобы в полной мере оценить благотворное действие аира болотного, целесообразно выделить перечень его фармакологических качеств:
Активизирование работы нервной системы;
Тонизирование всех органов;
Налаживание функционирования желчного пузыря;
Улучшение пищеварения;
Антисептическое воздействие при большинстве инфекционных заболеваний;
Стимулирование выработки желчи.
Поскольку аир обладает такими полезными свойствами, его стали активно применять при производстве некоторых медикаментов. А вот в народной медицине аир болотный входит в состав многих рецептов, которые предназначены для устранения недостатков в функционировании печени, спинного мозга, снятия воспаления десен.
Малярия, гепатит, ревматизм, желтуха — со всеми этими недугами также можно справиться посредством отвара или настоя из корней. Актуально лечение корнем аира и в случае отсутствия аппетита, при учащенном сердцебиении, плохом запахе из ротовой полости. Поможет он и при проблемах со зрением, памятью и даже слухом.
Используют настои корня аира болотного и с целью прекращения выпадения волос, промывают отваром гнойные раны, полоскают горло при ангине. А чтобы избавиться от изжоги, достаточно пожевать несколько минут кусочек корневища и недуг исчезнет.
Эффективные рецепты из корневищ аира
Насчитывается огромное количество рецептов на основе корня аира, но выделить стоит лишь самые эффективные из них:
Отвар корней аира: измельченный корень в количестве трех столовых ложек необходимо залить двумя стаканами кипятка и поставить на медленный огонь, варить в течение 30 минут. Дневная норма — 300 мл отвара: по 100 мл 3 раза в день.
Отвар №2 готовится для приема ванны и используется для лечения кожных заболеваний. 300 гр измельченных корней аира варятся 10 минут в 5 литрах воды. После остывания и фильтрации, отвар переливается в теплую ванну.
Водный настой корня аира: одну столовую ложку мелко измельченных корневищ залить стаканом кипятка и дать настояться в термосе 30-60 минут. Разовая доза - одна столовая ложка.
Спиртовая настойка корня аира: одну столовую ложку корней необходимо поместить в емкость и залить стаканом водки. Выдержать настой нужно минимум неделю. Для лечения пьют настойку по 15 капель, разбавляя в воде, после еды.
Таким образом, применение аира болотного актуально для каждого человека, ведь это незаменимый помощник в борьбе со многими назойливыми недугами. Но есть одно противопоказание для его употребления - это гастрит с повышенной кислотностью.
Трава и корень одуванчика богаты микроэлементами и витаминами. Благодаря этому при помощи растения можно вылечить ряд недугов.
Лечебные свойства одуванчика
В зеленых листьях растения очень много витаминов, их количество в несколько раз превышает концентрацию полезных веществ в известных овощах. С лечебной целью применяют отвары, настойки и даже растение в свежем виде. При помощи одуванчика можно вылечить такие недуги: диабет разных типов, проблемы с печенью и желчным пузырем, цистит, истерию, неврозы, неправильный обмен веществ, недуги суставов, авитаминоз, заболевания кожи.
Кроме этого, растение часто применяют для очистки организма от шлаков. Длительный прием настоев и отваров позволяет избавиться от проблем с кровью. Одуванчик оказывает мочегонный и желчегонный эффект. Именно поэтому его применяют для лечения недугов печени и почек. Отвары цветков и корней применяют для лечения экземы, себореи и дерматитов.
Стоит отметить, что растение часто используют в свежем виде. Сок одуванчика отлично справляется с бородавками и папилломами. Акне тоже можно смазывать соком стеблей растения. Если вы страдаете дисбактериозом, вздутием живота и газами, примите отвар из корней одуванчика. Вещества в составе отвара связывают пузырьки газа и выводят их из организма. Недуги, связанные с обменом веществ, тоже лечат одуванчиком.
Состав корня одуванчика
Состав растения - разнообразный. В одуванчике содержатся витамины, горечи, жирные кислоты и тритерпеновые соединения.
Химический состав корня одуванчика:
- Терпеновые соединения . Снижают температуру и оказывают антибактериальное действие.
- Горечи одуванчика . Стимулируют выработку желудочного сока, повышая аппетит. Стимуляция аппетита осуществляется за счет раздражения задней части языка. При помощи импульсов сигнал о раздражении передается в головной мозг. Именно благодаря этому человеку хочется кушать. Кроме этого, горечь производит желчегонный эффект. Стимулирует отхаркивание мокроты при обструктивных бронхитах.
- Глицериды непредельных жирных кислот . Эти вещества способствуют снижению уровня холестерина в крови и жирорастворимых шлаков. Свободные связи жирных кислот притягивают молекулы холестерина и других жирорастворимых вредных веществ.
- Инулин . Природный полисахарид, который снижает уровень сахара в крови. Укрепляет стенки внутренних органов и улучшает адсорбционные свойства.
- Холин (витамин В4) . Стимулирует выработку гемоглобина и участвует в процессах расщепления холестерина. Улучшает иммунитет и препятствует повреждению печени при частом приеме алкоголя и жирной пищи. Предупреждает развитие недугов нервной системы.
- Каротиноиды . Предшественники каротина. Они нормализуют обмен веществ и улучшают зрение.
- Стерин . Вещество группы липоидов, которые входят в жиры. Данная составляющая одуванчика оказывает желчегонный и мочегонный эффект.
- Микроэлементы . Они поддерживают кислотно-щелочной баланс крови и плазмы на нужном уровне. От их количества зависит иммунитет и усваиваемость некоторых веществ, которые употребляются вместе с пищей.
Польза корня одуванчика
Благодаря содержанию кальция корни одуванчика рекомендуют использовать в составе комплексной терапии при лечении остеопороза и ломкости ногтей. Витамины А, В и С помогают улучшить сопротивляемость организма по отношению к вирусам и бактериальным инфекциям.
Отвар из цветов и листьев полезен для волос. С целью оздоровления шевелюры после мытья ополаскивают отваром из солнечного цветка. Также можно втирать снадобье в кожу головы. Это улучшает кровообращение и стимулирует регенерацию волосяных фолликулов.
Если после вирусного заболевания у вас появился бронхит, не расстраивайтесь. Несколько раз в день пейте лекарство из корней одуванчика. Оно разжижает мокроту и способствует ее выведению. Не используйте средство при сухом кашле, так как оно провоцирует кашлевой рефлекс. Отвар из корней одуванчика стимулирует выработку интерферона, что совсем нелишнее в период эпидемии вируса гриппа.
Принимайте отвар при авитаминозе. Включите в свое меню не только корень одуванчика, но и листья. Для этого свежие листочки замочите в соленой воде и добавляйте как приправу в овощной салат.
Противопоказания к использованию корня одуванчика
Несмотря на пользу корней одуванчика, имеются противопоказания к их применению. Не стоит принимать лекарственные препараты на основе корней солнечного цветка при закупорке желчных протоков и язвенной болезни желудка. При передозировке возникает тошнота и рвота. Возможна диарея. В таких случаях лечение симптоматическое.
В период лактации можно использовать отвар из растения. Это средство усиливает лактацию и увеличивает количество грудного молока. Кроме того, лекарство помогает справиться с послеродовой депрессией. А вот настойку принимать запрещено.
Существуют люди с индивидуальной непереносимостью препарата. Перед приемом любого лекарства нужно употребить дозу в 3 раза меньше рекомендованной и посмотреть на реакцию организма. Если у вас не возникло сыпи, головокружения или отеков, можете смело принимать отвар и настойку из корней одуванчика.
Особенности применения корня одуванчика
Используют одуванчик в виде отваров, настоек и чаев. Иногда употребляют в пищу свежие листья растения. Из цветков варят джем.
Использование отвара из корня одуванчика
Отвар корней одуванчика можно использовать для лечения многих недугов. С его помощью удастся наладить обмен веществ и очистить кожу лица. Больные диабетом при помощи отвара смогут снизить дозы инсулина.
Применение отвара из корня одуванчика:
- Для похудения . Вещества в составе корней выводят из организма лишнюю воду и устраняют отеки. Отвар улучшает работу пищеварительного тракта и способствует очищению кишечника.
- Улучшение лактации . С этой целью используют смесь морковного сока и отвара из корешков солнечного цветка. В составе отвара содержится вещество, напоминающее по своему составу пролактин. Именно этот гормон способствует образованию молока.
- От прыщей . Отвар применяют вместо тоника для нормальной и комбинированной кожи. В составе жидкости содержатся компоненты, по своим свойствам сходные с антибиотиками. Благодаря этому болезнетворные микроорганизмы удаляются с поверхности лица.
- При сахарном диабете . Отвар одуванчика смешивают с соком подорожника и принимают внутрь. Смесь употребляют до приема пищи за 30 минут. Входящий в состав отвара инулин позволяет снизить количество используемого инсулина.
- Для снижения уровня холестерина . Для этого необходимо ежедневно готовить новую порцию снадобья. Принимают 3 раза в день после еды.
- Для уменьшения зубной боли . Для этого отваром из корней полощут рот. Вещество оказывает обезболивающий и успокаивающий эффект.
- При болезненных месячных . Для того чтобы уменьшить боль при менструации, отвар из корней солнечного цветка принимают 2 раза в день. Это нужно делать во второй фазе цикла, за 8 дней до месячных. Отвар помогает полностью отслоиться старому эндометрию от матки.
- Для лечения цистита . Отвар подкисляет мочу, снижая боль при мочеиспускании. Вещество производит антибактериальный эффект.
Настойка корней одуванчика
В отличие от отвара, это лекарство содержит спирт. Его можно приготовить самостоятельно или приобрести в аптеке. Чаще всего для приготовления настоя используют 70% спирт или обычный крепкий самогон.
Применение настойки одуванчика:
- В качестве мочегонного средства;
- Для улучшения кровообращения;
- Иммуномодулирующее средство;
- Для выведения токсинов из организма;
- Для растворения камней в почках;
- Для снижения веса;
- При сахарном диабете.
Для приготовления настойки вам нужно измельчить 20 г корней одуванчика и залить 100 мл спирта, крепостью 70%. Оставьте жидкость на 10 дней в темном месте. Ежедневно взбалтывайте смесь. По истечении времени процедите лекарство. Хранить вещество можно не больше 12 месяцев.
Как заварить корень одуванчика
Корень одуванчика заваривается разными способами. Его нередко сочетают с другими лекарственными травами и ингредиентами. Перед применением корень моют под проточной водой щеткой. После этого его высушивают в течение суток.
Способы приготовления отвара из корней одуванчика:
- Для поднятия тонуса . Корень измельчают и заливают кипятком. На 2 чайные ложки корней необходимо 400 мл воды. Смесь ставят на водяную баню и выдерживают 30 минут. Принимают снадобье по 1/3 стакана перед каждым приемом пищи.
- Для лечения печени . 20 г корней заливают 250 мл холодной воды и оставляют на ночь. Утром смесь ставят на огонь и доводят до кипения. Принимают лекарство перед завтраком за 30 минут. После утренней трапезы можете выпить еще одну порцию средства.
- Для очищения крови . С этой целью 20 г сухих корней одуванчика заливают крутым кипятком и настаивают в термосе. Принимают перед едой по 250 г жидкости. Это уменьшает аппетит и повышает гемоглобин.
- Для снижения холестерина . С этой целью можно использовать порошок из сухих корней или приготовить отвар. Если вы используете порошок, то достаточно 5 г для разового приема. Чтобы приготовить отвар, столовую ложку порошка из корней одуванчика заливают стаканом кипятка и накрывают емкость крышкой. С огня отвар нужно снять. Укутайте кастрюлю полотенцем и подержите так 30 минут.
- При гипертонии . 100 г измельченного сырья заливают холодной водой и кипятят 25 минут. Воды нужно 300 мл. Принимают лекарство по 150 мл перед едой утром и вечером. Этот отвар поможет от бессонницы. С этой целью нужно выпить стакан снадобья, перед тем как лечь в постель.
- От аллергии . Для этого вам нужно смешать в равных количествах корень лопуха и одуванчика. Две столовые ложки смеси заливают 700 мл кипятка и оставляют на ночь в термосе. Процеживают жидкость и принимают по 150 мл через каждые 2 часа.
- Чистка печени после запоя . Это лекарство позволит удалить алкоголь из организма пьяницы. Для этого заварите столовую лодку сухого сырья 300 мл кипятка и держите на огне 5 минут. Процедите отвар. Поите больного 2-3 раза в день. Курс лечения составляет 7-10 дней.
- Кофе для печени из корней одуванчика . Приобретите сухое сырье в аптеке и обжарьте его на сковороде. Измельчите корень в кофемолке. Заваривайте, как обычный кофе, для улучшения вкуса можно добавить корицу и сахар. Такой напиток рекомендуется принимать после курса антибиотиков. Он снижает их токсическое действие на печень и поджелудочную железу.
Обратите внимание на внешний вид сырья. Если вы его приобрели в аптеке, то внимательно посмотрите на цвет измельченных корней. Он должен быть бежевым или темно-коричневым. Запах у лекарства отсутствует. При употреблении чувствуется характерный горьковатый привкус. Если имеется «плесневелое» послевкусие, то это свидетельствует о неправильном хранении лекарства. Принимать его не стоит.
Как заваривать корень одуванчика - смотрите на видео:
Корень одуванчика - доступное лекарство, которое дает нам природа. При правильном приготовлении и применении можно избавиться от серьезных недугов без использования антибиотиков и гормональных препаратов. При этом лекарство практически не имеет противопоказаний и не снижает иммунитет.
Не за горами май - месяц одуванчиков. О полезных свойствах этих цветков известно немало, но что мы знаем о корнях растения? Как их заготавливать и правильно использовать?
Одуванчики интересовали травников во все времена. Их использовали для лечения печени и избавления от проблем пищеварительной системы. Для дела шли все части растения – цветы, листья и корни. Все это можно принимать в пищу. Но более ценными в лечебных целях считаются корни. В них содержатся в больших количествах витамины А, В и D. В корнях много минералов – железа, калия и цинка, помогающие выводить токсины из организма и поддерживать работу печени.
Собираем правильно корни одуванчика
Одуванчик – это мощное средство для детоксикации. В лекарственных целях используют корни одуванчика, собранные осенью. Лучше собирать их после того, как пройдет сильный дождь. Он разрыхлит почву возле корней, которые растут глубоко. Именно в жестких и длинных корнях растения содержатся питательные вещества. Во время осенней заготовки корней нерастворимое волокно инулина в них содержится больше, чем фруктоза.При использовании корней в кулинарии лучше собирать весенние корни и желательно до цветения одуванчиков. В них в это время содержится мало клетчатки, они менее горькие на вкус. В весенних корнях одуванчика есть вещество, стимулирующее производство желчи и работу печени.
Как правильно собирать корни одуванчика?
* Собирать его необходимо подальше от автомобильных дорог и загрязненных территорий, обрабатываемых химикатами.* Останавливайте выбор на самых крупных и активных растениях. Мелкие цветы оставьте пчелам, жукам и птицам.
* С помощью вилки или специального корнеудалителя осторожно поддевается влажная почва. Важно при этом не повреждать корни и максимально сохранить их первозданный вид, иначе они быстро испортятся.
* После того, как корень вынут из почвы, его нужно аккуратно встряхнуть для удаления лишней земли.
Правильное хранение корней одуванчика
Используются в кулинарии и медицине свежие корни одуванчика, но можно их сохранять и для дальнейшего использования.Для этого их сначала хорошо моют, нарезают и высушивают. Затем оборачивают каждый корешок шпагатом, ниткой или проволокой, чтобы подвесить потом в сухое, прохладное помещение с хорошей вентиляцией. Через несколько суток, когда корни как следуют высохнут их нарезают на куски упаковывают в стеклянные банки и хранят не более года. При правильной сушке корень становится темным, а внутри – кремово-белым.
Использование корней одуванчика
Есть несколько способов применения корней одуванчика:* Настойка
Настоянный на спирту корень одуванчика обладает противовоспалительными свойствами, используется в качестве мочегонного и очищающего кровь средства, помогает избавить от токсинов печень, селезенку и желчный пузырь.
Настойка способствует нормализации уровня сахара в крови, уменьшает стрессы, устраняет возрастные пятна, очищает кожу при экземе, удаляет угри.
* Настой, чай
Чай или настой, приготовленный из корней одуванчика, содержит антиоксиданты, способствующие нормализации уровня сахара в крови и улучшающие пищеварение. Настой и чай обладают мочегонными и мягкими слабительными свойствами, помогают очистить печень.
* Компрессы
Припарками и компрессами из корней одуванчика можно лечить многие кожные заболевания – угри, экзему, псориаз, сыпи, абсцесс, фурункулы.
Если поджарить корень одуванчика и заварить его в воде, можно получить вкусный напиток, напоминающий кофе. А если смешать его с поджаренным корнем цикория и добавить корицу – лечебный кофе приобретет еще более пикантный вкус.
Такой продукт из корней одуванчика ценен своими питательными и лечебными свойствами. Высушенные и измельченные корни растения добавляются к обычному уксусу, улучшая его вкус. Этот продукт добавляется в салаты и супы. Если добавить такой уксус в воду, можно получить альтернативу яблочному уксусу, который очень полезен для кишечника и желудочно-кишечного тракта.
К примеру, для получения полезного средства для желудка свойства яблочного уксуса можно усилить, добавив к нему корни одуванчика: на дно литровой банки на 2/3 уложить высушенные корни одуванчика и влить доверху яблочный уксус (желательно домашний). Оставить средство в темном, прохладном месте на шесть-семь недель. Используется так же, как и яблочный уксус. Перед использованием средство нужно процеживать.
Противопоказания
Любая лекарственная трава относительно безопасна, но может быть полезна не всем. Важно правильно выбрать дозировки и концентрации. Перед тем как принимать средства с корнями одуванчика, не помешает посоветоваться с лечащим врачом.К примеру, нежелательно принимать корни одуванчика людям:
* Страдающим аллергическими реакциями во время цветения амброзии, хризантем, календулы, тысячелистника, ромашки, астры.
* Беременным женщинам и кормящим мамам.
* С камнями в желчном пузыре, обструкцией желчных путей.
* С язвой желудка, гастритом.
* С раздражением кишечника.
Чрезмерный прием одуванчика может вызвать изжогу или раздражение кожи.
В данной статье мы рассмотрим часть материала на тему преобразования иррациональных выражений, подробно разобрав тонкости и нюансы преобразований, которые выполняются на основе свойств корней.
Свойства корней
Вспомним основные свойства корней. Это поможет нам последовательно разбирать тему, не возвращаясь к предыдущим разделам.
a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 . Оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , … , a k как a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k ;
a: b = a: b или в другой записи a b = a b , где a ≥ 0 , b > 0 ;
a 2 = a и его обобщение a 2 m = a m , где a – любое действительное число, а m – натуральное (при этом число 2 · m – четное).
Введем определение корня n -ой степени. Тут уже a , b , a 1 , a 2 , … , a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , . . . , n k - натуральные числа.
a · b n = a n · b n , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , его обобщение a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · . . . · a k n , где a 1 ≥ 0 , a 2 ≥ 0 , … , a k ≥ 0 .
a b n = a n b n , где a ≥ 0 , b > 0 .
a 2 · m 2 · m = a , a 2 m - 1 2 m - 1 = a , где a – любое действительное число.
a m n = a n · m , . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k , где a ≥ 0 .
a m n · m = a n , где a ≥ 0 .
a m n = a n m , где a ≥ 0 .
Преобразование выражений с числами под знаками корней
Обычно начинают изучение алгоритмов работы с числовыми выражениями. И уже только после этого переходят к работе с выражениями, содержащими переменные. Также построим наш материал и мы.
При указанных ограничениях на числа a , b и проч. все перечисленные свойства корней представляют собой верные числовые равенства. Это значит, что если числа a , b и т.д. соответствуют перечисленным условиям, то значение выражения, которое записано в левой части равенства, равно значению выражения, размещенного в правой части.
Рассмотрим приведенный выше тезис на примере.
Пример 1
Выражение 4 · 9 , в котором числа 4 и 9 - положительные, можно заменить произведением корней 4 · 9 согласно свойству корня, по которому произведение корня можно заменить произведением корней.
Проведем несложные расчеты для того, чтобы подтвердить истинность наших выводов:
4 · 9 = 36 = 6 2 = 6 и 4 · 9 = 2 2 · 3 2 = 2 · 3 = 6 .
Мы можем заменить иррациональное выражение 1 + 4 · 9 выражением 1 + 4 · 9 и наоборот.
Это значит, что при наличии в составе исходного выражения выражения, которое по виду совпадает с выражением из левой или правой частей любого из перечисленных свойств корней, то мы можем заменить его соответствующим выражением из левой или правой части. В этом и заключается смысл преобразования выражений с использованием свойств корней.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Предположим, что нам нужно упростить выражение 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 .
Решение
Здесь числа 3 , 5 и 7 положительные, что позволяет нам применять свойства корней без ограничений. Правильными будет несколько вариантов решений.
Корень 5 · 7 на базе свойства a · b = a · b можно представить как 5 · 7 , а корень 3 · 5 · 7 с использованием свойства a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · . . . · a k при k = 3
- как 3 · 5 · 7 . В этом случае решение будет иметь такой вид:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Еще один вариант решения выглядит следующим образом:
3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = = 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Ответ: 3 · 5 · 7 - 3 · 5 · 7 = 0
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3
Нам необходимо преобразовать выражение 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 .
Решение
Выберем из всего многообразия свойств корней нужные для решения. Их будет два: a 2 = a и a 2 m = a m , которые справедливы для любых значений a .
Решение будет иметь вид:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 + - 2 - 4 2 + (- 3) 3 = = 5 + - 2 - 16 + - 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Мы могли бы использовать здесь и свойства степеней для проведения преобразования выражения под знаками корней:
5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = = 5 2 + (- 1) 2 · 2 2 - 4 2 · 2 + (- 1) 2 · 3 · 3 2 · 3 = = 5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3
А уже дальше применять свойства корней:
5 2 + 2 2 - 4 2 · 2 + 3 2 · 3 = = 5 + 2 - 4 2 + 3 3 = 5 + 2 - 16 + 27 = = 5 + 2 - 16 + 27 = 18
Ответ: 5 2 + (- 2) 2 - 4 2 · 2 + (- 3) 2 · 3 = 18
С преобразованием выражений, которые содержат только квадратные корни, разобрались. Теперь разберемся с корнями, имеющими другие показатели.
Пример 4
Преобразуйте иррациональное выражение (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 .
Решение
Для решения используем свойство a 2 m - 1 2 m - 1 = a . Заменим первый множитель произведения - 2 3 3 числом − 2 :
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12
Используя свойство. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · . . . · n k второй множитель 81 3 представим как 81 12 . Заменим 81 четвертой степенью тройки, так как это же число фигурирует под знаками корней в остальных множителях:
(- 2) · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 81 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12
Заменим корень из дроби 3 64 6 на отношение корней вида 3 6 64 6 . Преобразуем полученное выражение 3 6 64 6 = 3 6 2 6 6 = 2 6 2 .
(- 2) · 3 4 12 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 2 6 2 · 3 6 12
Произведем действия с двойками и в результате получим: - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 . Осталось лишь преобразовать произведение корней.
Используем наименьшее общее кратное (НОК) для того, чтобы привести произведения корней к одному показателю. В нашем случае это 12 , так как два корня имеют такой показатель, а корень 3 6 придется привести к этому показателю.
Используем равенство a m n · m = a n справа налево: 3 6 = 3 2 6 · 2 = 3 2 12 . С учетом полученного результата:
3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12
Заменим произведение корней на корень произведения и продолжим преобразования:
3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Запишем краткий вариант решения:
(- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = = (- 2) · 3 4 12 · 3 6 2 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 6 · 3 6 12 = = - 3 4 12 · 3 2 12 · 3 6 12 = = - 3 4 · 3 2 · 3 6 12 = - 3 12 12 = - 3
Ответ: (- 2) 3 3 · 81 3 · 3 64 6 · 3 6 12 = - 3
Обращаем ваше внимание на то, что применение свойств корней требует учета ограничений, которые накладываются на числа под знаками корней ( a ≥ 0 и т.п.). Невнимание к ним может привести к ошибкам в вычислениях. Например, свойство a m n · m = a n справедливо для неотрицательных a . Используя его, мы можем осуществить переход от 8 3 к 8 6 18 , так как 8 – положительное число. Если же взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, к примеру, - 8 3 , то, применив свойство, мы заменим его на - 8 6 18 . Это будет такой же ошибкой, как если бы мы заменили − 2 на 2 .
Действительно, - 8 3 = - 2 , а (- 8) 6 18 = (- 1) 6 · 8 6 18 = 8 6 18 = 8 3 = 2 . Получается, что при отрицательных a равенство a m n · m = a n может быть неверным.
Другие свойства корней точно также могут стать неверными, если применять их без учета оговоренных условий. Это вовсе не значит, что наличие отрицательного числа под знаком корня полностью исключает возможность проведения преобразований с использованием свойств корней. Это значит, что необходимо провести ряд предварительных действий с числами или воспользоваться правилом определения корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство - a 2 · m + 1 = - a 2 · m + 1 , в котором − a – отрицательное число (при этом a – положительное).
Например, не получится заменить (- 2) · - 3 на - 2 · - 3 , так как − 2 и − 3 – это два отрицательных числа. Мы можем провести предварительные действия: использовать правило умножения отрицательных чисел и перейти от корня (- 2) · - 3 к 2 · 3 .
Переходить от корня - 8 3 к корню восемнадцатой степени, который мы проводили в одном из предыдущих примеров, неправильно делать так: - 8 3 = (- 8) 6 18 . Лучше провести вычисления следующим образом: - 8 3 = - 8 3 = - 8 6 18 .
Подведем промежуточные итоги:
Определение 1
Преобразование выражений с использованием свойств корней предполагает:
- выбор подходящего свойства из списка;
- учет имеющихся у подходящего свойства ограничений, уход от этих ограничений путем проведения промежуточных преобразований;
- проведение преобразований, требующихся по условию задачи.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Иррациональные выражения, которые содержат под знаком корня числа и переменные, также можно преобразовывать, используя свойства корней. Однако делать это надо аккуратно, соблюдая все оговоренные условия для того, чтобы не допустить ошибок в вычислениях.
Например, используя формулу a · b = a · b , выражение x · x + 1 можно записать как x · x + 1 лишь в том случае, если значения x удовлетворяют условиям x ≥ 0 и x + 1 ≥ 0 , так как указанная формула задана для a ≥ 0 и b ≥ 0 .
Что будет, если не уделять условиям должного внимания? Продемонстрируем на примере: нам нужно вычислить значение выражения x · (x + 1) при x = − 2 . Подставив в выражение значение переменной, получим (- 2) · - 2 + 1 = 2 . Это правильная последовательность действий. А теперь представим, что мы поторопились применить свойства корней и привели выражение к виду x · x + 1 . Подставив значение переменной, получаем выражение, которое не имеет смысла - 2 · - 2 + 1 .
Переход от выражения x · (x + 1) к выражению x · x + 1 приводит к изменениям области допустимых значений переменной x (ОДЗ). ОДЗ можно использовать как инструмент контроля допустимости проведенных преобразований. Если ОДЗ после проделанных переходов изменилась, то это должно настораживать.
Найти ОДЗ просто. Для выражения x · (x + 1) определить ОДЗ можно из неравенства x · (x + 1) ≥ 0 . Решение неравенства дает нам числовое множество (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 0 , + ∞) . Определить ОДЗ для выражения x · (x + 1) можно через систему неравенств x ≥ 0 , x + 1 ≥ 0 . Получаем [ 0 , + ∞) . Сравнив полученные ОДЗ мы можем сделать вывод о том, что произошло сужение ОДЗ.
Отсутствие изменения ОДЗ не является гарантом правильности полученного решения. Так, например, мы можем применить свойство a m n · m = a n для проведения замены x - 7 2 6 на x - 7 3 . ОДЗ после преобразований остается неизменной, но сама замена не может проводиться при x − 7 < 0 (x < 7) . Если взять х = 6 , то значение выражения x - 7 2 6 будет равно 1 , а значение выражения x - 7 2 6 будет равно - 1 . Причиной появления ошибки стало невнимательное отношение к условиям, при которых свойства корня могут применяться. Для формулы a m n · m = a n обязательным условием является a ≥ 0 .
Почему мы фокусируем ваше внимание на условиях, при которых допустимо применять свойства корней? В основном потому, что большинство школьных примеров область допустиых значений переменных для приведенных выражений такова, что можно пользоваться свойствами корней без ограничений. Эти облегчает усвоение материала, однако одновременно приучает применять свойства корней бездумно, без учета ограничений. Это может подвести на ЕГЭ и прочих серьезных экзаменах, где всегда есть задачи «с подвохом».
Пример 5
Упростите выражения 1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 .
Решение
Определим ОДЗ для переменной x , решив систему x 2 ≥ 0 x - 1 ≥ 0 . Получаем множество [ 1 , + ∞) . Это позволяет нам сделать вывод, что при любом значении переменной x из [ 1 , + ∞) значения выражений x и x − 1 положительные. Мы можем использовать свойства корней без ограничений.
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 2 6 · x 10 6 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · x 10 6 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 12 6 · (x - 1) 6 = x 2 · (x - 1) 3
x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x 3 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = = x · x 5 3 · (x - 1) · (x - 1) 5 = = x 6 3 · (x - 1) 6 = x 2 · x - 1 3
ОДЗ переменной x для выражения (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 есть множество всех действительных чисел. Для проведения преобразований оптимальным решением могло бы стать использование свойства a m n · m = a n , но оно дано для a ≥ 0 , а не для любого a .
Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования?
(x + 2) 2 6 · (x +) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) 2 · (x + 2) 10 6 = (x + 2) 12 6 = (x + 2) 2
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 6 · (x + 2) 10 6 = = (x + 2) · x + 2 5 3 = (x + 2) 6 3 = x + 2 2
При условии x + 2 ≥ 0 , что то же самое x ≥ − 2 , можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x < − 2 это может привести к получению неверных результатов.
При x < − 2
, используя определение модуля числа, выражение x + 2
запишем как − | x + 2 |
:
(x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = - x + 2 2 6 · (- x + 2) 5 3 = = (- 1) 2 · x + 2 2 6 · (- 1) 5 · x + 2 5 3 = = x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 5 3
Теперь мы можем преобразовать полученное выражение, воспользовавшись свойствами корней, так как значение выражения | x + 2 | неотрицательно при любых x . Получаем:
X + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 2 6 · x + 2 10 6 = = - x + 2 2 · x + 2 10 6 = - x + 2 12 6 - x + 2 2
или
- x + 2 2 6 · x + 2 5 3 = - x + 2 3 · x + 2 5 3 = = - x + 2 · x + 2 5 3 = - x + 2 6 3 = - x + 2 2
Раскрываем модуль с учетом того, что преобразования мыв проводили для x < − 2 : - x + 2 2 = - (- (x + 2) 2 = - (- x - 2) 2 .
Ответ:
1) x 2 6 · x 5 3 · x - 1 · x - 1 5 = x 2 · (x - 1) 3 , 2) (x + 2) 2 6 · (x + 2) 5 3 = (x + 2) 2 , x ≥ - 2 - (- x - 2) 2 , x < - 2
Пример 6
Упростите иррациональное выражение (x 2 - x - 2) 6 8 , представив его в виде корня четвертой степени.
Решение
ОДЗ переменной x состоит из всех действительных чисел. Используем свойство степени a m · n = (a m) n для того, чтобы записать выражение в виде ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 . Теперь мы можем продолжить преобразования, используя свойство корня a m n · m = a n , которое задано для неотрицательных a . Это значит, что преобразование ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 4 имеет место для всех значений переменной x , которые будут удовлетворять условию (x 2 − x − 2) 3 ≥ 0 .
Решим записанное неравенство для того, чтобы найти множество значений переменной x , удовлетворяющих условию. Сначала перейдем к неравенству (x + 1) 3 · (x − 2) 3 ≥ 0 , затем применим метод интервалов и получим х ∈ (− ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) .
При остальных x из ОДЗ, то есть, при x ∈ (− 1 , 2) значения выражения (x 2 − x − 2) 3 отрицательны, и само выражение можно представить как − | (x 2 − x − 2) 3 | . Тогда при x ∈ (− 1 , 2) имеем
((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = (- x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = = (- 1) 2 · x 2 - x - 2 3 2 4 · 2 = (x 2 - x - 2) 3 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = - (x 2 - x - 2) 3 4
Итак,
(x 2 - x - 2) 6 8 = = (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ (- ∞ , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞) - (x 2 - x - 2) 3 4 , x ∈ - 1 , 2
Можно записать полученные результаты, записав их при помощи модуля: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4 . Теперь, используя свойства модуля, можно переписать последнее выражение: (x 2 - x - 2) 3 4 .
Ответ: (x 2 - x - 2) 6 8 = (x 2 - x - 2) 3 4
Использование модуля делает процесс вычислений достаточно трудоемким. Упростить процесс преобразований можно следующим образом: взять за основу свойства корней, предположить, что числа a и b могут принимать любые значение, не обязательно те, что удовлетворяют условиям задачи и провести рассуждения по аналогии с теми, которые провели мы в решении последней задачи. Полученные результаты позволят нам проводить вычисления намного быстрее.
Вспомогательные результаты
Оформим вспомогательные результаты в виде таблицы, в которой будет две колонки. Слева будут расположены выражения, которые требуется заменить, справа выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения, расположенные в левой колонке. Эти замены можно производить при любых значениях переменных из области допустимых значений. Буквами A и B мы обозначили произвольные числа или выражения корня.
| Выражения, которые заменяем | Выражения, на которые заменяем |
|
A · B n , n - нечетное A · B n , n - четное |
|
| A n · B n , n - любое натуральное | A · B n |
|
A B n , n - нечетное A B n , n - четное |
|
| A n B n , n -любое натуральное | A B n |
|
A n n , n - нечетное A n n , n -четное |
|
|
A , n - нечетное A , n - четное |
A n n A n n , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A n n < 0 * с м. с н о с к у |
| A m n , m и n - любые натуральные | A n · m |
| A n · m , m и n - любые натуральные | A m n |
|
A m n · m , m - нечетное n - натуральное A m n · m , m - четное n - натуральное |
|
|
A n , m - нечетное n - натуральное A n , m - четное n - нечетное |
A m n · m A m n · m , A ≥ 0 * (с м. с н о с к у) - A m n · m , A < 0 * (с м. с н о с к у) |
|
A m n , m - нечетное n - натуральное A m n , m - четное n - нечетное |
|
| A n m , m и n - любые натуральные | A m n |
| * A ≥ 0 и A < 0 следует понимать так: для всех значений переменных из ОДЗ для выражения из левой части, при которох значений вырожения A неотрицательны или отрицательны соответственно. | |
Первые результаты этой таблицы можно применить относительно произведений трех, четырех и т.д. множителей, которые находятся под знаком корня. Например, при нечетных n корень A 1 · A 2 · . . . · A k n можно заменить произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n , а при четных n – произведением A 1 n · A 2 n · . . . · A k n .
Используя данные таблицы корень x · (x + 1) на ОДЗ переменной x сразу можно записать как произведение корней вида x · x + 1 .
Точно также, на ОДЗ переменной x выражение x - 3 x - 5 4 можно записать в виде дроби x - 2 4 x - 5 4 .
Вот еще несколько примеров: x - 2 = (x - 2) 4 4 , x ≥ 2 - (x - 2) 4 4 , x < 2 , 1 - (x 2 - 5) 6 12 = 1 - x 2 - 5 и 5 · x 2 4 = 5 · x 4 2 .
Используя результаты, размещенные в таблице, решим пример последней задачи еще раз:
(x 2 - x - 2) 6 8 = ((x 2 - x - 2) 3) 2 4 · 2 = = x 2 - x - 2 3 4 = x 2 - x - 2 3 4
Посмотрим, как мы получили результат так быстро. При нечетных n выражение A · B n на всей ОДЗ переменных можно записать как A n · B n , а при четных n – как A n · B n .
Доказательство 1
Приведем доказательства: при нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения A · B n значения выражений A и B таковы, что:
- либо они оба неотрицательны,
- либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
- либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
- либо они оба отрицательны.
Используя свойство корней a · b = a · b , которое верно при a ≥ 0 , b ≥ 0 , мы можем сделать вывод, что A · B n = A n · B n .
Во втором случае мы можем провести следующие преобразования:
A · B n = A · (- B) n = - A · B n = = - A n · B n = - A n · - B n = = - A n · - B n = A n · B n
В третьем случае, аналогично,
A · B n = - A · B n = - A · B n = = - A n · B n = - - A n · B n = = - - A n · B n = A n · B n
И в четвертом случае имеем:
A · B n = - A · - B n = A · B n = = A n · B n = - A n · - B n = = - A n · + B n = A n · B n
Так мы доказали, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения A · B n это выражение можно заменить на A n · B n .
Докажем справедливость второй части утверждения.
Доказательство 2
При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения A · B n значение выражения A · B неотрицательно. Поэтому A · B n можно записать как A · B n , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде A · B n , откуда в силу свойства корней имеем A n · B n . Что и требовалось доказать.
Для примера возьмем иррациональное выражение x · (x - 1) 3 . Область допустимых значений переменной x для этого выражения является множество всех действительных чисел. Используя утверждение, которое мы доказали выше, мы можем заменить выражение x · (x - 1) 3 выражением x 3 · x - 1 3 на множестве R . Корень (x + 3) · (x - 5) 6 запишем в виде произведения корней x + 3 6 · x - 5 6 на области допустимых значений переменной x для исходного выражения, т.е. на множестве (− ∞ , − 3 ] ∪ [ 5 , + ∞) .
Как еще мы можем удостовериться в правильности полученных результатов?
Доказательство 3
Можно доказать, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения A m n · m его можно заменить на A n . Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение A m n · m можно переписать в виде A m n · m и дальше в силу свойств модуля как A m n · m . А по свойству корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 , имеет место равенство A m n · m = A n .
А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение A m n · m можно переписать как - A m n · m . Дальше имеют место такие переходы: - A m n · m = - 1 m · A m n · m = A m n · m = A n . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней a m n · m = a n , где a ≥ 0 . На этом доказательство завершено.
Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Больная часть целебных составляющих лекарственных растений сосредоточена именно в корнях растений .
Например, окопник лекарственный (виз-трава, жирный корень, огуречная трава, костолом), в котором применяемой частью являются именно корни, содержащие немало крахмала, сахара, слизистых и дубильных ингредиентов, аспарагина, алкалоидов, дигалловой кислоты. Несмотря на то, что растение считается ядовитым, окопник широко известен в народной медицине многих стран и применяется как внутреннее, так и наружное средство. Из свежих корней готовят слизистый отвар и настой, с помощью которых тормозят и останавливают воспалительные процессы, снижают и снимают боли, уничтожают микробов, останавливают кровотечения и эффективно заживляют гнойные раны. Настой корней окопника известен вяжущим и мягчительным действием. Настой и отвар этих корней прекрасно способствуют восстановлению тканей, заглушают боль и благоприятствуют ускоренному срастанию костей при переломах.
Не только у нас, но и за границей, например, в немецкой народной медицине водный настой корней окопника применяется при желудочно-кишечных заболеваниях. Это поносы, дизентерии, хронический катар кишечника, язвы желудка и двенадцатиперстной кишки, катар дыхательных органов с затрудненным и обильным выделением мокроты, кровохарканье и кровотечение, параличи. Как наружное, препараты корня окопника эффективны при воспалении вен, надкостницы, переломах костей и вывихах, болях в ампутационных культях и ишиасе. Окопник принимают внутрь с параллельным наружным применением при заболеваниях кожи, язвах и ранах.
Корни растейний для Ванн
Настой корней растений применяют для ванн, обмываний и компрессов. Спиртовая настойка корней хороша для противовоспалительных и болеутоляющих компрессов. Кроме того, из корней готовят и мази против ревматических и подагрических болей, ран и язв. Для приготовления мази две столовых ложки свежих корней растирают с двумя ложками свиного несоленого сала.
Корни различных растений в народной медицине
Не меньшей известностью в нашей народной медицине пользуется и корень лопуха. Препараты на его основе эффективны при почечнокаменной болезни, подагре и ревматизме, диабете, геморрое, водянке, рахите и золотухе, хронической экземе, фурункулезе, запоре. Они показали свою эффективность при лечении отравлений ртутными препаратами и спасении от укусов ядовитых животных. И еще отвар корня лопуха применим при венерических заболеваниях и ломоте в суставах.
В Болгарии народные целители применяют корень лопуха как средство, улучшающее , при камнях в почках и мочевом пузыре, при гастрите и язве желудка. При дерматитах и сильном зуде корень лопуха применяется наружно для приготовления компресса.
При опухолевых заболеваниях корень лопуха применяют в виде настоя, отвара, порошка или настойки. Готовят ее, смешав в равных долях корень лопуха, мед и медицинский спирт, и настояв с полмесяца. Употребляют по столовой ложке трижды в день.
Из лопуха измельчают двадцать пять граммов корней лопуха и листьев, кипятят в 100 мл воды в течение двадцати минут, затем этот отвар растирают со ста граммами сливочного масла. Применяется мазь для профилактики и лечения облысения, врачевания ожогов и обморожений.
У Бедренец-камнеломки лечебными частями также являются корневища и корни. Настойки и отвары из этого сырья применяются при лечении болезни почек, мочекаменной болезни и болезни мочевого пузыря.
Для приготовления отвара корней бедренца берут десять граммов измельченного сырья и кипятят в полулитре воды с четверть часа. Настаивают час, цедят и принимают по полстакана ежедневно до пяти раз в день. Применяется при подагре, гастрите или почечнокаменной болезни. Как полоскание хорошо при ангине и язве на деснах.
Корень растения одуванчика, это лучший стимулятор печени, он тонизирует и активизирует . как тонизирующее для печени средство, используют настойку из свежего корня одуванчика.
Кроме того в народных методах лечения издревле применяют корневища и корни девясила, как кровоочистительное и улучшающее обмен веществ лекарство, а также при заболеваниях суставов, радикулите, бруцеллезе, цинге, тромбофлебите и множестве иных болезней.
И ни в коем случае нельзя забывать о золотого корне и препарат из него, родозин, улучшающий умственную активность, способствующий активному протеканию окислительных процессов и содержанию на высоком уровне энергетического потенциала головного мозга.